貌似神异题目的并组辨析

数学中有很多题目 ,表面相似 ,实质存在着差异 ,学生们常分辨不清 .通过并成题组 ,进行类比辨析 ,在比较之中加深理解 ,才能明确似在那里 ,异在何处 .例 1　 1)已知函数ｆ(ｘ) 的定义域为 [- 1,1],求函数 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域 .2 )已知函数 ｆ[ｌｏｇ12 ( 3-ｘ) ]的定义域为 [1,52 ],求函数ｆ(ｘ) 的定义域 .3)已知函数 ｙ =ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域为 [12 ,2 ],求函数 ｆ[( 12 ) ｘ- 2 ]的定义域 .解　 1)求 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域是求其中ｘ的取值范围 ,而ｌｏｇ12 ( 3-ｘ)∈ [- 1,1],由 - 1≤ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ)≤ 1,…     

对一个方程根的分布问题的修正

已知含参数的方程的解在某个区间内或在某个区间内有解 ,求方程中参数的取值范围是一类常见问题 ,文 [1 ]中就有一个关于这类问题的例子 ,现将该例及其解答摘录如下 :关于ｘ的方程 :ｌｏｇ4ｘ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 4 ) -ｔ的根在 ( - 2 ,- 1 )内 ,则实数ｔ∈　　　　　　 .解　因为 - 2 <ｘ<- 1所以ｔ =ｌｏｇ2ｘ+ 4-ｘ=ｌｏｇ2 ( - 1 - 4ｘ) ∈ ( 0 ,ｌｏｇ2 3)或求出ｘ =- 42 ｔ+ 1 ,解不等式 - 2 <- 42 ｔ+ 1 <- 1得 :ｔ∈ ( 0 ,ｌｏｇ2 3)笔者以为 :上面的解法是错误的 .这是因为 ,方程ｌｏｇ4ｘ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 4 ) -ｔ与方程ｔ=ｌｏｇ2ｘ…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦函数、不等式、数列

(接第 1 8期Ｐ48)　　解答题1.由 ｆ(2 ) =ｇ(2 ) - 1知点 (2 ,1)是两函数图象的公共点 .假定 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ)的图象还有一个公共点(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｆ(ｘ0 ) =ｇ(ｘ0 ) =ｙ0 (1) ,ｌｇ3(1+ｘ0 ) =ｌｏｇ2 ｘ0 (ｘ0 >0 )即 1+ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,即 1+ 2 ｌｏｇ2 ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,令ｔ =ｌｏｇ2 ｘ0 ,∴ 1+ 2 ｔ=3ｔ,∴ (13) ｔ+ (23) ｔ=1(2 ) ,而 (13) ｔ+ (23) ｔ 为单调递减函数 ,故 (2 )仅一解ｔ =1,从而 (1)只有唯一解ｘ0 =2 .2 .1)由已知 ,将函数 ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ + 1)进行坐标变换ｘ→ｘ + 1,ｙ→ ｙ2 . 得 ｙ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 1…     

指数函数和对数函数问题

函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)叫做指数函数 ,定义域是Ｒ .函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ (ａ >0 ,ａ≠ 1)叫做对数函数 ,定义域是Ｒ ,指数函数与对数函数互为反函数 ,它们的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .指数函数和对数函数是两个重要的基本初等函数 ,也是中学数学的重要内容之一 .本文我们讨论数学竞赛中的一些指数函数和对数函数问题 .例 1　 (1983年全国高中数学联赛试题 )ｘ =1ｌｏｇ1213 1ｌｏｇ1513的值属于区间 (　　 )(Ａ) (- 2 ,- 1) .　　　　 (Ｂ) (1,2 ) .(Ｃ) (- 3,- 2 ) . (Ｄ) (2 ,3) .解　∵ｘ =ｌｏｇ1312 ｌｏｇ1315 =ｌｏｇ…     

函数单调性在解不等式与方程中的应用

1　在解不等式中的应用例 1　解不等式(1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <(0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ.解　∵ (1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 =541-(ｌｏｇ2 ｘ) 2=54 · 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 ,又∵ (0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ=(45) 8,∴原不等式可变形为5445(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <458,即 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <459.∵ 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 为单调减函数 ,∴ (ｌｏｇ2 ｘ) 2 >9.即ｌｏｇ2 ｘ >3或ｌｏｇ2 ｘ <- 3 .故此不等式的解是 :0 <ｘ <18或ｘ >8.例 2　已知 ｙ1=ａｘ2 -3ｘ 1与 ｙ2 =ａｘ2 2ｘ -5 ,其中ａ >0且ａ≠ 1 ,若 ｙ1<ｙ2 ,求ｘ的值 .解　若ａ >1 ,则 ｙ…     

避免分类讨论,简化有关参数问题

数学中有许多问题涉及参数 ,分类讨论是一种重要的解题策略 ,有关的刊物也刊登过如何进行分类讨论解决含有参数问题的文章 ,但本人在长期的教学中发现有相当数量的看似需要分类讨论来解决的含参数问题 ,可以避免分类讨论 ,从而优化解题过程 .1　消去参数 ,避免分类讨论例 1　设 0 <ｘ <1 ,ａ >0且ａ≠ 1 ,比较|ｌｏｇａ( 1 -ｘ) |与 |ｌｏｇａ( 1 ｘ) |的大小 .解　 ｌｏｇａ( 1 -ｘ)ｌｏｇａ( 1 ｘ) =ｌｏｇ( 1 ｘ) ( 1-ｘ) =ｌｏｇ( 1 ｘ)( 1-ｘ) ( 1 ｘ)( 1 ｘ) =ｌｏｇ( 1 ｘ) ( 1-ｘ2 ) - 1 .∵ 0 <ｘ <1 ,∴ 1 <1 ｘ <2 ,0 <1 -ｘ2…     

构造函数比较大小

构造函数解题是数学中比较常用的一种方法 ,比较常用的函数有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数等 ,但我们还可以构造其它类型的函数来解决问题 .例题　比较大小ｌｏｇ2 0 0 0 2 0 0 1与ｌｏｇ2 0 0 1 2 0 0 2 .分析　此题看似复杂 ,但如果我们能构造出函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 ) (ｘ >1 )并证明其单调性 ,就可迎刃而解 .因而题目便转化到证明ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 )的单调性上 .解　构造 ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 )　 (ｘ >1 ) ,∵　ｆ(ｘ) =ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 ) ,∴　ｘｙ =ｘ + 1 ,　∴　ｘｙ - 1 =1 + 1ｘ .设ｘ1 ,ｘ2 ∈ ( 1 ,+…     

谈变量取值范围问题的求解策略

变量取值范围 (包括变量的最值等 )问题几乎涉及到高中数学的各个分支 ,在代数、三角、立几、解几的学习中经常遇到 ,并且以各种题型出现在历年的高考试题中 .为了有利于教和学 ,有必要对此类问题作提炼小结 ,下面谈谈几种求解策略 .1　构建函数函数思想是一种重要的数学思想 ,将数学问题转化为利用函数的性质求解是一种重要的手段 .1 1　构建一、二次函数例 1　　对于 0 ≤ｘ≤ 1 ,不等式 (ｘ- 1 )ｌｏｇ23ａ-6ｘｌｏｇ3ａ ｘ 1 >0恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .解　构建函数ｆ(ｘ) =(ｌｏｇ23ａ- 6ｌｏｇ3ａ 1 )ｘ (1 -ｌｏｇ23ａ) ,ｌｏ…     

运用“四化”策略 化解思维障碍

众所周知 ,解题过程是一个思维过程 ,要求思维一定成功、思路畅通无阻是不现实的 .我们的问题是 :当思维出现障碍 ,解题思路发生中断时 ,如何正确有效地去化解这个思维障碍 ,及时迅速地找到延续解题过程的出路 ,创造出柳暗花明的奇迹呢 ?解题实践表明 ,“陌生问题熟悉化、一般问题特殊化、复杂问题简单化、抽象问题具体化”的“四化”策略 ,常常是十分奏效的 .1　陌生问题熟悉化在遇到情景陌生的新问题 ,当你感到一筹莫展时 ,不妨选择一个与之类似的熟悉的问题 ,将它与新问题相比较 ,设法寻找出两者之间的联系和相似之处 ,从熟悉问题的方法和结论 ,去探求解决新问题的思路 .例 1　已知ｙ =(ｌｏｇ2 ｘ - 1)ｌｏｇ2 ａｂ - 6ｌｏｇ2 ｘｌｏｇａｂ +ｌｏｇ2 ｘ + 1(ａ &;gt;0且ａ ≠ 1为常数 ) .当ｘ在区间 [1,2 ]内任意取值时 ,ｙ的值恒为正 ,求ｂ的取值范围 .分析　本题的情景陌生 ,变元繁多 ,条件与结论间的关系错综复杂 ,乍一看 ,很难下手 ,许多学生只能望题兴叹 .如果令ｌｏｇ2 ｘ =ｔ ,当ｘ ∈ [1,2 ]时 ,有ｔ∈ [0 ,1] ,则原函数式即为ｙ =(ｌｏｇ2 ａｂ- 6...     

关于复合函数的三个问题

复合函数是形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的函数 ,如 ｙ =ｌｏｇ3(ｘ2 -2ｘ 3 )由 ｙ =ｌｏｇ3ｕ ,ｕ =ｘ2-2ｘ 3复合而成 ;ｙ =( 3ｘ 1) - 13是由 ｙ =ｕ- 13,ｕ =3ｘ 1复合而成 ,ｙ =ａｓｉｎｘ(ａ >0且ａ≠ 1)由ｙ =ａｕ,ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 ,其中ｇ(ｘ) 称为内层函数 ,ｙ =ｆ(ｕ)称为外层函数 ,且均为基本函数 .关于复合函数一般有三个问题要研究 .1　已知 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式 ,求 ｆ(ｘ)的表达式 .例 1　已知 ｆ( 2ｘ -1) =ｘ2 (ｘ∈Ｒ) ,求ｆ(ｘ) 的表达式 .解法 1　 (换元法 )令 2ｘ -1=ｔ ,则ｘ =ｔ 12 .∴ ｆ(ｔ) =14 (ｔ 1) …     

高一同步测试题

指数函数与对数函数选择题1　函数 ｆ(ｘ) =2 3 2ｘ -ｘ2 ( 1≤ｘ≤ 3) ,则 ｆ- 1(ｘ)的定义域是 (　　 )(Ａ) [1,4 ].　　　　 (Ｂ) [1, ∞ ].(Ｃ) [0 ,4 ]. (Ｄ) ( 0 , ∞ ) .2　将函数 ｙ =2 ｘ 的图象向左平移 1个单位得图象Ｃ1;再将Ｃ1向上平移 1个单位得图象Ｃ2 ;作出Ｃ2 关于直线 ｙ =ｘ对称的图象Ｃ3,则Ｃ3对应的函数解析式是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) 1　 (ｘ >1) .(Ｂ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) - 1　 (ｘ >1) .(Ｃ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) - 1　 (ｘ >- 1) .(Ｄ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) 1　 (ｘ >- 1) .3　 0 .9<ａ <1,ｘ =…     

不等式的解法、含有绝对值的不等式

选择题1　与不等式2ｘ - 3ｘ - 2 ≥ 1同解的不等式是 (　　 )(Ａ) (2ｘ - 3) (ｘ - 2 )≥ 1.(Ｂ) (ｘ - 1) (ｘ - 2 )≥ 0 .(Ｃ)ｌｇ(ｘ2 - 3ｘ 2 ) >0 .(Ｄ) ｘ3 -ｘ2 ｘ - 1ｘ - 2 ≥ 0 .2　若ａ≠ｂ ,关于ｘ的不等式ａ2 ｘ ｂ2 (1-ｘ)≥[ａｘ ｂ(1-ｘ) ]2 的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ| 0≤ｘ≤ 1} .　　　 (Ｂ) {ｘ| 0 <ｘ <1} .(Ｃ) {ｘ| 0≤ｘ <2 } . (Ｄ) {ｘ| 0≤ｘ≤ 2 } .3　若不等式ｌｏｇ81ｘ ｌｏｇ9ｘ ｌｏｇ3 ｘ <74 的解集为Ｍ ,不等式 8ｘ- 4 ｘ 2 ｘ<1的解集为Ｎ ,则Ｍ∩Ｎ为 (　　 )(Ａ) . (Ｂ) {ｘ| 0 <ｘ <3} .…     

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史财经类)

参考公式与理科卷相同一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )ｔｇ3 0 0° ｃｔｇ40 5°的值为(Ａ) 1 3　　　 (Ｂ) 1 - 3(Ｃ) - 1 - 3 (Ｄ) - 1 3(3 )若一个圆锥的轴截面是等边三角形 ,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面积是(Ａ) 3π　 (Ｂ) 3 3π　 (Ｃ) 6π　 (Ｄ) 9π(5 )已知复数ｚ=2 6ｉ,则ａｒｇ1ｚ 是(Ａ) π6 　 (Ｂ) 1 1π6 　 (Ｃ) π3 　 (Ｄ) 5π(6 )函数ｙ=2 -ｘ 1 (ｘ>0 )的反函数是(Ａ)ｙ=ｌｏｇ21ｘ - 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｂ)ｙ=-ｌｏｇ2 1ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 ,2 )(Ｃ)ｙ =ｌｏｇ21ｘ- 1 ,ｘ∈ (1 …     

三角变换的策略

三角变换是高中数学的一个难点 ,内容杂 ,技巧多 .新教材的此部分有所缩减 ,但题型 ,方法 ,技巧未变 ,老师虽讲了三角变换中的“五化”即“化角” ,“化名” ,“化数” ,“化幂” ,“化式”等多种题型与技巧 ,但仍不知思考问题的方向 .其实三角变换有一种策略 ,即“化异为同” ,解三角问题时首先观察其不同之处 ,然后寻找化同之方法与途径 .以下例谈解题策略 ,望能对解题有所帮助 .例 1　 (1996年昆明数学竞赛题 )已知ｓｉｎ(ｘ +2 0°) =ｃｏｓ(ｘ + 10°) +ｃｏｓ(ｘ - 10°) ,求ｔａｎｘ的值 .分析　首先观察已知式与所求式ｔａｎｘ的不…     

一个问题引起的思考——对数函数的图象

问题　若函数 ｙ =ｌｏｇａｘ与其反函数有交点 ,试确定ａ的取值范围 .我们来作一探讨 .设交点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｙ0 =ｌｏｇａｘ0 ,ｙ0 =ａｘ0 ,即ｌｏｇａｘ0 =ａｘ0 .问题转化为 :当ａ在哪一范围取值时 ,关于ｘ的方程ｌｏｇａｘ =ａｘ 有解 ?遗憾的是 ,处理这一方程 ,我们还没有一套初等的办法 ,或者说还没有象解二次方程那样的公式 ,我们只能借助于图象 .关于对数函数的图象 ,课本的正文部分给出了三个“代表” :ｙ =ｌｏｇ2 ｘ ,ｙ =ｌｏｇ10 ｘ ,ｙ =ｌｏｇ 12 ｘ ,由此归纳出在其底数ａ >1及 0 <ａ <1这两种情况下的图象和性质 (…     

一类特殊方程的解法

第九届“希望杯”全国数学竞赛中有这样一道试题 :设α ,β分别为方程ｌｏｇ2 ｘ ｘ - 3=0和 2 ｘ ｘ -3=0的根 ,则α β =.现解答如下 .解法 1　 (观察法 )显见 1为后一方程的一根 ,又ｆ(ｘ) =2 ｘ ｘ - 3是增函数 ,则 1为后一方程的唯一实根 ,即 β =1.类似得α =2 ,则α β =3.解法 2　 (代入法 )由α为前一方程的根可得ｌｏｇ2 α α - 3=0 ,2 3-α=α ,则 2 3-α ( 3-α) - 3=0 ,即 3-α为后一方程的根 .由解法一知后一方程实根唯一 ,∴ β =3-α ,所以α β =3.图 1　解法 3图解法 3　 (图象法 )在同一坐标系中作出三个函数①ｙ …     

要看透题目的本质结构

文 [1]、[2 ]谈到了下面一道不等式题的“分析”与“简捷证明” ,但对题目本质结构的揭示还不够深刻 .我们想从新的角度作出新的分析 ,并立即加以推广 .题目　已知二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ ,当 -1≤ｘ≤ 1时 ,有 -1≤ｆ(ｘ) ≤ 1.求证 :当 -2≤ｘ≤ 2时 ,有 -7≤ ｆ(ｘ     

例说通过联想类比开发数学问题

创新教育如何体现在教学上 ,对于一个具体的数学问题 ,不妨把它看作一件产品 ,进行联想类比 ;它有哪些变异 ?它还有哪些应用 ?能否开发出更有价值的系列产品 ?下面举例说明进行数学问题这方面的探讨和研究 ,以献读者 . 已知ａ >ｂ>0 ,求ａ+1 6ｂ(ａ-ｂ) 的最小值 ; 已知ａ>ｂ>0 ,求ａ2 +1 6ｂ(ａ -ｂ) 的最小值 (数学第二册上Ｐ37)这是大家熟悉的两个问题 ,通过改造、一般化 ,可得如下结果 :改 1为 :已知ｘ1 ,ｘ2 >0 ,求ｘ1 +ｘ2 +ｋｘ1 ｘ2(ｋ>0且ｋ常数 )的最小值 .解　因ｘ1 ,ｘ2 >0 ,故ｘ1 +ｘ2 +ｋｘ1 ｘ2 ≥3·3 ｋ ,当且仅当ｘ1 =ｘ…     

上期课外练习解答

高一年级1.设ｆ(ｘ) =(ｘ - 1)ｌｏｇ23 ａ - 6ｘ·ｌｏｇ3 ａ +ｘ + 1=( 1+ｌｏｇ23 ａ - 6ｌｏｇ3 ａ)ｘ + 1-ｌｏｇ23 ａ ,∵ ｆ(ｘ)在 [0 ,1]上恒成立 ,由一次函数的单调性知 :ｆ( 0 ) >0 ,ｆ( 1) >0 ,　解得　 13 <ａ <33 .2 .设每期期初存入金额Ａ ,连存ｎ次 ,每期的利率为Ｐ ,那么到第ｎ期期末时 ,本金为ｎＡ ,则应得到的全部利息之和为 :Ｓｎ=ＡＰ +ＡＰ·2 +… +Ａ·ｐ·ｎ =ｎ(ｎ + 1)2 ＡＰ ,应纳税为　 ｎ(ｎ + 1)2 ＡＰ× 2 0 % =ｎ(ｎ + 1)10 ＡＰ ,实际取出　Ａ[ｎ + 2ｎ(ｎ + 1)5Ｐ] ,当Ａ =110 0 ,ｎ =12 ,Ｐ =0 .165%时 ,…     

高三复习代数训练题(二)

选择题 :本大题共 1 2小题 ;每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知θ为锐角 ,则复数ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ的辐角主值为 (　　 )(Ａ)θ .　　　　　　 (Ｂ)π θ .(Ｃ) 2π -θ.(Ｄ) -θ.2　ｌｏｇ(ａ -1) (2ｘ - 1 ) >ｌｏｇ(ａ -1) (ｘ - 1 )成立的充要条件是 (　　 )(Ａ)ｘ >0 .(Ｂ)ｘ >0 ,ａ >2 .(Ｃ)ｘ >1 ,ａ >1 .(Ｄ)ｘ >1 ,ａ >2 .3　若Ｓｎ 是公差为ｄ的等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,且Ｓ10 =4Ｓ5 ,则ａ1ｄ的值为 (　　 )(Ａ) 12 . (Ｂ) 2 .(Ｃ) 14. (Ｄ) 4.4　等比数列 {ａｎ}的前…