1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

参数方程与极坐标单元测试题

一、选择题（每小题只有唯一正确答案）１下列以θ为参数的参数方程：（１）ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝２ｓｉｎθ｛（２）ｘ＝２ｓｉｎθｙ＝－ｃｏｓθ｛（３）ｘ＝２－２ｃｏｓθｙ＝１－ｃｏｓθ｛（４）ｘ＝２ｃｓｃθｙ＝ｃｔｇθ｛其中表示的曲线是椭圆的方程的个数为（...     

新题征展(1)

Ａ．题组新编１．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ａｘ２－４ｘ＋ａ－３）．（１）若ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（２）若ｆ（ｘ）的值域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（３）若ｆ（ｘ）在区间（－４,－１）上递减,则ａ的取值范围是　　．２．设０＜θ＜π．（１）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（２）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　;（３）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（４）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　．３．如图,向高为Ｈ的水瓶（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、…     

关于Lagrange平均插值过程的逼近阶估计

本文以多项式（１＋ｘ）Ｖｎ（ｘ）Ｖｎ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｎ＋１２θｃｏｓθ２，ｘ＝ｃｏｓθ的零点作为插值的节点，构造了一个Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式算子过程Ｃｎ（ｆ，ｘ），给出了其逼近阶估计．同时证明Ｃｎ（ｆ，ｘ）亦满足Ｄｉｔｚｉａｎ－Ｔｏｔｉｋ定理．     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年２月号问题＠答（解答由问题提供人给出）９９６解方程组０ｏ“一Ｊ“一ｓｃ一ｙ十６＝０（１）Ｌ２２ｙ－Ｉ－２－ｓｙ－２＝０（２）薛由（２）Ｘｉ＋（１）得一十２ｃ加一对２＋ｒｄ一Ｖ一５ｏ一５可言十６一Ｚｆ＝ｏ，‘＋ｚ。ｇｉ＋（加）‘十...     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年５月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１３１试证：一元多项式Ｐ（ｘ）＝ｘｋ－ｘｋ－１－１的复根ｚ＝ｒｅｉθ一定满足ｒ２ｋ－２ｒ２ｋ－１ｃｏｓθ＋ｒ２ｋ－２－１＝０．证明我们有｜Ｐ（ｚ）｜｜ｚｋ－ｚｋ－１｜－１＝ｒｋ－１｜ｚ－...     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

求f(x)的若干方法

换元法例１已知ｆ（ｓｉｎｘ－１）＝ｃｏｓ２ｘ＋２,求ｆ（ｘ）．解设ｓｉｎｘ－１＝ｔ,∴ｓｉｎｘ＝ｔ＋１（－２≤ｔ≤０）,则ｃｏｓ２ｘ＝１－ｓｉｎ２ｘ＝１－（ｔ＋１）２,∴ｆ（ｔ）＝１－（ｔ＋１）２＋２（－２≤ｔ≤０）,∴ｆ（ｘ）＝－ｘ２－２ｘ＋２（－...     

用公式法求二面角的平面角

１　问题的提出大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定；它们之间一定存在着某种必然的内在联系；事实上，我们有如下的定理；图１ＢαＣ２θ１θＯＡ定理　设Ｏ－ＡＢＣ为一个三面角，∠ＡＯＢ＝φ，∠ＡＯＣ＝θ１，∠ＢＯＣ＝θ２，二面角Ａ－ＯＣ－Ｂ的平面角为α，则有ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ｃｏｓα；略证：如图１，ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ，则∠ＡＣＢ＝α；令ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ；在Ｒｔ△ＡＣＯ中，ＡＣ＝ａｓｉｎθ１，ＯＣ＝ａｃｏｓθ１；同理，Ｂ…     

作一种数形转化解一类三角问题

作一种数形转化解一类三角问题王仕维（重庆市兼善中学６３０７００）当θ∈［θ１，θ２］且０＜θ２－θ１＜２π时，如何求函数ｆ（θ）＝ａｃｏｓθ＋ｂｓｉｎθ的值域，这似乎是一个常见而且简单的问题，将其化为ｆ（θ）＝利用θ＋ψ的范围及正弦函数的单调性便可解...     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...     

已知三面及其两两夹角的四面体的求积公式

已知三面及其两两夹角的四面体的求积公式孔令恩（山东枣庄市立新学校２７７１００）文［１］介绍了四面体中，已知同一顶点三棱ａ，ｂ，ｃ及其两两夹角θ１，θ２，θ３的求积公式Ｖ＝１６ａｂｃ·Ｔ（Ｒ）①其中Ｔ２（Ｒ）＝１ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２ｃｏｓθ１１ｃｏｓθ...     

中学课本中的一个方程等价性问题

高中课本《平面解析几何》第１３１页例４是“化圆锥曲线的极坐标方程ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ为直角坐标方程”，解题时涉及到方程ｘ２＋ｙ２＝ｅ（ｘ＋ｐ）（１）与两边平方后所得方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｅ２ｐｘ－ｅ２ｐ２＝０（２）的等价性问题．课本中有这样...     

解直角三角形目标检测

一、填空（每空２分，共３０分）（１）在△ＡＢＣ中：∠Ｃ＝９０°，ａ＝１２，ｂ＝９，则ｓｉｎＡ＝，ｃｔｇＡ＝．（２）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝４５，ＡＢ＝１０，那么ＢＣ＝，ｃｏｓＢ＝．（３）已知ｃｏｓ５４°３６′＝０．５７９３，查表求得同一行中它的修正值是５，则ｃｏｓ５４°３４′＝．（４）用“＜”号连结下列各数：ｓｉｎ３０°，ｔｇ４５°，ｃｔｇ９０°，ｃｏｓ４５°，ｃｔｇ６０°，ｃｏｓ３０°：．（５）化简：（ｓｉｎ６０°－１）２＋｜１＋ｃｏｓ３０°｜＝．（６）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ是锐角，…     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

一个有趣命题的推广

资料［１］第１６８页例５证明了下列命题：设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（２ｐ,０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,则∠ＰＯＱ恒为直角;这个命题很有趣,本文将它做如下推广：定理　设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（ａ,０）（ａ＞０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,∠ＰＯＱ＝θ（０＜θ＜π）．（１）若ａ＜２ｐ,则π２＜θ≤ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ;（２）若ａ＝２ｐ,则θ＝π２;（３）若ａ＞２ｐ,则ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ…     

构造图形求sin18°

构造图形求ｓｉｎ１８°王昌元（湖北省松滋师范４３４２００）１构造如图１所示的三角形，依余弦定理易得ｃｏｓ３６°＝１—２ｘ２（１）ｃｏｓ７２°＝ｘ即２ｃｏｓ２３６°－１＝ｘ（２）由（３）得（ｘ－１）（２ｘ＋１）（４ｘ２＋２ｘ－１）＝０（４）易知，在（４...     

一个三角恒等式的推广

一个三角恒等式的推广何新萌（泉州电力学校３６２０００）徐道在《数学通报》１９９６年第１０期的数学问题１０３７中，提出了一个三角恒等式：（ｃｏｓπ１１）３－（ｃｏｓ２π１１）３＋（ｃｏｓ３π１１）３－（ｃｏｓ４π１１）３＋（ｃｏｓ５π１１）３＝１２（１...     

EXISTENCE OF STABLE EQUILIBRIUM FOR A CLASS OF MULTI-SPECIES ECOSYSTEM

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＳｃｈｅｏｎｅｒｈａｓｓｔｕｄｉｅｄｔｗｏｓｐｅｃｉｅｓｅｃｏｓｙｓｔｅｍ：ｘｉ＝ｒｉｘｉ（ｌｉｅｉ＋ｘｉ－γｉ１ｘｉ－γｉ２ｘ２－ｃｉ）（ｉ＝１，２）（１）ｗｈｅｒｅｒｉ，γｉｊ，ｅｉ，ｌｉ＞０（ｉ，ｊ＝１，２）．Ｕｎｄｅ...