一道高考试题的多种解法赏析

<正>1试题再现(2020年新高考数学全国Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=ae^(x-1)-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.问(1)易得,下面给出问(2)解法.2隐零点法隐零点法是处理导函数零点不能直接求出的情况下常用的方法,借助隐零点,可以进一步研究原函数的单调性和极最值,给解决导数问题带来极大帮助.     

求曲线切线方程的两个易错点解析

<正>一、求曲线在某点处的切线函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有导数,则曲线y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有切线.若函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的某点x_0处导数不存在,那么,曲线y=f(x)在该处切线是否存在?如果存在,该如何来求?下面举例来说明.     

巧用《几何画板》探求两函数“交点的个数”

在教学中,我们经常遇到求两个函数的交点个数或一个函数的零点个数问题,而这些函数中常常含有指数函数、对数函数、幂函数等等超越函数,若能巧妙地利用几何画板进行探求,就能顺利获解.下面就举几例说明,供大家参考.一、探求函数y=ax与y=xa(a>0且a≠1)的图象在x>0时交点的个数1.问题:(高一教材(人教A版必修1)同步作业第53页第4题):问函数y=2x与y=x2的图象在x>0时有几个交点?学生的主观错误:许多学生根据所画的局部图象,错误地认为两个函数只有一个交点.图12.(1)利用几何画板画出两函数的图象容易发现有两个交点,但是两个交点不十分明显;(2)…     

综合题新编选登

题179已知函数f(x)=ax3 bx2 c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.1)若c=0,试求函数f(x)的单调区间.2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n, ∞)是f(x)的单调递增区间.试求n-m的范围.解由f(x)=ax3 bx2 c的图象过点P(-1,2)知-a b c=2.又f′(x)=3ax2 2bx.因为f     

用辅助切线法解一道联考函数题

2012年4月湖北省七市联考理科压轴题是一道文字简洁题意清晰的好题,题目是以学生最为熟悉的指数函数e~x和对数函数Inx为载体的函数问题,重点考查利用导数处理不等式恒成立问题的求解及不等式证明.本题意境深远,很有研究价值,本文笔者结合图象用辅助切线法来解这道联考函数题,与大家交流.题目已知函数f(x)=ae~x,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且y=f(x)与y=g(x)的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.(Ⅰ)求常数a的值;(Ⅱ)若存在x使不等式(x-m)/(f(x))>x~1/2成立,求     

切线法证明不等式

<正>2018年北京市东城区高三一模数学理科:已知函数f(x)=e^x-a(x+1).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为0,求a的值;(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;(Ⅲ)证明:当a=0时,曲线y=f(x)(x>0)总在曲线y=2+lnx的上方.试题第(Ⅰ)问是根据曲线在某一点处切线的斜率求参数的值,解得a=1;第(Ⅱ)问是     

"函数f(x)无零点方程f(x)=0无实根"吗?

在人教A版数学必修1教材中,关于"方程的根与函数的零点"给出了如下结论:方程f(x)=0有实数根(＜＝＞)函数y=f(x)的图象与x轴有交点(＜＝＞)函数y=f(x)有零点.上述结论明确了函数f(x)的零点、方程f(x)=0的实根、函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标之间的等价关系,这也是处理函数零点问题的重要方法和手段,即:将函数零点问题转化为相应方程的实根问题或相应函数图象的交点问题.……     

利用函数图象确定零点个数

<正>在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论.理论1:函数y=f(x)有零点?方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点.     

运用导数的性质解高考试题

设 y =f(x)为可导函数 .①在某个区间内 ,如果 f′(x) >0 ,则 f(x)为增函数 ;如果 f′(x) <0 ,则 f(x)为减函数 .反之亦然 .②函数 f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号 .③函数 f(x)在点x0 处的导数 f′(x0 )是曲线y =f(x)在点 (x0 ,f(x0 ) )处切线的斜率 .运用上述性质可解决下面几类高考题 .1　求参数的取值范围图 1　例 1图例 1　 (2 0 0 0年春北京高考题 )已知函数 f(x) =ax3+bx2 +cx +d的图象如图 1所示 ,则 (　　 )(A)b∈ (-∞ ,0 ) .(B)b∈ (0 ,1) .(C)b∈ (1,2 ) .(D)b∈ (2 ,+∞ ) .解　由图象知…     

一道导数压轴题的解法探究与拓展

<正>题目已知函数f(x)=e~x+ax~2,g(x)=x+blnx.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线相交于点(0,1).(1)求a,b的值;(2)求函数g(x)的最小值;(3)证明:当x>0时,f(x)+xg(x)≥(e-1)x+1.这是本市期中考试的导数压轴题,第(3)问是一个函数不等式证明问题,难度较大.经过一番探究,笔者发现两种重构函数的简单解法,现整理成文,与大家分享.     

掌握一种科学的语言和工具,学习一种理性的思维模式——新课程试卷函数试题命题和答题

新课程试卷文科第(21)题和理科第(20)题是同一类型的试题,利用导数讨论曲线的切线及有关的性质. 文科试题为:已知n>O,函数f(x)=x3-a,x∈[0, ∞).设x1>0,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l. (Ⅰ)求l的方程; (Ⅱ)设l与x轴的交点是(x2,0),证明: (1)x2≥a1/3; (2)若x1>a1/3,则a1/3<220,函数f(x)=1/x-     

函数零点的几种转化方法

<正>函数的零点是最近几年高考数学出题的热点,无论是选择题,填空题,解答题的压轴题出现这个知识点的频率都很高.较简单的类型零点可直接求出,零点问题变化较多,但寻求f(x)=g(x)的零点个数主要方法还是转化成两个函数y=f(x),y=g(x)的公共点个数,关键在于y=f(x),y=g(x)的函数图像在同一个直角坐标系中容易画出,有时需要进行变形整理.有些对称问题和纵坐标相等的问题都可以转化成函数交点问题来解决.一、零点个数转化成两个函数公共点个数     

综合题新编选登

题130设定义在R上的函数f(x)=a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时,f(x)取极大值32,且函数y=f(x 1)的图象关于点(-1,0)对称.1)求f(x)的表达式;2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-2,2]上;3)设xn=2n2-n1,ym=2(13-m3m)(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<34.解1)将y=f(x 1)的图象向右平移一个单位,得y=f(x)的图象,所以得f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)是奇函数,所以f(x)=a1x3 a3x.由题意,得f′(-1)=3a1 a3=0,f(-1)=-a1-a3=32,所以a1=31,a3=-1,f(x)=13x3-x.可以检验f(x)满足题…     

2014年新课标全国卷Ⅰ理科21题研究

一、考题展示（2014年新课标全国卷I理科21题）设函数f（x）=ae^xlnx＋（be^x-1/x）,曲线y=f（x）在点（1,f（l））处的切线为y=e（x-1）＋2．（1）求a,b;（2）证明：f（x）〉1．点评本题是2014年新课标全国卷Ⅰ理科卷的最后一题,是压轴题,考查的是导数的应用,第（1）问考查导数的几何意义,多数学生能够解决,第（2）问考查用导数研究不等式,看起来很平常,实际上却背景丰富,有一定难度和区分度,也有很大的研究空间,我们重点研究第（2）问。     

一道函数零点问题的多视角求解

题目已知函数f(x)=lnx+(1-m)x在区间[1,e2]内有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是.本题是一道与函数零点有关的参数取值问题,函数f(x)在某区间上有且仅有一个零点,就是对应函数的图象与x轴在区间内有一个交点,也是对应方程在该区间内有唯一的实数解解决本     

谈谈函数取点的那些事儿

<正>问题背景在讨论函数零点个数时,一般采用研究函数的单调性,结合零点存在性定理进行严密地论证．例如,当我们论证出f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在(x0,b)上单调递增,且f(x0)<0时,为了严密论证f(x)在(a,b)上有两个零点,需在x0左侧取出f(x1)>0,右侧取出f(x2)>0,才能得出f(x)共有两个零点的结论,这类问题一般称之为取点问题,在高考真题中十分常见．     

用导数三探零点问题

方程f（x）=0的根也称为函数f（x）的零点,研究方程f（x）=0的根就是研究函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往“被压轴”．在2011年高考冲刺复习中,如何在零点题型上有所突破？导数是研究函数的图象与性质的最重要工具,因此解决有关方程根的分布或函数零点问题,导数方法是首选．本文以一道模拟题解法的三次改进,例说如何用好导数工具,解决函数零点问题．     

谈过任一点作三次曲线切线的条数问题

2007全国卷(Ⅱ)22题:已知函数f(x)=x3-x,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点N(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a相似文献   

用高等数学知识剖析一道高考题

题目 (2010年湖北理21)已知函数fx=ax+(b)/(x)+c(a>0)的图象在点(1,f1)处的切线方程为y=x-1. (Ⅰ)用a表示出b,c; (Ⅱ)若fx≥.ln.x在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;     

综合题新编选登

题 1 33　已知函数 f(x) =a - 3x ,1)求f- 1(x) ;2 )试讨论 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点个数 ,并求出交点坐标 .解　 1)由 y =a - 3x ,得x =- y23 a3.∴ f- 1(x) =- x23 a3(x≥ 0 )。2 )当 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点在 y =x上时 ,联立y =x ,y =- x23 a3(x≥ 0 ) ,消去 y