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第13届普特南数学竞赛的A—1题为2n3n<∑nk=1k<4n 36n1文[1]利用Abel变换改进不等式为 2n 13n≤∑nk=1k≤4n 36n-162文[2]进一步改进为 2n 23-2-13≤∑nk=1k≤4n 36n-163本文将探讨比3式更强的不等式.定理 对任意正整数n,有 4n 36n 124n-524≤∑nk=1k≤4n 36n-164当且仅当n=1时式中等号成立.证明 这里我们仅证4式下界不等式,4式上界不等式的证明可见文[2].为证4式下界不等式,先证下列不等式:n>4n 36n 124n- [4(n-1) 36n-1 124n-1](其中n>1) 5要证5式,只要证 4n-16n-1 124n-1>4n-36n 124n,即只要证 (16n2-20n 5)n>(16n2-12n 1)n-1,… 相似文献
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构造函数解决与自然数有关的问题 总被引:1,自引:0,他引:1
解决与自然数有关的命题通常用数学归纳法、二项式定理的展开式 .而数列作为定义在自然数集上的函数 ,若用数学归纳法解题有一定的难度 ,如果将问题转化为函数来处理 ,则往往使问题变得简洁、容易 ,此时常常将 n视为自变量 .下面举几例说明 .例 1 已知 n∈ N ,证明不等式1 12 13 … 1n <2 n .证明 构造函数 f ( n) =1 12 13 … 1n - 2 n ,∵ f ( n 1 ) - f ( n) =1n 1 2 n - 2 n 1 = n - n 1( n 1 n ) n 1 <0 ,∴ f ( n 1 ) 相似文献
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一、应用特殊值法 ,揭露思维起点 ,训练探求能力特殊值法在解题中不但能发现规律 ,得出一般性的结果 ,而且能有效地揭示思维的起点 ,展示思维的发展过程 ,提高探求能力 .若不等式 1n +1+1n +2 +… +12n>m2 4对于大于 2的一切自然数n都成立 ,求自然数m的最大值 ,并说明理由 .分析 m是多大的自然数呢 ?显然n =2时 ,原式左边 =13 +14 =712 =142 4,由题意可知m一定小于 14 ,而小于 14的最大自然数是13 ,那么m会不会是 13呢 ?如果是 ,那么记f(n) =1n +1+1n +2 +… +12n,则当n =3 ,4…时 ,都应有 f(n) >132 4,因为 f( 2 ) =142 4>132 4,只要能证… 相似文献
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设pn,qn分别为内接于、外切于半径为R的圆的正n边形的周界,证明:23pn 31qn>2πR.证由pn=2Rnsinπn,qn=2Rntanπn,得32pn 13qn=32Rn(2sinπn tgπn).要证32pn 13qn>2πR,只须证2sinπn tanπn>3nπ即可.令F(x)=2sinx tanx-3x,00,故有F(x)>F(0)=0即2sinx tanx-3x>0,从而有sinπn tanπn>3πn,于是有32pn 13qn>2πR.一个几何式不等的导数证法@谢先武$江西师大数信学院!江西… 相似文献
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Bollob′as and Gy′arf′as conjectured that for n4(k-1) every 2-edge-coloring of Kn contains a monochromatic k-connected subgraph with at least n-2k+2 verticesLiu, et alproved that the conjecture holds when n≥13k-15In this note, we characterize all the2-edge-colorings of Kn where each monochromatic k-connected subgraph has at most n-2k+2 vertices for n≥13k-15. 相似文献
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关于整除性问题的证明,中等数学习题中屡有所见,在学过数学归纳法后尤多,亦有应用因式分解法证明的。目前重点高中代数第一册已讲过余数定理和因式定理,但此处未曾见到,似觉不够。这里就利用余数定理证一类整除性问题试举几例,供同志们参考。例1,求证4~(2n+1)+3~(n+2)能被13整除(高中数学第三册P。158复习题)。证∵4~(2n+1)+3~(n+2)=4·16~n+9·3~n,故不妨设f(χ)=4·χ~n+9·3~n,则问题化为求证f(16)能被13整除,∵13=16-3,f(χ)除以χ-3的余数为f(3)=4·3~n+9·3~n=13·3~n于是f(χ)=(χ-3)g(χ)+f(3)=(χ-3)g(χ)+13·3”,将χ=16代入得f(16)=13·g(16)=13·g(16)+13·3~n,故f(16)能被13整除,即13|4~(2n+1)+3~(n+2)。上述证明,显然较之数学归纳法要简明得 相似文献
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见到 2 0 0 2年的数学考研试卷 ,总的感觉是较为适中。从四套试卷的整卷看 ,都是较好的 ,但数三的幂级数题错了 !数三卷的二 ( 2 )题 :设幂级数 ∞n=1anxn与 ∞n=1bnxn的收敛半径分别为 53 和 13 ,则幂级数 ∞n=1a2nb2nxn的收敛半径为 ( A) 5;( B) 53 ;( C) 13 ;( D) 15。其参考答案是 ( A)。我们试举一个反例如下。例 1 设 ∞n=1anxn = ∞n=1( 35) nxn;而令 bn =3 n,当 n为奇数 ;bn =1 ,当 n为偶数 ,即 ∞n=1bnxn=3 x +x2 +3 3x3+x4 +… +3 2 k- 1x2 k- 1+x2 n +… 这样 , ∞n=1anxn 的收敛半径是 53 ;而 ∞n=1bnxn 的收敛半径是… 相似文献
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1问题的提出笔者在拜读文[1]后受益匪浅,在这里把文[1]“考题”改编成以下问题·问题求证:当n≥1,n∈N*时,总有∑nk=11k3<45·证明当n≥2时,因为n13=n·1n2 相似文献
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本文对正项级数收敛性的根值判别法进行了讨论 ,所得推论在判别某些正项级数的收敛性时更为方便。1 .根值审敛法根值审敛法 (柯西定理 ) 设 ∑∞n=1un 为正项级数 ,如果它的一般项 un 的 n次根的极限等于 ρ,即limn→∞n un=ρ。则ρ<1时 ,级数收敛 ;ρ>1 (或 limn→∞n un=+∞ )级数发散 ;ρ=1级数可能收敛也可能发散。例 用根值审敛法判别级数 ∑∞n=1( 13 n -1 ) 2 n- 1的收敛性。解 n un =( 13 n -1 ) 2 n- 1n =( 13 n -1 ) 2 ( 3 n -1 ) 1n因为 limx→ +∞ ( 3 x -1 ) 1x =e limn→ +∞ln(3x-1)x =e limn→ +∞33x-1=e0 =1 ,所… 相似文献
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高中数学第三册(选修Ⅱ)数学归纳法一节,要求证明下列恒等式:12 22 … n2=16n(n 1)(2n 1);13 23 … n3=14n2(n 1)2.有同学问,这类等式是如何得到的?14 24 … n4=?.一般地当k∈N 时,1k 2k … nk是否可以求得?这是一类很有趣的问题,计算方法也很多.本文介绍一种简便算法,供大家参 相似文献
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自然数方幂和问题是指Sk(n)=nΣi=1ik(n,k∈N)的计算与表示.早在公元前二百多年,希腊著名科学家阿基米德就已经得出了k=2和k=3时的结果:S2(n)=12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,S3(n)=13+23+…+n3=n2(n+1)2/4,尽管他的证明比较复杂,但S4(n)的结果却始终无法找到,直到一千多年之后的11世纪,阿拉伯数学家才得道:S4(n)=1/30n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1).…… 相似文献
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湖北卷(理)22题:已知不等式12 13 … 1n>12[log2n],其中n为大于2的整数,[log2n]表示不超过log2n的最大整数,设数列{an}的各项为正,且满足:a1=b(b>0),an≤nan-1n an-1,n=2,3,4,…,1)证明:an<2b2 b[log2n],n=3,4,5,…,2)猜想数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明).3) 相似文献
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一个猜想不等式的加细与推广 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]提出如下猜想 设 x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,x1+ x2 +… + xn =1 ,n≥ 3,n∈ N,则 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( n - 1n) n. ( 1 )戴承鸿、刘兵华在文 [2 ]中证明了上述猜想不等式成立 .本文给出该不等式的一个加细及推广形式 .定理 设 x1+ x2 +… + xn=k,n≥ 3,n∈ N;若 k≤ 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,则 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( nk - kn) n ( ∏ni=1nxik) 1n-13≥ ( nk - kn) n ( 2 )若 k≥ n - 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ ( 0 ,1 ) ,则∏ni=1( 1xi- xi)≤ ( nk - kn) n . ( ∏ni=1n - nxin - k) 13 -1n ≤ ( nk - kn) n. ( 3)为证定理 ,先… 相似文献
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设λ_f/(n)是全模群Γ上权为k的全纯Hecke特征形f的第n个Fourier系数,Λ(n)是Mangoldt函数.本文得到了如下估计∑_(Xn≤2X)Λ(n)λ_f(n)e(n~(1/2)α)■f,αX~(5/6)(logX)~(13/2),(α0),改进了Zhao的结果。 相似文献
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1 引子高中《代数》下册复习题六第33题是:“用数学归纳法证明:1+ 12+ 13+…+1n>n (n>1,n∈N)”.此题很容易用数学归纳法证明,证明后我们自然会反思:此题是如何发现的?如何用推导的方法证明.使用放缩思想可得方法一:1+ 12+ 13+…+ 1n>1n+ 1n+…+ 1n=n·1n=n .由裂项求和的思想可想到方法二:n =(n - n- 1) + (n- 1-n- 2 ) + (n- 2 - n- 3) +…+ (2 - 1) +(1- 0 ) =1n + n- 1+ 1n- 1+ n- 2+…+12 + 1+ 11+ 0 .而n - n- 1=1n + n- 1,所以欲证原不等式,只需证1n>1n + n- 1(n>1) ,(当n=1时,取等号) .此不等式显然成立,所以原不等式得证.2 探索… 相似文献
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不等式的证明方法很多 ,这里介绍构造对偶式证明不等式 ,也许在诸多证明方法中它别开生面、独具“风味”,给人一种赏心悦目的感觉 .1 “填充”对偶式例 1 求证 :12 . 34.… .2 n - 12 n <12 n 1 .分析 不等式的左边是几个分数连乘积 ,能不能在每两个相邻的分数之间插入另一个分数 ?因此 :设 A =12 .34.… .2 n - 12 n ,B =23. 45.… . 2 n2 n 1 ,由于 12 <23, 34<45,… ,2 n - 12 n <2 n2 n 1 ,因此 A 相似文献
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一个不等式的再质疑与另证 总被引:5,自引:0,他引:5
文[2]指出了文[1]的错误,并给出了证明,但文[2]的证明仍然是错误的.原因如下:因为m∑i=1xi=1,xi>0,i∈N ,1≤i≤m,m,n≥2且m,n∈N ,所以nn-1n 1=n1-2n 1≥13>12.因此,当x∈nn-1n 1,1时,xi(i∈N ,1≤i≤m)中只有一个在nn-1n 1,1内,不妨设为xi∈nn-1n 1,1,其余的xi(i∈N ,2≤i≤m 相似文献