一个问题的多种解法是如何产生的

<正>问题再现如图1,在△ABC中,D是边AC上一点,E是BD的中点,且∠DCE=∠ABD,若AB=3,AC=4,求CD的长.文[1]应用构造相似形给出本题多种解答,我们应用不同于文[1]的思路,探究本题的另外的多种解法.深入探究本题给出∠DCE=∠ABD,但是∠DCE的边CE与△ABC无关,而∠ABD的两边BA,BD都与△ABC相关.     

一道求角度赛题的多种解法

<正>2014年全国初中数学联赛初赛第二题:如图1,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC等于().图1(A)80°(B)100°(C)140°(D)160°一、特殊化解法1由于∠ABC=80°及AB=BC=BD都是常量,△ABD和△DBC的形状可改变是变量,即与∠ABD的取值无关.所以     

2023年新疆高三第一次适应性检测一道几何试题的探究

<正>1题目(2023年新疆自治区第一次检测第18题)如图1,在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,■,且BC⊥CD,以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起,使点A到达点E位置,点C到达点F的位置,且E,F不重合．(1)求证:EF⊥BD;     

由一个基本图形构造的若干命题

如图 1,三棱锥A BOD中 ,AB⊥面BOD ,∠BDO =90 .以此三棱锥作为模型的载体是处理线线角、线面角、二面角、线线距离、线面距离的最佳图形 .由这一图形构建的下列命题可以看作是以往一些定理的推广或延伸 .1　空间四边形正弦定理如图 1,过点B作BE⊥AO ,垂足为E ,过点D作DF⊥AO ,垂足为F ,设BE =mB,DF =mD ,BD=m ,二角面B AO D为θ ,BD与平面ADO所成角为θB ,DB与平面ABO所成角为θD ,则 msinθ=mBsinθB=mDsinθD.证　过点B作BN⊥AD于N ,∵AB⊥平面BOD ,且OD⊥BD ,由三垂线定理知OD⊥AD ,∴OD⊥平面ABD .∴…     

对一个优美恒等式的探求

本文将先介绍笔者所得的两个性质,而后利用这两个性质去证明文[1]中结论“r1 r3=r2 r4”.1两个性质性质1四边形ABCD内接于圆,△BCD,△ACD,△ABD,△ABC的内心依次为IA,IB,IC,ID,则IAIBICID为矩形.证明分别连结AID,BIC,AIC,BID,有∠ICBID=21(∠ABC-∠ABD)=21∠DBC,∠ICAID=12(∠B     

构造相似三角形解几何计算题

<正>有这样一道几何计算题,图形简洁,但解法众多,每种解法都离不开构造相似三角形.题目如图1,在△ABC中,D是边AC上一点,E是BD的中点,且∠DCE=∠ABD,若AB=3,AC=4,求CD的长.解法1延长DC到点F,使CF=DC,连接BF,如图2.     

用面积性质解竞赛题

<正>一、性质图1如图1,D是△ABC的边BC上的任意一点,此时,△ABD和△ACD有公共的顶点A,它们的边BD和CD在同一直线,且这边上的高相等,我们称之为"共底等高三角形",于是可得S△ABD S△ACD=BD CD.利用"共底等高三角形"的这个面积性质来解决一些竞赛题,可以达到事半功倍的效果.二、解竞赛题1.用面积比求边长例1(19届江苏省竞赛题)如图2,△ABC的边AB=30cm,AC=25cm,点D、F在AC上,点E、G在     

一个有用的图形和结论

定理设D、B层分别在△ABC的边AC和AB上,BD与CE交于点P,AE:EB=m,AD:DC=χ,则 S_(AEFD)=(m·n)/(1 m n)(1/(1 m) (1 (1 n)S_(△ABC) (*) 证明略(留给读者练习) (*)式形式上对称易记,利用它可以简捷地求解一些面积问题。例1 如图2,平行四边形的面积是60,E、F分别是AB、BC的中点,AF分别和BD、BD交于G、H,则四边形BHGB的面积是__。(1991年江苏省初中竞赛题)。解在△ABD中,BH:HD=1:2,BE:EA=1,由(*)得     

利用面积比等于线段比证题

以下两个命题在几何证题中用得较多。命题1 如图1,D是△ABC的边BC所在直线上任一点,则有S_△ABD:s_△ACD=BD:DC. 命题2 如图2,D是△ABC的边BC所在直线上任一点,E是直线AD上任一点,则有s_△ABE:S_△ACE=BD:DC.     

三角形等圆线的性质

如图 1 ,D为△ ABC边 BC上的点 ,若△ ABD与△ ADC内切圆相等 ,则把线段 AD叫做△ ABC的等圆线 .文 [1 ]论证了等圆线的存在性和唯一性 ,本文给出等圆线的几条性质 .下面的讨论中 ,p、p1、p2 分别是△ ABC、△ ABD、△ ADC的半周长 ,γ、γ′分别是△ ABC与△ ABD、△ ADC的内切圆半径 ,BC= a,CA =b,AB =c.定理 1　若 AD是△ ABC的等圆线 ,则AD2 =p( p - a) .　　证明　如图 1 ,由S△ ABD S△ ADC=S△ A BC,得　 r′p1 r′p2 =rp即　 r′r=pp1 p21由图 1易知p1 p2 =p AD 2　　　　 图 1若 I是△ ABC内心 ,…     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

2016年广州市中考压轴题剖析

一、试题呈现 (2016广州-25)如图1,点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在BAD上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°. (1)求证:BD是该外接圆的直径; (2)连接CD,求证:√2AC=BC+ CD; (3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DW2,AW2,BW2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.     

对一道拓广探索题的再拓广

人教版八年级《数学》上P27页有一道拓广探索题:如图1,△ABC中,AD是它的角平分线,求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.分析这是角平分线性质的运用.按照书上的提示:作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则由角平分线性质有DE=DF.     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

数学问题解答

1989年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出)601.解方程解:令y=扩 1 1劣。一万-1戈一一一一二十只一万一一气犷一一一气二乙劣~-乙X一1乙X“一j劣一4一2(,),则原方程化为:夕,一2:千1卡一竺一=2’2夕一3劣 b。=a。一500,.‘.a,一500=1000·2卜1, a。一100‘0·2”一1 500>2024500, 2”一’)1024即2卜,)2’” n一1>10、即兄)11可见2000年猪场存栏数将超过1024500只. 603.△ABC是边长固定的正三角形,D为B口边上的动点.取△ABD的外心口,,△ACD的外心仇,作01君,土B口于E:,口2E2土BC于去分母并整理得: 4犷一15劣y 14尹 Zy一41二O (夕一2:…     

一道联赛试题的几何解法

<正>2016年全国初中(初三)数学联赛二试中有这样一道几何题:题目如图1,在△ABC中,AB=8,AC=10.D为△ABC内一点,满足∠ADC=90°,∠ABD=∠ACD,设E为BC的中点,求DE的长.命题组提供参考答案的思路是如图2,作∠CAF=∠BAD,得到△ABD∽△ACF,利用相似三角形的对应线段成比例关系,得出BD与CF、DA与AF之间的数量关系,进而求出DF的长.比较△ADC与△ABH中三个角,可以得到:AF⊥BD.倍长△BDC的中线DE至G,通过证明三角形的     

一道中考题解法的应用

如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=513.图1图2探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=,AC=,△ABC面积S△ABC=.拓展如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)(1)用含x、m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;(2)求m+n与x的函数关系式,并求m+n的最大值和最小值;(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.     

数学诡辩

已知:△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°。证明:如图,在BC上任取一点D,连AD。设三角形三内角和的度数为x,则△ABD中,∠1+∠3+∠B=x。△ACD中,∠2+∠4+∠C=x,上两式相加得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=2x。但∠1+∠2+∠B+∠C=x,∠3+∠4=180°,∴x+180°=2x x=180°,即∠A+∠B+∠C=180°。证毕。这岂不比教材上的证法简单明了吗?其实这种证法错了!错在哪里?     

九年级数学科第二学期自测题

A组一、填空题1 .抛物线y=-2x2 -x+1的顶点在第象限 .2 .把函数y =-12 x2 的图像向右平移 1个单位 ,再向下平移 2个单位 ,所得图像的解析式为.3 .对于反比例函数y =-2x 与二次函数y =-x2+3 .请说出它们的两个相同点① ,②;再说出它们的两个不同点① ,② .4.函数y =x2 -2x -1 ,当x =时 ,y有最小值.5 .如图 ,△ABC中 ,BC =a .若D1,E1分别是AB ,AC的中点 ,则D1E1=;若D2 ,E2 分别是D1B ,E1C的中点 ,则D2 E2 =;若D3 ,E3 分别是D2 B ,E2 C的中点 ,则D3 E3 =;……依此类推 .若Dn,En 分别是Dn -1B ,En-1C的中点 ,则DnEn= ≠= .(n为…     

"∠B=2∠A"型问题的处理方法

掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB,　∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC.