对一个优美不等式的进一步探究

安振平老师在文[1]中提出的第19个优美不等式:问题1若a,b,c为正数,a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1.王凯成老师在文[2]中利用3次变量代换给出其证明,过程繁冗.     

一个代数不等式推广的简证与类似结论

文[1]曾提出一个代数不等式:猜想若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则(a+1/b)~(1/2)+(b+1/c)~(1/2)+(c+1/a)~(1/2)≥30~(1/2)①文[2]给出①式的证明,文[3]运用赫尔德不等式将①式加强推广为:定理1若a,b,c为满足a+b+c=1的正     

也谈几个优美的分式不等式及恒等式

宋庆先生在文[1]提出了如下猜想:若a,b,c为满足abc≥1的正数,则(ab+bc+ca)(ba+cb+ac)≥(a+b+c)(1a+1b+1c).文[2]证明了这一猜想,文[3]给出了另一种证     

优美不等式中的三姐妹

文[1]、文[2]分别给出了如下两个优美的不等式： 命题1 设a,b,c∈R＋且a＋b＋c=1,则     

一类条件不等式探源

文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]分别介绍了下列不等式:若a,b>0且a+b=1则3/2<1/(a~3+1)+1/(b~3+1)≤(16)/9(1)若a,b,c>0且a+b+c=1则1/(1+a~2)+1/(1+b~2)+1/(1+c~2)≤(27)/(10)(2)     

一道2011美国数学奥林匹克试题的直接证明

2011年美国数学奥林匹克有下面的一道不等式证明题:设a,b,c>0,且a2+b2+c2+(a+b+c)2≤4,求证:(ab+1)/(a+b)2+(bc+1)/(b+c)2+(ca+1)/(c+a)2≥3.文[1]中安振平老师用换元法给出了证明,并给出两个加强.在享受安先生高超的变形技巧时,思考能否直接证明,从而得到一种简洁的直接证明,现介绍如下:     

朴实自然也出巧

<正>题目1已知a、b、c>0,求证:a3b+b3c+c3 a≥abc(a+b+c).以上题目1是文[1]的例1,且文[1]用了大量篇幅,运用多元均值不等式及巧妙神奇的待定系数法给出该题三种解法,可谓"优雅华贵堪称妙".其实本题仅用初中数学知识,不用多元均值不等式,利用作差比较法即可获证,方法更自然简单,有道是"朴实自然也出巧",现展示如下,与初中、高中同学们共享.证明由于待证不等式是轮换对称不等式,故不失一般性,可设a最大.     

一个无理不等式及其猜想的初等证明

文[1]给出了不等式:设a,b＞0,0＜λ≤2,则(√a/a+λb)+(√b/b+λa)≤2/(√1+λ)…………………(1) 文[2]类比给出了不等式:a,b＞0,0＜λ≤3,则3(√a/a+λb)+3(√b+b+λb)≤2/3(√1+λ)……………(2) 文[2]猜想:a,b＞0,n≥2,n∈N,0＜λ≤n,则n(√a/a+λb)+n(√b+b+λa)≤2/n(√1+λ)……………(3) 文[2]只给出不等式(2)的微分法证明,未能给出初等证明,并指出如何给出初等证明是一个值得继续研究的问题.本文将给出不等式(2)、(3)的一个初等证明;因为要用到不等式(1)证明过程中的一个结论,所以,先证不等式(1).     

一类条件不等式的统一证明

贵刊文[1]、文[2]给出了下列一类条件不等式.若a,b,c>0,且a+b+c=1,则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10.(1)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a3)+1/(1+b3)+1/(1+c3)+1/(1+d3)≤256/65.(2)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a2)2+1/(1+b2)2+1/(1+c2)2+1/(1+d2)2≤824/289.(3)笔者认为不等式(3)应改为:     

一道波斯尼亚奥赛题及其加强的统一推广

对如下一道竞赛题:设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,证明:(a5+b5)/(ab(a+b))+(b5+c5)/(bc(b+c))+(c5+a5)/(ca(c+a))≥3(ab+bc+ca)-2①文[1]给出如下三个加强:加强1设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,则     

一个不等式的最佳系数

文[1]给出了以下不等式: 　　若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,t≥1,则(ta2+b)/(b+c)+(tb2+c)/(c+a)+(tc2+a)/(a+b)≥(t+3)/(2).(1) 　　文[2]改进了(1)式中的t的取值范围,指出只要t≥(1)/(4),(1)式就成立.……     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有： （1/b＋c -a）（1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

一个分式不等式猜想的证明

《数学通报》2010年第12期的文[1]中提出了如下猜想:对于a,b,c∈R+,k∈N,k≥2,不等式ak/ak-1b+…bk+bk/bk+bk-1c+…ck+ck/ck+ck-1a+…ak≥3/k+a (1)本文将证明猜想式(1)是正确的.为证(1)式正确,先给出两个引理.     

一个例题的变式及推广

1　一个例题文 [1 ]中钱亦青老师举到如下例题 :求函数 f(a ,b ,c) =1a3(b +c) + 1b3(c+a)+ 1c3(a +b) 在条件a >0 ,b >0 ,c >0 ,abc =1之下的最小值 .该题变式为 :命题 1　已知a >0 ,b>0 ,c>0且abc=1 ,求证 :1a3(b+c) + 1b3(c+a) + 1c3(a +b) ≥32 ( 1 )现采用文 [2 ]构造函数的方法证明不等式( 1 ) .证　为了书写方便 ,设U =1a3(b +c) +1b3(c+a) + 1c3(a+b) ,V =1a+ 1b+ 1c.构造函数g(x) =xaa(b +c) -a(b+c) 2　 + xbb(c+a) -b(c+a) 2　 + xcc(a +b) -c(a +b)2=x21a3(b +c) + 1b3(c+a)　 + 1c3(a+b)　 - 2x 1a+ 1b+ 1c + [a(b +c)　 +b(c…     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

关于Milosevic不等式的再研究

<正>1引言本文约定:a,b,c,R,r,s分别为△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,半周长;∑表示循环求和,∏表示循环求积.文[1]介绍了由D.M.Milosevic提出的如下不等式:在△ABC中,有∑a/b+csin~2A/2=a/b+csin~2A/2+b/c+asin~2B/2+c/a+bsin2C~2≥1/2(1-r/2R).(1)文[2]给出了不等式⑴的如下加强:     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式：设a，b，c为正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3, （1/b＋c-a）（1/c＋a＋b）（1/a＋b＋c）≥（11/6）^3。 为了推广这两个不等式，文[1]提出下面四个命题，要求证明或否定之．     

对《一类条件不等式探源》一文的商榷

数学通报2008年第8期刊登了《一类条件不等式探源》一文,文中对文[2]给出的条件不等式:若a,b,c＞0且a+b+c=1则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10;     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c -a） （1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3