重心概念的几个应用

一、在几何上的应用如果在A点上放置质量m,我們表成:(A,m)。两个貭点(A,a)和(B,b)的重心C,是在綫段AB上且滿足“槓杆法則”——a与CA的乘积等于b与CB的乘积,即 a·CA=b·CB,或CA/CB=b/a.(1)这就是說:两个貭点的重心到这两点的距离与这两貭点的貭量成反比。“点C是貭点(A,a)和(B,b)的重心”我們表成 Z[(A,a),(B,b)]≡C,     

立体几何中多面体的教学

一、教学目的这一部分教材主要是研究多面体(稜柱、稜錐、稜台和正多面体)的定义、性貭以及表面积和体积的計算。它是在学习了直綫、平面的位置关系的判定、性质等知識之后提出来的。学习这一部分教材时,学生对于空間图形的性貭已經具有初步的认識,并且对于空間想象能力和繪图能力已有一定的基础。这一部分教材如果学习得好,对于学习旋轉体就很容易,因为这两部分教材研究的方法和許多公式都很相似,所以学好这一部分教材非常重要。这一部分教材的教学目的是使学生对多面体、稜柱、稜錐、稜台和正多面体获得明确的概念;理解它們的性貭;掌握它們的表面积和体积公式;能够运用上列知識进行計算,解决有关的实际問題。     

可容納n重正交超曲面系统的黎曼空間V_n的一些性质

<正> 1.大家知道,不是所有黎曼空間V_n真內都存在n重正交超曲面系統的,但是另一方面容許这种超曲面系統存在的黎曼空間亦是相当广泛的,例如常曲率空間便具有这种性貭.这种超曲面系統的存在不但影响到空間本身的結构,并且亦体現于这些超曲面相互间的关联性质.从古典的微分几何,大家知道,曲面上一个正交曲线网通过一点的两条曲线与     

多值映象的本貭不动点

<正> 命X是一个紧致尺度空間,f是一个映X入自身的連續映象.M.K.Fort Jr.引进了f的所謂本貭不动点的概念,并在空間X具有不动点性貭——任何映X入自身的連續映象均至少有一不动点——这个基本假定下,証明了任何一个映象都可以用只有本貭不动点的映象来任意逼近.在这篇注記里,我們将对多值映象引进本貭不动点的概念,并取銷空間X具有所謂不动点性貭的基本假定来証明一个相当的逼近定理.     

“二次曲线”一章的教学体会

在新编高中课本第二册,二次曲线一章的教学中,我有如下的体会:教材先介绍椭圆定义,“动点到两定点的距离之和等于定值的点轨迹叫椭圆”.然后据此定义导出标准方程,后来安排一个例题:(即现行教材中的例4)点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=a~2/c的距离的比是常数c/a(a>c>0),     

关于“一类泛函空間的一些性貭及应用”一文的一点声明

<正> 在数学学报第10卷第3期拙作“一类泛函空間的一些性貭及应用”一文中,我們曾經用符号H_p~(l)表示某种函数空間,但此符号用以表示另外的空間,而我們所指的空間,在的工作中是用W_p~(l),l=(l,…,l)来表示.     

关于解析几何教学的几点注意(續)

本文叙述解析几何教学中的几个問題。內容包括:(一)关于常态圓錐曲綫的两个定理;(二)关于圓周方程的一个定理;(三)关于极坐标方程图形的描繪。可作平面解析几何課的教学参考材料。 (一)关于常态圓錐曲綫的两个定理众所周知,实常态圓錐曲綫乃指椭圓、双曲綫、拋物綫和圓(圓可看作椭圆的极端情况)。常見的定义蘊涵在下述命題之中。命题.一个曲綫具有下述三属性之一,則必然具有另二属性。Ⅰ.平面π上具有下述性貭之一的动点的軌迹: (1)到π上的两个定点的距离之和为一个大于此二点間距离的常数; (2)到π上的两个定点的距离之差为一个小于此二点間距离的正常数; (3)到π上的一个定点及一条不通过它的定直綫     

一道获奖命题的巧证

《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》一书中,有这样一个获奖题目:凸四边形ABCD的两组对边互不平行,线段P1P2位于四边形内部.如果P1、P2两点分别到四边距离之和都等于m,那么,P1P2上任意一点到四边距离之和也等于m.给出的解答较繁,笔者以引人参数巧证,简明得多. 证明设P1、P2到四边距离依次为a1、b1、c1、d1,a2、b2、c2、d2,P为P2上任一点, 设P1P/P1P2=λ,P到四边距离分别a、b、c、d.     

学习微商与不定积分(續)

二、微商的应用我們有了微商的知識,可以利用它研究函数的一些主要性貭,例如利用微商可以确定函数的单調性(增加或减小)、函数的极大极小,进而研究最大最小問题,做为几何上的应用,可以研究函数曲綫的凸凹性、作函数图形等等。利用微商研究这些問題时,要时时刻刻不忘一个函数的微商在几何上表示函数曲綫的切綫斜率这一几何意义,并密切联想函数图形,就容易理解上述諸問題中利用微商的思路,最后利用微商解决定未定式的問题。 1.微分学中的重要定理研究上述諸問題以前,先介紹一下两个重要定理。它将刻划函数在整个区間上的变化与微商概念的局部性之间的联系。中值定理若函数f(x)在閉区間[a,b]上連續,在开区間(a,b)內可微,則在(a,b)內必有一点ξ,使 (f(b)-f(a))/(b-a)=f＇(ξ)。 (3) 这个定理从图形上看是很明显的,設函数f(x)所表示的曲綫如图2。A和B的纵坐标各为f(a)和f(b),因此     

一道课本习题的错解及剖析

高中数学第二册 (上 ) (试验修订本·必修 )P1 0 3上有这样一道习题 :点P与一定点F( 2 ,0 )的距离和它到一定直线x =8的距离的比是 1∶2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .常见解法 :由椭圆的第二定义及性质得 :c=2ca=12 a =4 b=2 3于是点P的轨迹是椭圆x21 6+y21 2 =1这种解法靠得住吗 ?不妨再看一例 :点P与一定点F( 1 ,0 )的距离和它到一定直线x =5的距离的比是 1∶ 3 ,求点P的轨迹方程 .错解 1 :同上例得所求的方程为x23 +y22 =1 .错解 2 :由椭圆的性质得c=1a2c=5 a2 =5,b2 =4.于是所求的方程为 x25+y24=1 .错解 3 :由椭圆的…     

椭圆的第二定义及其应用

<正>本文主要针对椭圆的第二定义的巩固及应用采撷几例与读者共切磋,望对大家有所帮助.一、椭圆的第二定义若平面内的动点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=(a~2)/c距离的比是常数c/a(a>c>0),则点M的轨迹为椭圆,定直线l叫作椭圆的准线.注一般地,如果遇到动点到两个定点的     

复数与初等几何变換

一、引言复数是用来表达平面上点的位置的数:z=x++(-1)~(1/2)y,x,y是实数,(x,y)即是点的笛儿直角坐标,或z=ρe~(iθ),ρ,θ是实数(i-(-1)~(1/2),(ρ,O)乃是点的极坐标。把一个数乘上z=ρe~(iθ),就是把这个数所表达的点沿这点与坐标原点的联线伸縮ρ倍,并从这联线起按反时針方向旋轉一个角度θ;把一个数加上复数z=x+iy,就是把这个数所表达的点沿横軸移动有向距离x,沿纵軸移动有向距离y。这样,利用复数的运算,初等平面几何上的許多定理可以化简其証明。同时,通过复数的运用可以对初等平面几何作概括的叙述,如全等形的理論是討論簡单图形在刚体运动(平移和旋轉)z→az+b(这里|a|=1)下不变的性貭,相似形的理論是討論在变換z→az+b(a,b是任意复数) 下不变的性貭。掌握了这些变換,不但能对初等平面几何学以簡叙繁,而且对复数的了解也更深刻。二、初等几何变換簡介变換理論是几伺作图的主要依据。如果借助于任何規則或规律对于某个图形,的每一个点A,在某个图形F＇有一个确定的点B与之对应,那么我們說,图形F被变換到图形F＇。Ⅰ.合同变換 假設有一个图形F,經过某种变換而变为与自己合同的图形F＇,那么这个变換叫做合同变換。合同变換分下列三种:     

新概念命题例析

纵观近几年的高考、竞赛试题中 ,出现了一类情景、立意新颖别致的新概念命题 .这些问题大都是按照一定的规则和要求定义一个新概念 (包括数、式、点、运算、函数等 ) ,要求考生按照这个新概念的定义 ,运用逻辑推理和计算进行解题 .下面就结合一些具体的例题来加以说明 .1.定义一个新运算例 1　设绝对值小于 1的全体实数集合为S ,在S中定义一种运算“ ” ,使得a b =a +b1+ab.( 1)证明 :如果a∈S ,b∈S ,那么a b∈S ;( 2 )证明 :(a b) c =a (b c) .证明　 ( 1)∵　a∈S ,　∴　 -1相似文献   

一类泛函空間的嵌入定理

<正> 在泛函分析应用到数学物理的研究中,考虑了所謂W_p~(l)空間,W_p~(l)中的函数f∈L_p(Ω),且其任一l阶的广义导数表示定义在n維欧氏空間R_n內有界开集Ω上的p次冪Lebesgue可和函数的全体,点     

120°三角形数的两个性质

人们容易从余弦定理联想到,把勾股数组推广到钝角三角形的情况。本文对这个有趣的问题作一点初步探讨,得到120°三角形数的两个有趣的性质。定义自然数组(a,b,c)叫做120°三角形数,如果a、b、c构成120°的钝角三角形的三边。这种数组记为OPT(a,b,c),如果a,b,c没有公因子,则称这种OPT(a,b,c)为本原的。下面将证明两个定理。定理1 一个自然数a出现于本原的OPT中,当且仅当a是不小于3的奇数或8的倍     

一个Ulam问题的解答

在最近出版的Ulam的问题集[1]中包含如下一个未解决的问题: 设R表正有理整数之集,在其上定义有通常的运算a+b=s(a,b)及a·b=m(a,b)。现在考虑任一把R×R一一地映成R的映射c=p(a,b)。我们可以定义两个函数б和μ使之分别与s和m相应,其定义如下:今问是否存在这样的一一映射p(由R×R到R),使得对于一切c∈R成立? 本文的目的是给上述问题以一个否定的解决。     

等差和等比中项性质的另类应用

<正>等差中项和等比中项是数列的两个重要概念,分别有如下性质:1 b是a、c的等差中项2b=a+c;2 b是a、c的等比中项b2=a·c(b≠0).在题设条件具有"2b=a+c"或"b2=a·c"结构特征的一些非数列问题,利用上述性质来处理,新颖独特,别具一格.一、在代数求值中的应用例1已知a>b>1且logab+logba=(10)/3,     

对初中代数第一二章概念問題的体会

我觉得同学学好数学的一个是关键問題就是概念掌握得如何,因为数学概念是反映事物的最本貭特征,由具体到抽象由特殊到一般的加以分析綜合而成的,許多概念是在指导着运算,概念与概念间也是有密切联系的。因此如果只是老师把概念讲清楚了同学听明白了或仅仅是靠死     

等差和等比中项性质的另类应用

等差中项和等比中项是数列的两个重要概念,分别有如下性质：①b是a、c的等差中项←→b=a＋c;②b是a、c的等比中项←→b2=a·c（b≠0）.在题设条件具有＂2b=a＋c＂或＂b2=a·c＂结构特征的一些非数列问题,利用上述性质来处理,新颖独特,别具一格.     

关于格序群中交换性的注记

本文利用非交换格序群的一个例,证明了交换格序群一些命题中交换性条件的必要性。例令G是一个群有三个无穷阶、线性无关的生成元a,b,c;并且定义关系a+b=b+a,a+c—c+b,b+c—c+a;G~+包含ma+m＇b+nc当且仅当n>0或n—0而m≥O,m＇≥0。