上期课外练习解答

高一年级1.∵　f(2 ) =f(1)·f(1) =1,f(3 ) =f(1)·f(2 ) =1,f(4 ) =f(3 )·f(1) =1……由归纳得f(1) =f(2 ) =f(3 ) =… =f(2 0 0 3 ) =1.∴　原式 =1.2 .当x为非零实数 ,故　f(x + 1) =f(x)·f(1) 　f(x + 1)f(x) =f(1) =3 ,故　f(2 )f(1) + f(4 )f(3 ) +… + f(2n)f(2n -1) =3n .∴　n =667.3 .f(x) =a + 1-2ax + 2 欲使f(x)在 (-2 ,+∞ )上是增函数 ,只须使 1-2a <0 ,故a的取值范围是 (12 ,+∞ ) .高二年级1.记f(x) =x2 -2x +a ,g(x) =x2 -2bx + 5由函数图象易知A B f(1) =a -1≤ 0 ,f(3 ) =3 +a≤ 0 ,且 g(1) =6-2b≤ 0 ,g(3 ) =1…     

初三几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 6分 )1 .与已知点P的距离为 2 .5cm的所有点组成的平面图形是 .2 .在Rt△ABC中 ,∠C =90°,a =5 ,b =1 2 ,那么sinA = ,cosA =.3 .角平分线是的点的集合 .4.已知cosA =32 ,且∠B =90° -∠A ,则sinB =.5 .若圆的一条弦长为 1 2cm ,其弦心距等于 8cm ,则该圆的半径等于 .6.∠AOB的两边分⊙O为 1∶5两部分 ,则劣弦AB所对的圆周角等于度 .7.化简 :tan5 3°·tan48°·tan45°·tan3 7°·tan42°=.8.计算 :(sin45° -1 ) 2 +|1-tan60°|=.9.如图 1 ,⊙O的两条弦AB ,CD交于点P ,已知AP =2cm ,BP=6c…     

2004年中考数学模拟试题(3)

一、选择题 (本大题共 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下列各数中 ,是负数的是 (　 ) .A . -( -1 )　　　　B .( -2 ) 2C .( -1 ) 2 　D . -|-2 |2 .下列运算中正确的是 (　 ) .A .|-a|=a　　B .a2 ·a3 =a6C . a2 =aD . -( -a) 3 =a33 .已知角α的余角是 3 2°7′,则角α等于 (　 ) .A .1 44°5 3′　B .5 7°5 3′C .5 7°3′　D .1 44°3′4.如图 ,AB是⊙O的直径 ,AC是弦 ,CD切⊙O于C ,交AB的延长线于D ,若弧BC的度数为 40°,则∠D的度数为 (　 ) .A .5 0°　　　B .40°C .3 0°　　　D .2 0°5 .抛物线y=-x2 +4x-2的顶点坐标是 (…     

八年级数学(华东师大版)第一学期期末自测题

A组一、选择题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1 .下列计算正确的是 (　　 ) .A .x3 ·x2 =x6　　　　B .(a3 ) 2 =a5C .(ab2 ) 3 =ab6D .2x4·3x4=6x82 .下列各式中 ,不能运用乘法公式进行计算的是(　　 ) .A .( 3a+4b) ( 3b -4a)　B .(a+0 .5 ) (a -12 )C .(x +y) ( -x -y)D .(a2 +b2 ) (a2 +b2 )3 .下列现象不属于平移现象的是 (　　 ) .A .滑雪运动员在平坦的雪地上直线滑行B .大楼电梯上上下下迎送乘客C .电风扇叶片的旋转D .飞机起飞前在轨道上加速滑行4.下列说法正确的是 (　　 ) .A .抛掷瓶盖出现正面的机会与抛掷硬币出现正面的机…     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

一个对数恒等式的特例和应用

对数恒等式砂。:aN=刀。“aM 式中从从a均为正数,且a手1. 例1计算:7,:20·(去)’:07. 解:原式=71520 .2一l凶.7 =71+102·21一、:7=14·71:2·2一197 二14·2107·2一l:7=14. 从以上解题过程我们看到,利用(*)式,较简便. 例2求证: 109。(109。矿) a logaa=nlog。a.(*)例3解方程组:、、,夕、,..口..上,自才...1 1.尹0939+2少og3x一27,显然比 (1093夕一log3x=1.解:由分。幻“=梦og3x知,方程川可化为:3扩09,x=27,即少”3x=9,上式两边取以3为底的对数.得log3x·10939=2.于是原方程组化为:(3)叭log3x·1093,=2,10939一log3x=1. 1证:左边一}a,09。…     

等差数列不等差

若一数列佃。}的前”项和公式是:S,,’+l,则此数列是等差数列. 证明:一「(n一l)’S一5._,一(。’+l)+]1=Zn一l a。一l一s。一l一S。一2一Zn一3, ·‘·a。一a。_,=(2”一l)一(Zn一3)二2 …伸。}是等差数列· 然而,’·’al二51,a,+a:=52,a,+aZ+a3一S, ·’·al一12+l,a一+aZ一22+- al+aZ+a3一32+- 解得:a,一2,aZ一3,a,一5 ·’,aZ一a,笋a,一aZ即数列于a。冬不等差数列. 前而证明了扣,}是等差数列,为什么用一些特殊项去验证却不成立呢?本期‘数学诡辩’揭底 2错因.就是用前n项和公式去求通项公式时,未注惫到数列的首项情况.由a。=sn一s…     

为什么有不同的结果

问题:已知数列{an}满足a1=51,an+an+1=54n+1,求lni→m∞(a1+a2+a3+…+an)的值.(2004年高考湖南第8题)方法(1):a1+a2+a3+…+an+…=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…=542+544+546+…=1-542512=61.方法(2):a1+a2+a3+…+an+…=21[a1+(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+(a4+a5)+…]=2151+542+543+543+…=51方法(3):由an+an+1=54n+1,an+1+an+2=54n+2,两式相减得,an-an+2=51n6+2=51n6+2=1256·51n,利用a1-a3=1256·51,a3-a5=1265·513,a5-a7=1256·515,…,a2n-1-a2n+1=1256·521n-1,以上n个等式全部相加得,a1-a2n+1=215615+513+…+521n-1=1251-512n,所以a2n+1=115…     

QUASI-FIELD AND SYSTEMS THEORY OVER QUASI-FIELD

Definition 1.Suppose that S is a set,(S,+,0)in a additive commutativemonoid,(S\O,·,1,-1)is a multiplication commutative group、 a∈S,o ·a=a·o=0and a,b,c∈S,a(b+c)=ab+ac.We call S a quasi-field. Theorem 1. Quasi—fields have only three kinds:     

关于乘法分拆的计数函数

本文讨论了乘法分拆的计数函数 g(n)并对 g(n)的均值作了下界的估值。一 引言考虑集合 T(n)={(m_1,m_2,…,m_s);n=m_1m_2…m_s,m_i>1,1≤i≤s},此处不计m_1,m_2,…,m_s 的次序。我们定义 g(n)=|T(n)|并且 g(1)=1。例如 g(24)=7,因为24=3·8=3·4·2=3·2·2·2=6·4=6·2·2=12·2.在1983年,John F.Hughes 和 J.O.Shallit 证明了 g(n)≤2n 2~(1/2)     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

高階等差級数

1+1+1+…+1=n,1+2+3+…+n=(1/2)n(n+1),1+3+6+…+(1/2)n(n+1)==(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)1+4+10+…+(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)==(1/1·2·3·4)n(n+1)(n+2)(n+3),…………………要証明这些式子是不困难的。例如:因为     

陕西省第五次大学生高等数学竞赛

本科组　复赛试题及答案本试卷共 1 2题 ,满分 1 50分。1 (1 5分 ) 计算 3 13×3· 913×9· 2 713×2 7· 81 13×81 ·…　　　答案 :(3 14 )2 (1 5分 ) 求 y =x3x2 -1 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。答案 :(单调增区间有 (-∞ ,-3 ) ,(3 ,+∞ ) ,单调减区间有 (-3 ,-1 ) ,(-1 ,1 ) ,(1 ,3 ) ;极大值为 y x=- 3=-3 32 ,极小值为 yx =3=3 32 ;凹区间有 (-1 ,0 ) ,(1 ,+∞ ) ,凸区间有(-∞ ,-1 ) ,(0 ,1 ) ;渐近线有 :铅直渐近线x=-1 ,x=1 ,斜渐近线有 y=x)3 (1 5分 ) 设 f(x)在[a,b]上连续 ,证明 :limh→ 0 +1h∫xa[f(t+h)…     

初二代数第一学期期中自测题

A组题一、判断题 (每小题 2分 ,共 1 0分 )1 .x5-y5=(x2 -y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .2 .(x -y) n=(y-x) n(n为偶数 ) (　 ) .3 .x6-y6=(x3 -y3 ) (x3 +y3 )=(x -y) (x2 +y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .4.(a -b) 2 -(a +b) 2 =2a4(　 ) .5 .8a3 -6a2 +2a的公因式是 2a (　 ) .二、选择题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .1 6a2 +2m +b2 是一个完全平方式 ,那么m的值是 (　 ) .A .± 4ab　B .± 1 6ab　C .± 3 2ab　D .1 6ab2 .下列分解因式错误的是 (　 ) .A .4a2 -1 =( 2a +1 ) ( 2a -1 )B .a4-64=(a2 +8) (a +2 2 ) (a -2 2 )C .a4+1 =(a2 -1 ) (a2 -…     

2005年全国中考试题精选 南京市

一、选择题(每小题2分,共24分)下列各题所附的四个选项中,有且只有一个是正确的.1.如果a与-2互为倒数,那么a是()·A.-2B.-12C.12D.22.比-1大1的数是()·A.-2B.-1C.0D.13.计算x3·x2的结果是()·A.x9B.x8C.x6D.x54.9的算术平方根是()·A.-3B.3C.±3D.815.反比例函数y=-2x的图象位于()·A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限6.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是()·A.-2B.2C.-1D.17.在比例尺为1∶40000的工程示意图上,将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3cm,它的实际长度…     

交换分配半环上的最小分配格同余

§ 1 .　Introduction　　AsemiringSisanalgebraicstructure(S ,+,·)consistingofanon emptysetStogetherwithtwobinaryoperations +and·onSsuchthat(S ,+)and(S ,·)aresemigroupsconnectedbyring likedistributivity[1 ] .AsemiringSiscalledacommutativesemiringif (S ,+)and(S ,·)arebothcommutative.AcommutativesemiringiscalledacommutativedistributivityifinStheadditionisdistributiveaboutmultiplication ,i.e.,ab +c =(a+c) (b+c) ,a +bc=(a +b) (a+c) holdsforalla ,b,c∈S[2 ] .Anequivalentrelationρonasemiring…     

2004年中考数学模拟试题(4)

一、选择题 (本大题共 3 6分 ,每小题 3分 )1 .已知 2x =3y(x≠ 0 ) ,则下列比例式成立的是(　 ) .A .x2 =y3 　　　　B .x3 =y2C .xy =23 　　D .x2 =3y2 .一个角是它余角的 4倍 ,则这个角的补角为(　 ) .A .1 62°　　B .72°　　C .1 0 8°　　D .1 44°3 .下列式子中 ,总能成立的是 (　 ) .A .(a -1 ) 2 =a2 -1B .(a +1 ) 2 =a2 +a+1C .(a +1 ) (a-1 ) =a2 -a+1D .(a +1 ) ( 1 -a) =1 -a24.下列图形中 ,不是轴对称图形的是 (　 ) .5 .下列各个方程中 ,无解的方程是 (　 ) .A .x+2 =-1B .3 (x -2 ) +1 =0C .x2 -1 =0D . xx-1 =26.…     

对一类求面积习题解法的研究

下面是两道流行的习题及解答: 题1 一平行四边形的两邻边长分别为2和4,两对角线的夹角为60°,试求其面积。设这个平行四边形的两对角线长分别为2x、2y,面积为S。则有S=4·1/2xysin60°=3~(1/3)xy,又据余弦定理得解之,得xy=6。所以,S=6(3)~(1/2)。例2 已知平行四边形的两邻边分别为2和4,其对角线的夹角为45°,求该平行四边形的面积。设法同题1.则S=4×1/2xysin45°=     

如何求三项展开式的项

二项式定理一节中,常遇到求三项式(ａ ｂ ｃ)ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式的项.求解方法主要是转化为二项式利用二项式定理展开或用组合观点直接求解.例题　求(1 2ｘ-3ｘ2)6展开式中ｘ5的系数.解法1　(1 2ｘ-3ｘ2)6=[1 (2ｘ-3ｘ2)]6的一般项可写成Ｔｋ 1=Ｃｋ6(2ｘ-3ｘ2)ｋ,ｋ=0,1,2,…,6.又(2ｘ-3ｘ2)ｋ的一般项可写成Ｔｒ 1=Ｃｒｋ·(2ｘ)ｋ-ｒ·(-3ｘ2)ｒ=Ｃｒｋ·2ｋ-ｒ·(-3)ｒ·ｘｋ ｒ,ｒ=0,1,…,ｋ.所以原式展开式的一般项为Ｃｋ6Ｃｒｋ(-3)ｒ·2ｋ-ｒ·ｘｋ ｒ.欲求ｘ5的系数,则ｋ ｒ=5即ｋ=5-ｒ.∵ｒ≤ｋ,所以当ｋ值是5,4,3时,对应的ｒ=0,1…     

初二代数第二学期期中自测题

A组(满分100分) 一、填空题(每小题3分,共15分) (1)1-2的相反数是_,|π-23|=_,|2-3|=_。(2)如果x2=16,则x3=_;如果x3=64,则x=_.(3)如果a的平方根是±2,那么a=_。(4)3-64=_;±4256/625=_;2n+1-1(n为自然数)=_。(5)当x_时,3x-4无意义.(6)已知正方体一面的面积是a,则这个正方体的体积是_.