变上限积分integral from n=a to x () f(t)dt的一个应用

本文将利用变上限定积分构造辅助函数的方法，建立并证明一类新的积分不等式。定理1设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，f（a）=0，如果．那么如果广（x）＞l，那么不等式（l）反向，且仅当人x）20，入。）一x－a或几。）一lr－a＋b＿I。＿。、上三二时等号成立。2”“。、——～。证明对于任意给定的t6［a，b」，构造函数对t求导数得：F’（t）二由厂（t）＞O，知f（）单调递增，又f（）一O，故f（）＞O，tC［a，hi又O＜／（t）＜1，．”．G’（t）＞O，G（t）单调递增。”．’G（a）一O．”．G（t）＞O即产（t）一G（t）f…     

利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式

设f（x）连续则，这是一个十分重要的人式，今用它来证明柯西-施瓦兹不等式．设函数f（x）、g（x）都在[a，b]上连续，证明柯西一施瓦兹不等式证将b变为参数x，引进辅助函数显然F（a）=0，因此只要证明F（x）单调减少，从而只要证明F（X）≤0便可．这个证明，思路清晰颇富启发性，辅助函数的引进也十分自然，与此不等式的常见的其他证法比较，各有优点，故献给读者，以供参考．利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式@刘继合$淄博学院!山东淄博255013     

利用积分上限函数证明积分不等式

积分不等式的证明,是高等数学学习中的一个难点,也是工科研究生入学考试中常出现的一类试题．本文欲通过若干范例说明,借助积分上限函数,把积分不等式转化为函数不等式来证明,是一种行之有效的方法．倒三设f（x）在[a,b]上单调增且连续,证明：其中不等号用到f（x）在[a,u]上的单调递增性,由此,F（u）在[a,b]上单调递减,所以F（b）≤F（a）＝0,即例2设f（x）在[a,b]上正值连续,证明所以F（u）在[a,b]上单调递增．而F（a）=0,故有F（b）≥0,即例3证明Cauchy－Schwarz积分不等式其中人x）与g（x）是「a,hi上的连续函数…     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

一个积分不等式

由连续单调函数的几何意义直观地得出一个不等式,即若设函数f（x）在[0,b]上连续且单调递减,则有b∫0^af（x）dx≥a∫0^bf（x）dx（0≤a≤b）.通过构造辅助函数给出其数学证明,并对其加以推广．     

关于混合算术──几何平均值不等式的一个简洁证明

F．Holland［1］曾提出如下猜想：猜想设xi＞0（i=1,…,n）,则JI,（J;‘r）、,（JIJ。J）、,…,（J］J。…J,厂的算术平均值不大干的几何平均值．文［fi给出了这个猜想的一个组合证明;文［2］给出了一个归纳证明．但这些证明都相当繁琐．本文给出这个猜想的一个简洁证明．这个证明需用到以下的H6lder不等式和加权算术几何平均值不等式．引理互设几＞O,b。＞O（i—l,…,n）;P＞1,q引理2设a＞O,b＞O,O＜p＜l,O＜q＜l百户十q一1,则有a’b’＜pa＋ah·引理1,2的证明可见怪一本有关不等式的参考书．猜想的证明为符号…     

设置增量证明不等式

等与不等是对立与统一的一对矛盾，在某种意义下又常常是可以相互转化的．例如在证明不等式的过程中，我们可用设置增量的方法将不等关系转化为相等关系，以达到证明不等式的目的．例1已知a＞2，b＞2．求证：ab＞a＋b．（根据1993年湖北省初中数学竞赛题改编）证明∵a＞2，b＞2可设a＝2＋m，b＝2＋n，m＞0，n＞0．∵ab－（a＋b）＝（2＋m）（2＋n）－（2＋m＋2＋n）＝mn＋m＋n＞0ab＞a＋b．例2设a＞2，给定数列{Xn}，其中证明（用数学归纳法）当n＝1时，x1=a＞2成立．若n＝k时，有Xk＞2，不妨设Xk＝2＋m，m＞0．即，因此对一切自然数n都有…     

用辅助函数法解题

引入辅助函数以帮助解题是数学上的重要方法,引入辅助函数后,可以运用函数的增减性,定义域、值域、最值、连续、可导,可微、可积来帮助解题。现举几例加以说明: 例1 求证(|a+b|)/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) 分析:由于0≤|a+b|≤|a|+|b|、把|a+b|,(|a|+|b|)作为一个变量的两个不同的值,设x_1=|a+b|、x_2=|a|+|b|。原不等式化为x_1/(1+x_2)≤x_2/(1+x_2),因此只要证明函数f(x)=x/(1+x)在x≥0是增函数即可,用研究函数的增减性来代替不等式的证明。     

e~(kx)在解题过程中应用几例

在解题过程中如果能用上ekx，会使解法简单巧妙，下面的例2说明必须会用e－x构造辅助函数。例1设f（x）是定义在［0，］上的连续函数，且证二八x）在肝，音］上连续，八X）＞o，设在X。处取最大值，于是由于八x。）是最大值，人n＜八X。），这就有：用上面的方法可证出在同样可证fseo，以此类推，则有人X）三0。上面的例是我们学校的一次统考题，证法一是学生想起的。例2设人x）在「a，b］上存在n＋l阶导数，且满足广‘’（a）一月‘’（b）—0，足一0，1，2，…，n．（这里／”（a）一f（），f”’（b）一f（））．证明：目七（a，b）使…