数学问题解答

数学问题解答１９９７年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０８６Ｐ是正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱ＢＢ１所在直线上的一点，试比较∠ＡＣ１Ｐ与∠ＡＣＢ的大小．解如图记∠ＡＣ１Ｐ＝α，∠ＰＣ１Ｃ＝β，显然∠ＡＣＢ是二面角Ａ－ＣＣ１－Ｂ的平面角，...     

三等分角线构成的三角形的性质

笔者在研究中惊奇地发现三角形有关角三等分线的交点构成的三角形有许多美妙的性质，特介绍如下，以飨读者．引理对任意△ABC，如果存在∠β，∠γ，使1二十七个莫莱三角形熟知的五个莫莱三角形及其位置关系见文[6]，而笔者在研究中又惊奇地发现；定理1如图1，与任意△ABC每边相邻的每两个优角（大于平角而小于周角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的优角）相邻的三等分线的反向延长线的交点构成正△D8E8F8．且边长是：图1图2定理2如图2，任意△ABC任意一个优角与另两个劣角（小于平角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的劣角）中，与每边相邻的…     

巧用抛物线的一个性质解决一类高考题

定理 从抛物线外一点P引抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若F是抛物线的焦点，则有∠PFA-∠PFB．     

由一例谈数学题的编制

数学课上，我讲了一道精典例题：如图1所示，四边形ABCD，CDGH，DEFG都是正方形，求证：∠GBD＋∠FBE＝45°．     

三棱锥的侧棱所成的角与侧面所成二面角的关系

在一次练习中，我遇到这样一道题：如图1，在三棱锥A—BCD中，∠BAC=90&;#176;，∠DAB=45&;#176;，∠DAC=60&;#176;，AC=4，AB=3，求二面角B—AD—C的大小．     

1994年新高考数学（理科）部分试题另解摘编

１９９４年新高考数学（理科）部分试题另解摘编证法１如右图，设∠ｘＯＢ＝ｘ１，∠ｘＯＣ＝ｘ２，作其各自的正切函数线ＡＢ，ＡＣ．作ＯＤ平分∠ＢＯＣ，则∠ｘＯＤ＝作ＢＦ⊥ＯＤ于Ｆ，延长ＢＦ交ＯＣ于Ｅ，作ＦＧ∥ＥＣ交ＣＤ于Ｇ，∵Ｆ为ＢＥ的中点，∴（湖北公安一...     

直四面体中的角公式

读完《异面直线距离的公式求法》［１］一文，感觉可类比求出异面直线所成的角．如图图１１，α⊥β，ＡＢα，ＣＤβ，∠ＡＢＣ＝θ１，∠ＤＣＡ＝θ２．于是在平面β内过Ａ作ＡＥ∥ＤＣ，则∠ＥＡＣ＝θ２．异面直线ＡＢ，ＤＣ所成的角是∠ＢＡＥ．又α⊥β，∴∠Ｂ...     

一个课堂遗留问题的解决

数学老师给我们讲了如下例题：设P是椭回x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上一点，E，F是左、右焦点，e，c分别是离心率和半焦距，M是∠EPF的平分线和∠PEF，∠PFE的外角平分线的交点，求M的轨迹方程，并说明轨迹为何曲线．     

数学问题解答

1706在△ABC中，AB—AC，∠ABC的平分线交AC于D，且BC=AD-BD，求∠A． （沈阳市于洪区黑山路10—19甲222号孙哲110034） 解 在AD上取一点E，使AE=BD，由BC=AD-BD． 得ED=BC 作EF//BC，连DF，作∠GBC=∠A，则BG=BC     

角元塞瓦定理及其应用

<正>一、角元塞瓦定理设P是△ABC内任意一点(如图1),则sin∠BAP/sin∠PAC·sin∠CBP/sin∠PBA·sin∠ACP/sin∠PCB=1.     

正方形内接三角形系列问题探究

分析此问乍一看可能无法解决，可能会认为∠PAQ的大小会随P、Q而变，但我们认真观察可发现，当P、Q分别为极限位置，即Q与D重合，P与C重合或Q与C重合，P与B重合时，∠PAQ都是45°，那么我们可以大胆猜想当P、Q分别在CD、BC上时，∠PAQ仍为45°，这样推想下来，我们就可以大概找到解决问题的方向．     

三角形等角共轭点的一个性质

定理 设P、Q为△ABC内两点,且∠PAB=∠QAC, ∠PBC=∠QBA,∠PCA=∠QCB,求证:(AP)/(AQ)=(sin∠BQC)/(sin∠BPC), (BP)/(BQ)=(sin∠AQC)/(sin∠APC), (CP)/(CQ)=(sin∠AQB)/(sin∠APB).     

一道课本习题解答的心路历程

苏教版必修5P24复习题第7题： 已知∠A=a为定角，P，Q分别在∠A的两边上，PQ为定长l，当P，Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？     

一道高考题引发的思考

2010年江苏高考数学第17题某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位m），如示意图1，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.     

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1 如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D =90°+1/2∠A.∵ ∠1 =∠1′,∠2 =∠2′,∴ 2∠1 +2∠2 +∠A =180°,∠1 + ∠2 + ∠D=180 °.     

shc32的解决

ｓｈｃ３２的解决吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）设△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ；ｗａ，ｗｂ，ｗｃ分别是∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的内角平分线；ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别是相应边上的中线；Ｒ和ｒ分别是△ＡＢＣ的外接圆和内切圆半径．刘健在文［１］中...     

3倍角三角形的性质初探

在△ＡＢＣ中,若∠Ｃ＝ｎ∠Ｂ,∠Ｂ＝ｎ∠Ａ,ｎ∈Ｎ,则称△ＡＢＣ为。倍角三角形． 当ｎ＝１时,即为正三角形;当ｎ＝２时,则∠Ｃ＝２∠Ｂ,∠Ｂ＝２∠Ａ,此时 ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２～０：２～１：２～２,我们称△ＡＢＣ为２倍角三角形． 关于２倍角三角形,文［１］已给出了若干有趣的性质． ２倍角三角形性质可以给出许多竞赛题以新解,简解,见文［２］． 当ｎ＝３时,∠Ｃ＝３∠Ｂ,∠Ｂ＝３∠Ａ,则∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝３～０：３～１：３～２,称△ＡＢＣ为３倍角三角形,关于３倍角三角形,笔者初步得到如下性质： （１）当∠…     

三角形内心的一个性质及推广

<正>图1性质如图1,点P是△ABC的内心,过点P垂直于AP的直线分别交AB、AC于点D、E,则DE是△PBC外接圆的切线.证明∵点P是△ABC的内心,DE⊥AP,显然易证Rt△APD≌Rt△APE,∴∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,即2∠ADE=180°-∠DAE①同理∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC②由①、②得∠ADE=12∠ABC+12∠ACB,而∠ADE=∠DBP+∠DPB=12∠ABC+∠DPB,∴∠DPB=12∠ACB=∠PCB,     

格点三角形

近年中考出现的“格点三角形”把不少人给难倒了.为了解决同学们的担忧,我利用课余时间对这一题型进行了研究. 为方便叙述,把本文出现的形如∠AOM的角叫做∠1,∠BOM、∠COM、∠DOM分别叫做∠2、∠3、∠4.(如图1)     

一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…