数学问题解答

1989年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出)601.解方程解:令y=扩 1 1劣。一万-1戈一一一一二十只一万一一气犷一一一气二乙劣~-乙X一1乙X“一j劣一4一2(,),则原方程化为:夕,一2:千1卡一竺一=2’2夕一3劣 b。=a。一500,.‘.a,一500=1000·2卜1, a。一100‘0·2”一1 500>2024500, 2”一’)1024即2卜,)2’” n一1>10、即兄)11可见2000年猪场存栏数将超过1024500只. 603.△ABC是边长固定的正三角形,D为B口边上的动点.取△ABD的外心口,,△ACD的外心仇,作01君,土B口于E:,口2E2土BC于去分母并整理得: 4犷一15劣y 14尹 Zy一41二O (夕一2:…     

问题征解

(一)1980年第三期数学问题: 1 .3‘”‘是几位数?末位数是什么数?若31。‘各位数字之和为A,刃的各位数字之和为B,B的各位数之和为C,求C。 2。已知f(mn)=f(阴) f(n),求证f(勃·f(m卜‘卿3.若抛物线顶点为A(一Zm1 优2,1一mZ1 川z)它与,轴正向,目交。女口果抛物线平移后所得的方程是y二x“ 1试确定二的范围。 以上提出者:江苏盐城第一师范肖秉林、,廿、, .一丫、4·已知e’一e一’=2‘g,(。<‘<晋)求证:i)e劣 。一器=2 seC甲-2’“”‘n,g(备 署)(二)1980年第二期数学问题解答,·解方程组{logox一logoy=0劣2一y一45二O(1)(2)解:由(1)知:二>…     

一元二次方程两根差及其应用——复习韦达定理的教学补充

在一元二次方程a解+bx+c=0(a>0)中,设二根为x:,二2,则根与系数的关系,不仅有:一急解之得32’7一3’ 一一口,口C/‘|l才l|.、了厂|/、l气、 2劣+劣 r之.、劣2.劣2一含(两根之柳一含(两根之积)al=一1,b,一5,或ez=0;而且还存在着两根之差的关系,即听求抛物线方产为:xZ一戈1一了bZ一4ae,,\,、一—,、内2碑声/四i/y=一二“+5二或y二表一二2十 D3_.,7一人寸叫二~.23 1.两根之差的几何意义. 设二次函数y=a二2+bx+。的图象与“轴相交于A、厅两点,即b”一4ac>o,可由在同一数轴上任意两点间距离公式,得}ABI=1二2一二,1=了bZ一4ae a 上式表示y一a解…     

不等关系帮助解题(续完)

例8设·次多项式p(幻=已一才一,+勺犷一,+一十c.一衬一矿坛+b有.个正根,求这些根· 解设P(幻的:个根为幻,勺,”‘·, 则::,::,…,‘>0, 由韦达定理知:工:十介+…+‘=l :一忿,…劣一:十::公:…劣。+…十劣,::一二. 二(一l)一:二二兰全 a b 艺盆.公.‘一劣。=L一l)’— a 从而会+女+一+会一 (::十孔+.二+动(上十上十…+与一。: 了l考忿子. 但(一+一+…+二)(告+会+一+士,》一且等号成立当且仅当‘:=‘,=”‘~:’.少故:,二::二·一:.= 注人为地构造出符合某个已知不等式形式的等式,再利用已知不等式中等号成立的条件导出相等.这种手法技巧性强,…     

例谈含参数的绝对值不等式问题及其解法

<正>含参数的绝对值不等式问题,通常出现以下三种题型:已知恒成立或存在性条件求参数的值或范围,已知两个函数图像围成的区域大小或形状求参数的值或范围,含参数的绝对值不等式证明.下面结合例子给出了这三种题型的解法,为学生的系统复习做些准备.1已知恒成立或存在性条件求参数的值或范围例1 (2017年高考全国卷Ⅰ·文理23)     

再谈四面体的六棱求积公式

文[1],文[2],文[3]都是本刊陆续刊登的已知四面体六条棱的长求四面体体积的计算公式,可见此问题具有一定的研究价值,读完这一连串文章确实获益匪浅.笔者通过研究,借鉴这三篇文章的证明方法,得出已知四面体的六条棱求积的一个新公式.图1引理图引理在四面体SABC中∠CSB=α,∠CSA=β,∠BSA=γ,α1为二面角C SA B的平面角,则cosα1=cosα-cosβ·cosγsinβ·sinγ.证作CH⊥面ASB于H,CD⊥SA于D,连结DH并延长交SB于M,则∠CDM=α1为二面角C SA B的平面角.CD=SD·tanβ,CS=SD·secβ,DM=SD·tanγ,SM=SD·secγ.在△CSM与…     

幂函数、指数函数、对数函数

一、选择题(正确答案唯一) 。、。,,、劣 1既.__.,1、一_ ‘·已知‘闭代士全,则了一,(护等于().(、)华(B)粤 1—22—1(C)公一1公 12.已知函数约 ,1._f二 l—,十1、(o)f粤一l 11_I 、丁一1/ :十3劣2一9二丁一一丁,夕2=.飞尸一万一二一二二 :一4护子‘:z一7劣 12 (A)ACB(B)A〕B(C)A~B; (D)以上答案都不对 3.若f(z)一(。一1)护十Zmx 3为偶函数,则f(:)在(一5,一2)上(). (A)是增函数(B)是减函数 (C)有增有减(D)不能确定增减性 1 .1,,一___*_今·夕~.一一了十一下产日9但属士达l司 又‘1的值域分别为A、B,则() ·28· ‘09专了’o号了(A…     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…     

综合题新编选登

题176已知过椭圆C:xb22 by22=1(a>b>0)右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点;又函数y=a·sinx 3b·cosx的图象的一条对称轴的方程是x=6π.1)求椭圆C的离心率e与kON;2)对于任意一点M∈C,试证:总存在角θ(θ∈R)使等式:OM=cosθOA sinθOB成立.解1)函数y=a·sin     

构造相反弦证明二次式的和差问题

在平面几何中,有关圆的不少命题的解决都与相交弦有关.本文举例介绍构造相交弦证明二次式的和差问题例1如图1,在△ABC中,已知,AD是∠A的平分线交BC于D,求证:AD2=AB·AC-BD·DC.     

抛物线焦点弦的性质及应用

例1.已知分别过抛物线-v’=2加_卜点城、:,夕,)、z了(、,。,:)的两条切线相交于尸(x,,,,,),求证:二,二仙丫21夕百十r气六一,夕一二—。 2办’一2一个贡要属性,在后面的性质证明和应用‘卜将不断地被应用。l)抛物线焦点弦性质 性质1.过抛物线焦点弦两端的切线的交点,在抛物线的准线上,证:设过汉点的切线为兀1过B点的切线为从, 则:Ll:为y=P(x十劣,),孟::势y二P(万+介)。两式相除得:生= y.,+劣1几+才‘知道过;、刀两点切线的交点尸,它的横整理得:x(夕,一y‘)二朴y:一为万2。又·:二1一共,男2=华,代入上式可得, 乙P乙尸y lyZ=p一2 一 一︷ 劣…     

一题竟有“多种答案”

我们大家都知道一题可以有多解,答案是唯一的.然而下面却有一题多种答案的例子. 已知109,。s=o,16“,15,求109‘。32的值. 解法一:.:16“=5,…b=109,。5.NIJIOg4O32一忽:琵一}粼飘熬;16一‘劣会”’-, l“g‘。百a b解法二:109‘。32=1091.32109一。40 2一d一a b·巨g业旦土!丝     

综合题新编选登

题167已知直三棱柱ABC-A1B1C1中有下列三个条件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B1C;③B1C1=A1C1.试利用①,②,③构造出一个你认为正确的命题,并加以证明.图1三棱柱解设C1A1=a,C1B1=b,C1C=c.A1B⊥AC1A1B·AC1=0(b-a c)(-a-c)=0-a·b a2-c2=0(1)A1B⊥B1CA1B·B1C=0(b-a c)(c-b)=0c2-b2 a·b=     

数学问题解答

1992年元月号问皿解答 (解答由问翅提供人给出)落751设k、l、。、:任NU{0}.试求出使等式(*)户一x︸".卜一劣忿一 一一l~苦1、今生全毛三二-一l 劣-对任意到任叭{0})成立的k、l、。及。的值. 解在给定等式(*)内,令x=1则 2含一1=2仍 即2*一2沉=1 如果m今O,则上式左右两边奇偶性相反,所以,二O,从而无=1.于是(,)化为x+1 公古一1二生 劣”再今x一2,得:3一21一”=21如果l>”,则上式左右两势奇偶性相反,如果l相似文献   

课外练习

高一年级1.已知:x∈(0,1/2),sinx·cosx=1/2,求1/1 sinx 1/1 cosx的值(江苏张家港职教中心(215600) 周交国)2.求值tan20° 4sin20°(江苏周交国)3.已知:A,B,C均为锐角,且A B C≤π. 求证:tanA/2·tanB/2 tanB/tanC/2 tanC/2·tanA/2≤1.     

充分条件与必要条件选择题

对下面一纽遨挥题,请回各条件扣是条件N讯什份.条名?选薪支为扭)无分不必采,(石)必盈不充分条仲,司56不)衷分且必乳KD’材分不必攀荆卜·题号,17含8:,一刀绝,o(刀中):3一夕.=0(R中) 二>1 0 lgx:>2 △月刃C中△刀EC中 一毯>Bc。。A<。Q。刀 子(x)=x“尹(x)二184 劣>O、侧l+碗二勿=avX:=劣,1”夕+、。050=口 附:上斯本栏答案1(D),2(刀),3(召),4(D).充分条件与必要条件选择题@陈树斌$浙江仙居中学高三!学生~~     

西北农林科技大学"高等数学"试题(A)(2005-2006学年第一学期(工科))

一、选择题:(每小题3分,共计15分)1·当x→∞,函数f(x)与1x2是等价无穷小,则limx→∞3x2f(x)=【C】A·0 B·1 C·3 D·∞2·设函数f(3x)=x3,则f′(99)=【A】A·11 B·33 C·99 D·2973·设函数f(x)满足∫0xf(t)dt=1n(1 x2),则f(x)=【C】A·1 1x2B·1 xx2C·12 xx2D·2x4·积分∫02|x-1|dx等于【B】A·0 B·1 C·2 D·215·已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则|a×b|的值【C】A·6 B·22C·3 D·2二、填空题:(每小题3分,共计15分)6·设极限limx→∞(1 xk)2x=e,则k=21.7·若曲线y=xa x-2在点x=1处切线与直线4x-y-1=0平行,则a=3.8·已知函数f…     

用向量求轴对称点的坐标

已知点P(x0·y0)和直线l:Ax By C=0,求点P关于直线l的对称点M的坐标.设PM与直线l交干一点D(x1,y1),直线l的法向量为e=(A,B),→DP平行于e,设→DP=λe,     

善分割 速解题

巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解 ,同样适当地分割图形 ,也可使某些立几问题趋于简单 ,从而为问题的顺利解决提供了方便 .【例 1】　如图 ,三棱锥P -ABC中 ,已知PA⊥BC ,PA=BC =l,PA、BC的公垂线段DE =h .求三棱锥P-ABC的体积 .( 87年高考理 )分析 :直接考虑会因条件用不上感到束手无策 .如考虑过DE、BC的平面分割三棱锥P -ABC为两个三棱锥P -BCD和A-BCD .则问题简捷解出 .解 :∵PA⊥BC ,PA⊥DE ,∴PA⊥面BCD .∴VP-BCD =13 ·S△BDC·PD= 13 ·12 ·l·h·PD VA-BCD =13 ·S△BCD·AD= 13 ·12 ·l·h…     

《一道课本习题的变式教学》一文的一点补充

文[1]例谈了an=pan-1 f(n)型数列的通项求法,让笔者受益匪浅.但文[1]中变题2,3,4,7最后在方法点评上似有不妥,今冒昧提出,与大家讨论.我们先看变题2:已知数列{an}中,a1=21,an=4an-1-3n-1,求an.解将递推式变为an λ·3n=4(an-1 λ·3n-1),即an=4an-1 λ·3n-1.所以λ=-1.则an-3n