数学归纳法的理论依据

我们在中学教数学归纳法时,经常碰到一些勤于思考的学生提出:“数学归纳法的理论依据是什么?”这个问题在“高等代数”中早有论述,为着爱护同学们的探索精神和求知欲望,我们以课外活动形式,作出简要的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。 1962年华罗庚教授在一次讲话中说:“简单朴素的数的性质,成为数学概念和方法的一个重要源泉。”数学归纳法是用来证明某些与自然数n有关的数学命题P(n)的重要方法,它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关。 1889年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数系公理,揭示出自然数集Ⅳ的基本性质。 (1)1∈N。 (2)若a∈N,则有且仅有一个自然数紧跟在a后面,记为a+1。 (3)若a∈N,则A+1≠1。 (4)设x∈N,y∈N,当x+1=y+1时,x=y。     

2004年中考数学模拟试题(4)

一、选择题 (本大题共 3 6分 ,每小题 3分 )1 .已知 2x =3y(x≠ 0 ) ,则下列比例式成立的是(　 ) .A .x2 =y3 　　　　B .x3 =y2C .xy =23 　　D .x2 =3y2 .一个角是它余角的 4倍 ,则这个角的补角为(　 ) .A .1 62°　　B .72°　　C .1 0 8°　　D .1 44°3 .下列式子中 ,总能成立的是 (　 ) .A .(a -1 ) 2 =a2 -1B .(a +1 ) 2 =a2 +a+1C .(a +1 ) (a-1 ) =a2 -a+1D .(a +1 ) ( 1 -a) =1 -a24.下列图形中 ,不是轴对称图形的是 (　 ) .5 .下列各个方程中 ,无解的方程是 (　 ) .A .x+2 =-1B .3 (x -2 ) +1 =0C .x2 -1 =0D . xx-1 =26.…     

变式教学要多让学生“变”

1现象呈现题已知函数f(x)=√x-lnx.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;(2)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.     

新题征展(72)

A题组新编1.下列条件对于函数f(x)定义域中的每一个x都成立,其中(a≠0,k≠0,a,b,k∈R):(1)条件1f(x)-f(-x)=0;条件2f(a x)=f(a-x);条件3f(kx b)=f(-kx-b);条件4f(x)=(x-a)0.其中判断函数f(x)是偶函数的条件是.(2)条件1f(a x)=f(a-x);2f(x)=f(2a-x);3f(3a-x)=f(x-a);4f(x)=(x-a)     

也谈椭圆和双曲线的姊妹圆

读本刊文 [1 ]和文 [2 ]推出了几个椭圆和双曲线的姊妹圆的文章后 ,经过进一步研究发现一个有趣的问题 .现提出笔者的一个发现 ,供大家参考 .命题　平面上到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0 ,λ≠ 1)的点的轨迹为圆 .证明　设两定点 A(m,0 ) ,B(- m,0 ) ,动点 P(x,y) .由已知得|PA||PB|=λ(λ≠ 1)或 |PB||PA|=λ(λ≠ 1) ,即　　　 (x m) 2 y2(x - m) 2 y2 =λ或　　　 (x - m) 2 y2(x m) 2 y2 =λ∴　 (λ2 - 1) x2 ± 2 m(λ2 1) x (λ2 - 1) y2 =(1-λ2 ) m2 　 (λ≠ 1) (1)∴　 (x± λ2 1λ2 - 1m) 2 y2 =4λ2 m2(λ…     

巧用抛物线的一个性质解决一类高考题

定理从抛物线外一点P引抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若F是抛物线的焦点,则有∠PFA=∠PFB.图1证法1如图1,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA:x1x-py-py1=0,∴x1x0-py0-py1=0.切线PB:x2x-py-py2=0,∴x2x0-py0-py2=0.∵FA=(x1,y1-p2),FB=(x2,y2-p2),FP=(x0,y0-p2),∴cos∠PFA=FA·FP|FA||·FP|=x1x0 (y1-p2)(y0-p2)|FP|(y1 p2)=p(y1 y0) (y1-p2)(y0-p2)|FP|(y1 p2)=y1y0 p2(y1 y0) 2p4|FP|(y1 p2)=(y1 p2)(y0 p2)|FP|(y1 p2)=y0 p2|FP|,同理cos∠PFB=y0 p2|FP|,∴∠PFA=∠P…     

2005年湖南省数学竞赛试题

选择题(本大题共10个小题,每小题6分,满分60分.每小题有且只有一个正确的答案.)1命题甲:x≠1002或y≠1003;命题乙:x y≠2005.则命题甲是命题乙的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分而且必要条件.(D)既不充分又不必要条件.解若x y≠2005且甲不成立,则x=1002且y=1003,故x y=2005,这与x y≠2005矛盾,所以甲是乙的必要条件.反之,取x=1000且y=1005,则x y=2005.故甲不是乙的充分条件,故选(B).2如果圆x2 y2=n2至少覆盖函数f(x)=3sinπnx的一个最大点和一个最小点,则正整数n的最小值为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.解因为f(x)=3sinπnx为…     

两类BCI—代数的结构特征

在[1]中有:BCI(K)—代数M=是拟左交错的,如果■x,y∈X,x≠y时有 x*(x*y)=(x*x)*yM是拟右交错的,如果?x,y∈X,x≠y时有     

上期课外练习解答

高一年级1.(1)B≠φ时,-2√2相似文献   

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…