带约束动力学辛算法的符号计算

首先对带约束动力学中的辛算法作了改进,利用吴消元法求解多项式类型Euler-Lagrange方程.在辛算法的基础上,根据线性方程组理论和相容条件提出了一个求解约束的新算法.新算法的推导过程比辛算法严格,而且计算也比辛算法简单,并且多项式类型的Euler-Lagrange仍可以用吴消元法求解.另外,对于某些非多项式类型的Euler-Lagrange方程,可以先化为多项式类型,再用吴消元法求解.利用符号计算软件,上述算法都可以在计算机上实现.     

基于交替投影算法求解单变量线性约束矩阵方程问题

研究如下线性约束矩阵方程求解问题:给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×p)和C∈R~(m×p),求矩阵X∈R(?)R~(n×n)"使得A×B=C以及相应的最佳逼近问题,其中集合R为如对称阵,Toeplitz阵等构成的线性子空间,或者对称半(ε)正定阵,(对称)非负阵等构成的闭凸集.给出了在相容条件下求解该问题的交替投影算法及算法收敛性分析.通过大量数值算例说明该算法的可行性和高效性,以及该算法较传统的矩阵形式的Krylov子空间方法(可行前提下)在迭代效率上的明显优势,本文也通过寻求加速技巧进一步提高算法的收敛速度.     

求解特征值互补问题的一类ABS算法

ABS算法是20世纪80年代初,由Abaffy,Broyden和Spedicato完成的用于求解线性方程组的含有三个参量的投影算法,是一类有限次迭代直接法。目前,ABS算法不仅可以求解线性与非线性方程组,还可以求解线性规划和具有线性约束的非线性规划等问题。本文即是利用ABS算法求解特征值互补问题的一种尝试,构造了求解特征值互补问题的ABS算法,证明了求解特征值互补问题的ABS算法的收敛性。数值例子充分验证了求解特征值互补问题的ABS算法的有效性。     

闭凸集约束下线性矩阵方程求解的松弛交替投影算法

研究线性矩阵方程AXB=C在闭凸集合R约束下的数值迭代解法.所考虑的闭凸集合R为(1)有界矩阵集合,(2)Q-正定矩阵集合和(3)矩阵不等式解集合.构造松弛交替投影算法求解上述问题,并用算子理论证明了由该算法生成的序列具有弱收敛性.给出了矩阵方程AXB=C求对称非负解和对称半正定解的数值算例,大量数值实验验证了该算法的可行性和高效性,并说明该算法与交替投影算法和谱投影梯度算法比较在迭代效率上的明显优势.     

界约束下算子方程最小二乘问题的条件梯度法

研究如下界约束下算子方程最小二乘问题:min x∈Ω‖L(X:A_1,…,At;B_1,…,B_t)-T‖~2,其中‖.‖为Frobenius范数,L(X:A_1…A_t;B_1,…,B_t)为关于X的线性矩阵算子(或齐次线性变换),Ai∈R~(p×m),B_j∈R~(n×q)i,j=1,…,n为算子L的系数矩阵,丁为右端矩阵,ΩR~(m×n)为界约束凸集合.提出了求解问题的条件梯度迭代算法及其简要收敛性分析,并给出条件梯度算法的几类加速形式.随机数据和图像恢复模型数据的实验结果表明说明算法是可行高效的.     

核范数和谱范数下广义Sylvester方程最小二乘问题的有效算法

本文从数值角度讨论Schatten q-范数下的广义Sylvester方程约束最小二乘问题min x∈s‖N∑i=1A_iXB_i—C‖_q,其中S为闭凸约束集合,Schatten q-范数定义为‖M‖_q~q=∑_(i=1)~nσ_i~q(M),其中σ_i(M)为M∈R~(n×n)的奇异值.该问题的几类特殊情形在图像处理、控制论等领域有广泛的应用.q=2即Frobenius范数下该问题已被充分研究,故本文着重讨论q=1,+∞,即核范数和谱范数下该问题的数值求解.采用的数值方法是非精确标准容易执行的部分非精确交替方向法,并结合奇异值阈值算法,Moreau-Yosida正则化算法,谱投影算法和LSQR算法等求解相应子问题.给出算法的收敛性证明,并用数值算例验证其高效可行性.     

求解稀疏相位恢复问题的随机交替方向法(英文)

近年来稀疏相位恢复问题受到了越来越多的关注.本文提出了一种随机交替方法方法求解稀疏相位恢复问题,该算法采用硬阈值追踪算法求解带稀疏约束的最小二乘子问题.大量的数值实验表明,该算法可以通过O(s log n)次测量(理论上最少测量值)稳定的恢复n维s稀疏向量,并且在随机初值下可以获得全局收敛性.     

连续Sylvester矩阵方程求解的分裂迭代算法

有效求解连续的Sylvester矩阵方程对于科学和工程计算有着重要的应用价值,因此该文提出了一种可行的分裂迭代算法.该算法的核心思想是外迭代将连续Sylvester矩阵方程的系数矩阵分裂为对称矩阵和反对称矩阵,内迭代求解复对称矩阵方程.相较于传统的分裂算法,该文所提出的分裂迭代算法有效地避免了最优迭代参数的选取,并利用了复对称方程组高效求解的特点,进而提高了算法的易实现性、易操作性.此外,从理论层面进一步证明了该分裂迭代算法的收敛性.最后,通过数值算例表明分裂迭代算法具有良好的收敛性和鲁棒性,同时也证实了分裂迭代算法的收敛性很大程度依赖于内迭代格式的选取.     

Vandermonde方程Hilbert方程及Vandermonde矩阵Hilbert矩阵逆的快速与并行算法

1.引言 众所周知,在并行数值代数研究中,降低矩阵求逆与线性方程组求解并行步是一个相当困难的问题。1976年Csanky证明了上述两问题均可在O(log~2n)并行步内完成,所用处理机台数为O(n~4)。然而能否找到时间步为O(logn)的并行算法,长期以来是人们极为关注的问题之一。对于特殊矩阵及方程的研究更是如此。目前除几个极其特殊的     

矩阵不等式约束下矩阵方程最小二乘问题的增广Lagrangian方法北大核心CSCD

称X∈R^(m×n)为实(R,S)对称矩阵,若满足X=RXS,其中R∈R^(m×m)和S∈R^(n×n)为非平凡实对合矩阵,即R=R^(-1)≠±I_m,S=S^(-1)≠±I_n.该文将优化理论中求凸集上光滑函数最小值的增广Lagrangian方法应用于求解矩阵不等式约束下实(R,S)对称矩阵最小二乘问题,即给定正整数m,n,p,t,q和矩阵A_i∈R^(m×m),B_i∈R^(n×n)(i=1,2,…,q),C∈R^(m×m),E∈R^(p×m),F∈R^(n×t)和D∈R^(p×t),求实(R,S)对称矩阵X∈R^(m×m)且在满足相容矩阵不等式EXF≥D约束下极小化‖∑_(i=1)~qA_iXB_i-C‖,其中EXF≥D表示矩阵EXF-D非负,‖·‖为Frobenius范数.该文给出求解问题的矩阵形式增广Lagrangian方法的迭代格式,并用数值算例验证该方法是可行且高效的.     

On the Matrix Equation X^{ - 1} X* = A

Solvability conditions are examined for the matrix equation , which cannot be found in the well-known reference books on matrix theory. Methods for constructing solutions to this equation are indicated.     

一个矩阵函数及其应用

给出了矩阵函数f（X）=A-BX-（BX）＊的秩和最小惯性指数定理,其中＊表示矩阵的共轭转置.作为应用,给出了Lyapunov矩阵方程以及矩阵不等式BX＋（BX）＊≥A和BX＋（BX）＊≤A可解的若干充要条件.     

两个分块矩阵合同的充要条件

利用矩阵方程,给出了两个分块矩阵O AB C与O AB O合同的一个充分必要条件.     

关于矩阵方程X+A*X-nA＝I的正定解

本文对任意正整数n界定了矩阵方程X A*X-nA=I的正定解的特征值的范围,给出了它的极大正定解一个充分条件.     

矩阵方程AX＝B的中心对称解及其最佳逼近

基于一种新的思路,本文将一类约束矩阵方程问题化为无约束矩阵方程问题,从而轻易地获得了简洁且满意的结果.     

分块矩阵的Moore-Penrose逆

该文研究了两类3×3分块矩阵M1=AOOBCODEF,M2=ABCDEFGHK的Moore-Penrose逆的表达式,并给出了表达式成立时的条件.     

Matrix Bernoulli equations. II

In this paper, we find sufficient conditions for the solvability by quadratures of J. Bernoulli’s equation defined over the set M ₂ of square matrices of order 2. We consider the cases when such equations are stated in terms of bases of a two-dimensional abelian algebra and a three-dimensional solvable Lie algebra over M ₂. We adduce an example of the third degree J. Bernoulli’s equation over a commutative algebra.     

矩阵方程AXB=C有D对称解的充要条件及通解

本文利用矩阵对的广义奇异值分解研究矩阵方程AXB=C有D对称解的充分必要必要条件,并给出了通解的表达式。