降次公式的探究——兼谈一个猜想的证明

易知有２°ｃｏｓｘ＝ｃｏｓｘ,２２ｃｏｓ３ｘ＝ｃｏｓ３ｘ＋３ｃｏｓｘ,２４ｃｏｓ５ｘ＝ｃｏｓ５ｘ＋５ｃｏｓ３ｘ＋１０ｃｏｓｘ,２６ｃｏｓ７ｘ＝ｃｏｓ７ｘ＋７ｃｏｓ５ｘ＋２１ｃｏｓ３ｘ＋３５ｃｏｓｘ,…,和２１ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋１,２３ｃｏｓ４ｘ...     

离散的Painlevé方程Ⅱ的有理解

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＮｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｄｉｓｃｒｅｔｅｓｙｓｔｅｍｓａｒｅｎｏｗａｔｔｒａｃｔｉｎｇｍｕｃｈａｔｔｅｎｔｉｏｎ．Ａｍｏｎｇｔｈｅｍ,ｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅＰａｉｎｌｅｖéｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｅｘｐｅｃｔｅｄｔｏｂｅｔｈｅｍｏｓｔｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｏｎｅｓｉｎａｎａｌｏｇｙｔｏｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｃａｓｅ．Ｃｌｏｓｅｒｓｔｕｄｉｅｓａｒｅｈｏｗｒｅｖｅａｌｉｎｇｔｈｅｉｒｒｉｃｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ,ｓｕｃｈａｓ…     

关于Barge和Toledo的几个问题

§ 1.Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｃｈａｉｎａｂｌｅｃｏｎｔｉｎｕａｈａｖｅｂｅｅｎｅｘｔｅｎｓｉｖｅｌｙｓｔｕｄｉｅｄｆｏｒｍａｎｙｙｅａｒｓａｎｄｈａｖｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｎｅｗｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｔｈｅｒｅｃｅｎｔｙｅａｒｓａｓｔｈｅｃｈａｉｎａｂｌｅｃｏｎｔｉｎｕｕｍｗｈｉｃｈｉｓｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｌｉｍｉｔｓｐａｃｅｏｆａｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｍａｐｆｒｏｍａｃｌｏｓｅｄｉｎｔｅｒｖａｌｉｎｔｏｉｔｓｅｌｆｃａｎｂｅｒｅａｌｉｚｅｄａｓａｇｌｏｂａｌａｔｔｒａｃｔｏｒｏｆｓｏｍｅｐｌａｎ…     

基于BP网络和RBF网络的模糊系统建模

Ｗｈｅｎａｐｐｌｙｉｎｇａｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｏｒａｎｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｔｏａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｏｖｅｒａｃｏｍｐｌｅｘｓｙｓｔｅｍ,ｉｔｉｓｓｏｍｅｔｉｍｅｓｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｏｉｄｅｎｔｉｆｙｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ,ｉｔｉｓｊｕｓｔｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｕｎｉｖｅｒｓａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎａｐｐｒｏｘｉ…     

几乎锥-次类凸向量集值优化的Benson真有效性

§ 1　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎ [1 ],Ｙａｎｇ ,ＬｉａｎｄＷａｎｇｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｎｅｗｃｌａｓｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｃｏｎｖｅｘｓｅｔ ｖａｌｕｅｄｆｕｎｃ ｔｉｏｎｓ,ｔｅｒｍｅｄｎｅａｒｌｙｃｏｎｅ ｓｕｂｃｏｎｖｅｘｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ.Ｉｎ [2 ],ＣｈｅｎａｎｄＲｏｎｇｓｔｕｄｉｅｄＢｅｎｓｏｎｐｒｏｐｅｒｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｉｎｖｅｃｔｏｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｗｉｔｈｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｃｏｎｅ ｓｕｂｃｏｎｖｅｘｌｉｋｅｖｅｃｔｏｒ ｖａｌｕｅｄｆｕｎｃ ｔｉｏｎｓ…     

三面角的棱面角的计算公式

定理　在三面角Ｓ—Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,三个面角∠Ｃ1 ＳＢ1 =α ,∠Ａ1 ＳＣ1 =β ,∠Ａ1 ＳＢ1 =γ ,且棱ＳＡ1 和平面Ｃ1 ＳＢ1 所成棱面角为θ1 ,棱ＳＢ1 和平面Ａ1 ＳＣ1 所成棱面角为θ2 ,棱ＳＣ1 和平面Ａ1 ＳＢ1 所成棱面角为θ3,则ｃｏｓθ1 =ｃｏｓ2 β ｃｏｓ2 γ- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎαｃｏｓθ2 =ｃｏｓ2 γ ｃｏｓ2 α- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎβｃｏｓθ3=ｃｏｓ2 α ｃｏｓ2 β- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎγ(三面角的棱面角余弦公式 )证明　如图 .在ＳＡ1 上取一点Ｐ ,作ＰＱ⊥平面Ｂ1 ＳＣ1 …     

一类具有总人口变化含时滞的SIS流行病模型分析

§ 1　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎａｎｅｐｉｄｅｍｉｏｌｏｇｉｃａｌｍｏｄｅｌ,ｉｆｔｈｅｒｅａｒｅｍａｎｙｄｉｓｅａｓｅ ｒｅｌａｔｅｄｄｅａｔｈｓｏｒｔｈｅｂｉｒｔｈｓａｒｅｎｏｔｂａｌａｎｃｅｄｂｙｔｈｅｄｅａｔｈｓ,ｔｈｅｎｔｈｅｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓｉｚｅｍｕｓｔｂｅａｓｓｕｍｅｄｔｏｂｅａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｉｍｅ[1] .ＩｎＳＩＳｅｐｉｄｅｍｉｏｌｏｇｉｃｍｏｄｅｌｓ,ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅｓｂｅｃｏｍｅｉｎｆｅｃｔｅｄａｆｔｅｒｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｔａｃｔｗｉｔｈａｎｉｎｆｅｃ…     

一个耦合系统自由边界问题的整体古典解

§ 1　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｇｌｏｂａｌｃｌａｓｓｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｑｕａｓｉｓｔａｔｉｏｎａｒｙｐｒｏｂｌｅｍ .Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｃｏｍｅｓｆｒｏｍｔｈｅｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆａｇｒｏｗｔｈｍｏｄｅｌｏｆｓｅｌｆｍａｉｎｔａｉｎｉｎｇｐｒｏｔｏｃｅｌｌ(ｓｅｅ [1— 3])ｉｎｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃａｓｅ .Ｔｈｅｐｒｏｔｏｃｅｌｌｃａｎｂｅｖｉｓｕａｌｉｚｅｄａｓｈａｖｉｎｇａｐｏｒｏｕｓｓｔ…     

对《一个不等式的另几种证法与推广》的商榷与补充

本刊 2 0 0 0年第 2期刊出了《一个不等式的另几种证法与推广》[1] ,读后受益匪浅 .1　一点商榷意见及修正意见文 [1 ]在证明ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ )时 ,似有“循环论证”之嫌 .现恭抄其证明过程如下 :　　　　ａ3 ｂ3≥ａ2 ｂ ａｂ2 ≥ 2ａ3ｂ3,　　　　ｂ3 ｃ3≥ｂ2 ｃ ｂｃ2 ≥ 2ｂ3ｃ3,　　　　ｃ3 ａ3≥ｃ2 ａ ｃａ2 ≥ 2ｃ3ａ3,三式相加得ａ3 ｂ3 ｃ3≥ａ3ｂ3 ｂ3ｃ3 ｃ3ａ3　　　　　　　≥ 33 ａ6 ｂ6 ｃ6 =3ａｂｃ.在证明过程的最后 ,作者绕了一个大圈 ,最终还是利用ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ来证明ａ3 ｂ3 ｃ3≥ …     

解三角形不容忽视的两个推论

解答三角形中的问题 ,除正确运用正弦定理、余弦定理外 ,还应重视它们的两个推论 .利用推论解题 ,方法简捷 ,过程明了 .1　两个推论推论 1　在△ＡＢＣ中 ,有ａ =ｂｃｏｓＣ +ｃｃｏｓＢ ,ｂ =ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＣ ,ｃ =ａｃｏｓＢ +ｂｃｏｓＡ .推论 2　在△ＡＢＣ中 ,有ｂｃｏｓＢ +ｃｃｏｓＣ=ａｃｏｓ(Ｂ -Ｃ)≤ａ (1 )ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＡ =ｂｃｏｓ(Ｃ -Ａ)≤ｂ (2 )ａｃｏｓＡ +ｂｃｏｓＢ =ｃｃｏｓ(Ａ -Ｂ)≤ｃ (3 )当且仅当 :Ｂ =Ｃ时 ,(1 )中等号成立 ;Ｃ=Ａ时 ,(2 )中等号成立 ;Ａ =Ｂ时 ,(3 )中等号成立 .证　推论 1 :由…     

关于不变集的一个注记

§ 1.Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ＬｅｔＲｎｂｅｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＥｕｃｌｉｄｅａｎｓｐａｃｅ,ａｎｄ (ｆ1,… ,ｆｍ,Ｒｎ)ａｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎｉｔｅｒａｔｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ .Ｉｔｉｓｗｅｌｌｋｎｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓａｕｎｉｑｕｅｎｏｎ ｅｍｐｔｙｃｏｍｐａｃｔｓｅｔＥｓｕｃｈｔｈａｔＥ =∪ｍｉ=1 ｆｉ(Ｅ) .ＷｅｃａｌｌｔｈｅｓｅｔＥｉｎｖａｒｉｎｔｓｅｔｆｏｒ (ｆ1,… ,ｆｍ,Ｒｎ) .　Ｌｅｔ (ｆ1,… ,ｆｍ,Ｒｎ)ｂｅａｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎｉｔｅｒａｔｅｄｆｕｎｃｔ…     

具有功能反应的两斑块扩散时滞竞争系统正周期解的存在性

§ 1　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＦｏｒｍａｎｙｓｐｅｃｉｅｓｔｈｅｓｐａｔｉａｌｆａｃｔｏｒｓａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｄｙｎａｍｉｃｓ .Ｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔｕｄｙｏｆｓｐａｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｈａｓｂｅｅｎｅｘｔｅｎｓｉｖｅｌｙｓｔｕｄｉｅｄｉｎｍａｎｙｐａｐｅｒｓ .Ｍｏｓｔｏｆｔｈｅｐｒｅｖｉｏｕｓｐａｐｅｒｓｆｏｃｕｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓｍｏｄｅｌｌｅｄｂｙｓｔｓｔｅｍｓｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅ…     

一个不等式的简洁证明

在江苏省吴县市召开的’９９全国不等式研究学术会议上,中国科学院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件ＢＯＴＴＥＭＡ给出以下不等式的一个“机器证明”：若ａ、ｂ、ｃ为正数,则ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ＞２．这里,笔者给出此不等式的一个简洁的“可读证明”．证明　∵　（ｂ＋ｃ－ａ）２≥０,∴　（ａ＋ｂ＋ｃ）２≥４ａ（ｂ＋ｃ）,∴　１ｂ＋ｃ≥４ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）２,∴　ａｂ＋ｃ≥２ａａ＋ｂ＋ｃ,同理可得　ｂｃ＋ａ≥２ｂａ＋ｂ＋ｃ,ｃａ＋ｂ≥２ｃａ＋ｂ＋ｃ．以上三式相加,且注意到三式等号不同时成立,便得ａ…     

Heegaard分解的重新分块

§ 1.Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ＬｅｔＭｂｅａｃｏｍｐａｃｔ 3 ｍａｎｉｆｏｌｄ .ＩｆｔｈｅｒｅｉｓａｐｒｏｐｅｒｌｙｅｍｂｅｄｄｅｄｃｌｏｓｅｄｓｕｒｆａｃｅＳｉｎＭｗｈｉｃｈｓｅｐａｒａｔｅｓＭｉｎｔｏｔｗｏｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｂｏｄｉｅｓＨ1ａｎｄＨ2 ,ｔｈｅｎＭｃａｎｂｅｗｒｉｔｔｅｎａｓＭ =Ｈ1∪ＳＨ2 .ＴｈｉｓｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｎＭｉｓｃａｌｌｅｄａＨｅｅｇａａｒｄｓｐｌｉｔｔｉｎｇｏｆＭａｎｄＳｉｓａｓｐｌｉｔｔｉｎｇｓｕｒｆａｃｅ .Ｈ1∪ＳＨ2 ｉｓｓａｉｄｔｏｂｅｒｅｄｕｃｉｂｌｅ…     

滋长阶小于1的亚纯函数唯一性

§ 1.ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎａｎｄＭａｉｎＲｅｓｕｌｔｓ　ＢｙａｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｗｅａｌｗａｙｓｍｅａｎａｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｐｌａｎｅＣ .ＷｅａｓｓｕｍｅｔｈａｔｔｈｅｒｅａｄｅｒｉｓｆａｍｉｌｉａｒｗｉｔｈＮｅｖａｎｌｉｎｎａｔｈｅｏｒｙｔｈａｔｃａｎｂｅｆｏｕｎｄ ,ｆｏｒｉｎｓｔａｎｃｅ ,ｉｎ [1 ] .Ｗｅｓａｙｔｈａｔｔｗｏｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆａｎｄ ｇｓｈａｒｅｔｈｅｖａｌｕｅａ∈ Ｃｐｒｏｖｉｄｅｄｔｈ…     

α-次积分半群的Trotter-kato定理

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＷｈｅｎｗｅｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｅｃａｎｆｏｒｍｕｌａｔｅｍａｎｙｏｆｔｈｅｍａｓａｎａｂｓｔｒａｃｔＣａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍ．ＡｎａｔｕｒａｌｑｕｅｓｔｉｏｎｉｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｉｓｔｏｆｉｎｄｓｕｉｔａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｗｈｉｃｈａｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆａａｂｓｔｒａｃｔＣａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍ．ｕ′ｎ＝Ａｎｕｎ（ｔ），ｕｎ（０）＝ｘｎ，ｆｏｒｔ≥０，ｎ＝１，２，…ｉｎａｎａｒｂｔｉｒａｒｙＢａ…     

两道著名不等式等价性证明的启示

贵刊文［１］通过构造恒等式　　ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ－ａ＋ｂ＋ｃ２　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ－３２）巧妙地证明了著名不等式（１）、（２）的等价性：命题１　（１９６３年莫斯科竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：　ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．（１）命题２　（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（２）受其启发,我们可得更为一般的结论：设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ,则　ａｎｂ＋ｃ＋ｂｎｃ＋ａ＋ｃ…     

一道习题的四种解法及其启示

我在高三数学培优训练中出了这样一道题 :在△ＡＢＣ中证明ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≤ 18. ( 1)学生的解法使我既惊喜又欣慰 .有些解法是我开始没有预料到的 ,有些解法又暴露出同学们对某些数学思想、方法理解中的问题 ,现呈献给大家供参考 .分析 1:积化和差会出现ｃｏｓ (Ｂ Ｃ )而在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ(Ｂ Ｃ) =-ｃｏｓＡ ,从而产生下列解法 :解法 1　ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ= 12 ｃｏｓＡ[ｃｏｓ(Ｂ Ｃ) ｃｏｓ(Ｂ -Ｃ) ]= - 12 ｃｏｓ2 Ａ 12 ｃｏｓ(Ｂ -Ｃ)ｃｏｓＡ= - 12 [ｃｏｓＡ - 12 ｃｏｓ(Ｂ -Ｃ) ] 2 18ｃｏｓ2 (Ｂ…     

对三角形三边定理的异议

文 [1 ]对△ＡＢＣ的恒等式ｃｏｓ2 Ａ ｃｏｓ2 Ｂ ｃｏｓ2 Ｃ 2ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ =1用余弦定理代换为边的表达式而得到了三角形三边定理 :-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -ｂ2 ) (ｂ2 ｃ2 -ａ2 ) -2ｃ2=0( )即　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0　 (( )为笔者所加 ) .笔者首先指出 ( )为恒等式 .由行列式的性质 ,将行列式 ( )左边第 2列、第 3列都加到第 1列后 ,行列式的值不变 .∴-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -…     

矩阵特征值的简化Brauer定理

§１　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＴｈｅｔｏｐｉｃｏｆｉｎｃｌｕｓｉｏｎｒｅｇｉｏｎｓｏｆｍａｔｒｉｘｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓｉｓｗｏｒｔｈｙｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇｉｎｐｒａｃｔｉｃｅａｓｗｅｌｌａｓｉｎｔｈｅｏｒｙ．Ｆｏｒｉｎｓｔａｎｃｅ，ｉｎ［１］ａｎｄ［２］ｃｈａｐｔｅｒｓｏｎｔｈｉｓｔｏｐｉｃａｒｅｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙｄｅｓｉｇｎｅｄ．ＬｅｔＡ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎａｎｄｒｉ＝∑ｊ≠ｉ｜ａｉｊ｜（ｉ＝１，２，．．．，ｎ）．Ｂｒａｕｅｒ＇ｓｔｈｅｏｒｅｍｐｒｏｖｉｄｅｓｅｉｇｅｎｖａｌｕ…