如何用导数判断函数单调性

函数的单调性是函数的重要性质,也是高考的热点问题,若利用函数定义求解,一般较为复杂.但是利用导数求函数的单调就有效地解决了这一难题.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.下面对利用导数判断函数的单调性的几个注意点加以说明.一、f′(x)>0(<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件例1用导数来判断函数f(x)=x3(x∈     

对数型复合函数的单调性问题求解三部曲

<正>一、对数型复合函数单调区间的求解三部曲(1)确定定义域;(2)弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成,将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),与u=g(x),并分别确定两个函数的单调区间;(3)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则y=     

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道 :(1 )若函数 f (x)在区间 I上单调增 ,且x1、x2 ∈ I,则 f(x1) x2 ;(3 )若函数 f(x)在区间 I上单调 ,且 x1、x2 ∈ I,则 f (x1) =f (x2 )　 　 x1=x2 .根据题目的特点 ,构造恰当的函数 ,利用函数单调性来解题是一种常用技巧 ,本文在此作点归纳和介绍 .1　巧用单调性解方程 (不等式 )例 1　解方程　 3 x 4x =5x.解　易知原方程同解于方程 (35) x (45) x=1 ,观察知 x =2是此方程的解 .易知 ,函数 f (x) =(…     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

函数性质选择题四则

1 函数y=ax~2 bx c的单调性:(A)分别有一个增区间和减区间,(B)有一个增区间或减区间;(C)不能确定。 2 f=(x)为奇函数的必要条件是:f(x)的(A)定义域关于原点对称;(B)图象关于原点对称;(C)恒有f(-x)=-f(x)。 3 下列函数中的周期函数是(A)y=cos2|x|;     

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…     

让我欣喜若狂的小小推广

<正>老师上课讲的结论:在定义域范围内,若外函数y=f(x)与内函数x=g(t)有相同的增减性,则他们的复合函数y=f(g(t))在相应区间上为单调增函数;反之,若外函数与内函数增减性相反,则复合函数在相应区间上为单调减函数.结论解释:以内、外函数都是单调增函数为例,因为在相关区间内,当t越来越大,x也越来越大;x越来越大,y也越来越大,所以复     

一道函数不等式的多种证法及评析

<正>题目(2018年3月北京市朝阳区高三数学一模18题)已知函数f(x)=lnx-1/x-ax.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若1相似文献   

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

新题征展(26)

A　题组新编1 .已知函数 f ( x) =3ax 1 - 2 a,( 1 )若在区间 [- 1 ,1 ]上存在 x0 使得f ( x0 ) =0 ,则 a∈ ;( 2 )若在区间 [- 1 ,1 )上 f( x)的图象在x轴的下方 ,则 a∈ ;( 3)若 f ( x)的图象与椭圆 x29 y24 =1恒有公共点 ,则 a∈ .2 .已知函数 f ( x) =2 sin( 3x 4θ) .( 1 )若 f ( x)的图象关于点 ( 2 ,0 )对称 ,则θ = ;( 2 )若 f ( x)的图象关于直线 x =2对称 ,则θ = ;( 3)若 f ( x)在区间 [π6 ,π4 ]上单调递增 ,则θ的取值范围是 .3.已知△ ABC,给出下列条件 :1 cos2 A cos2 B cos2 C =34;2 tan ( A - B) .cos C =0 …     

导数在判断函数单调性上的应用

函数的单调性是函数的重要性质之一,有时对于一些函数的单调性我们不易做出判断时,可以使用导数进行判断:即设函数y=f(x) 在某个区间内可导,若f′(x)>0,则在这个区间上为增函数,如果f′(x)<0,则在这个区间上为减函数．但是应用时应注意在区间内 f′(x)>0是y=f(x)在此区间上为增函数的充分条件而不是必要条件．同时f′(x)<0也是在区间上为减函数的充分条件而不是必要条件．     

在函数与导数中感悟“脱f”

<正>函数单调性的定义要求掌握"三用":正用:任取x_1、x_2∈D,x_1>x_2,若f(x_1)>f(x_2),则f(x)在D上单调递增;逆用:任取x_1、x_2∈D,x_1>x_2,若f(x)在D上单调递增,则f(x_1)>f(x_2);变用:任取x_1、x_2∈D,若f(x)在D上单调递增,且f(x_1)>f(x_2),则x_1>x_2.我们把变用单调性定义的这类题型叫做"脱f",此时解题关键是注意函数的定义域及单调性.函数中常见的脱f问题有以下三种,如遇到其他的问题,划归"母图"思想将有力地简化数学问题.     

单调函数的一个性质及应用

由单调函数的定义,我发现单调函数有如下性质:若函数f(x)在区间D上是增函数(减函数),则对于任意x1、x2∈D,恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))≥0(≤0),或x1f(x1)+x2f(x2)≥(≤)x1f(x2)+x2f(x1).其中当且仅当x1=x2时取等号.这一性质在学习中往往被忽视.我发现,通过构造单调函数,利用此性质可巧妙解决许多问题,且解法简     

利用导数法解决单调性问题应注意孤立点

在全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修Ⅱ)中,利用导数判断函数的单调性的方法是:"一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数."在这里,判断函数y=f(x)的单调区间,并没有使用     

无穷积分敛散性的一个新的判别法

华东师大1985年研究生入学试题中有一题[1]:设f(x)在[1,+∞)上连续,对任意 x∈[1,+∞)有f(x)>0,又 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,试证:若λ>1,则∫+∞1f(x)dx收敛.先对该试题作一推广成定理1,再推广成定理2,得到无穷积分敛散性的一个新的判别法.定理1　若f(x)在[1,+∞)上连续,对任意x∈[1,+∞)有f(x)>0,且 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,又(1) 若λ>1 (包括λ为+∞),则∫+∞1f(x)dx收敛;(2) 若λ<1,则∫+∞1f(x)dx发散;(3) 若λ=1,则∫+∞1f(x)dx可能收敛也可能发散.证(用比较判别法)　因 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,所以对 ε>0, X>1,当 x>X时有-λ-ε<…     

试题研讨(9)

题 1　 ( 2 0 0 2年 4月广州市一模题 )已知函数 f( x) =aa2 - 1( ax - a-x) ,其中 a >0 ,a≠ 1.( )判断函数 f ( x)在 ( -∞ ,+∞ )上的单调性 ,并根据函数单调性的定义加以证明 ;( )若 n∈ N且 n≥ 2 ,证明 f( n) >n.命题溯源　这道综合题与 1995年北京市崇文区二模第 2 6题 ,1996年天津市高中毕业班质量调查测试第 2 6题 ,1998年北京市西城区二模第 2 4题同源 .着重考查代数推理能力及分类思想 .原解思路　 ( )函数 f( x)在( -∞ ,+∞ )上是增函数 ,证明如下 :任取实数 x1 ,x2 且 x1 相似文献   

函数单调性的应用例谈

函数单调性是函数的重要性质,有着极为广泛的应用,本文举例加以说明. 一、函数单调性在解方程中的应用若函数f(x)在区间I上是单调函数,则方程f(x)=f(y)在区间I上有解的充要条件是:x=y.     

新题征展(22)

A.题组新编1 .( 1 )若函数 y =4 3x m .9x在区间 ( -∞ ,2 ]上有意义 ,则实数 m的取值范围是　　　 ;( 2 )若函数 y =4 3x m .9x 的定义域是 ( -∞ ,2 ],则实数 m的取值范围是　　　 .2 .已知函数 f ( x)的定义域是 R,且f ( 2 - x) =- f ( x 2 ) .( 1 )若 f( x)是奇函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 2 )若 f( x)是偶函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 3)若 f( 1 x) =f ( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 4 )若 f( 1 x) =- f( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 5)若 f( 2 - x) =f ( x 2 ) ,则 f( x) =　　　 .3.( 1 ) 1…     

关于一道高考模拟名题的深化

题目　已知函数f(x) =aa2 - 1(ax - a-x ) ,其中a>0 ,a≠1.( )判断函数f(x)在(-∞,∞)上的单调性,并根据函数单调性的定义加以证明;( )若n∈N且n≥2 ,证明:f(n) >n.这道题自从1995年出现在北京市崇文区二模后,先后出现在1996年天津市高中毕业班质量调查测试、1998年北京市西城区二模、2 0 0 2年广州市一模等试题中,《中国考试》2 0 0 3年3- 4期题卷荟萃·数学(新课程) (理)将此题改编为:已知函数y =loga(x+ x2 + 1) (a>1) )的反函数为f (x) .1)若f (x) 相似文献   

浅谈函数的单调性及应用

函数的单调性是函数的重要性质 ,应用十分广泛 ,必须认真学好 .那么 ,怎样学好这个性质呢 ?1　切实掌握概念 ,打好学习基础课本指出 :设函数 f(x)的定义域为I ,如果对于属于定义域I内某区间上任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1f(x2 ) ,那么 f(x)在这个区间上是增函数 (或减函数 ) .这个概念的核心是任意性和恒定性 .任意性是指x1,x2 是函数定义域内任意两个自变量 ,恒定性是指不等式 f(x1) f(x2 )是在x1相似文献