一道代数题的多种解法与推广

有这样一道常见的代数题砚目.二y’之‘一。:一万 (3)t盆一(a一:)t+z“一az若实数羌’、’满足等式{x+y+之~a,夕2+少,+之名山(z)(s)知二、y是方程o22其中a>“·求证·。《二(争,。‘,蜡‘。‘:、粤。· 本文先从几个不同的方面给出它的五种证法,后再将它推广到一般情形. 证法一(判别式法)然+誓一。的两根.因X、,为实数, ·“△一(口一,,一‘(之“一+誓)》。由此得“啼‘争·同理可证。命蜡“,““夕、号口·(以下各证法中均省略这句话, 证法二,(解析几何法) (1),(2)的几何意义是直线二十y=a一z与圆.由已知得·{x十y=a一二. 尹么‘“十y“一…     

一类k步k—1阶格式的研究

1.引言 基于数值微分的方法(或称Gear法)是当前处理Stiff问题的主导方法。该方法具有如下的形式: k y_(n 1)=sum from i=1 to k α_iy_(n 1-i) hβ_0f_(n 1)。 (1) 众所周知,当k≤6时,该方法是Stiff稳定的。积分过程所形成的隐式方程组必须用Newton-Raphson法求解,因为一般的简单迭代收敛性条件     

一类线性隐式A稳定的单步法

1.引言 对于Stiff方程组初值问题的数值解法,Dahlquist在[1]中引进了 A稳定的概念,并且证明了显式的线性多步法(包括显式的Runge-Kutta方法)不可能是A稳定的.现在已经有许许多多隐式A稳定或Stiff稳定的方法,但绝大多数在数值解的过程中必须解由于隐式方法所产生的非线性方程组,而非线性方程组的求解过程往往又要采用Newton-Raphson迭代方法,因此需要计算方程y’=f(x,y)的右函数f(x,y)的Jacobi矩阵以及与此有关的逆矩阵.本文的主要思想是:既然在数值解过程中要计算f(x,y)的Jacobi矩阵,那么不妨在数值公式中明显的出现f(x,y)的一阶偏导数.我们将A稳定公式     

Ⅰ 特殊值不成立的一般结论

若x、g、:为正数,且x+y十z>3,则l+x+夕,。l+x+z,‘、l+夕+z,。,~—、j,—久j,—气jjl蔑芝乙. ‘梦人 我们用反证法证明时竟出现了奇怪的情况. 证明:假设 l+x+夕,、l+x+z,_1+好+z,_ 一<3.一<3.二‘J=‘二<3 2一’y一’X三式不成、父,则有」兰三土上翔.l+尤+z 夕沈.竺雀坦讨成辛 即一+x+夕)32,l+x+z)3梦l+夕+z)3x成亿,该三式相加,得x+夕+z‘3与题设矛盾,故知命题成立. 然而,事实上,当取x二l,9=2,z=3时有竺岁三一6>3即是说.对于上述命题取此特殊值就不成立,而对一般情形我们己给出了证明,说明是成立的.这对特殊值不成立的一般结论,岂不奇怪!Ⅰ…     

一九七九年高攷数学试题(理工农医类)参攷解答

1.若(z一x)“一4(x一夕)(夕一二)=o,求证x,夕,:成等差数列(6分)。 证:.(z一x)名一4(x一y)(y一z)=0, :.[(z一夕) (夕一二)]“一4(:一夕)(夕一x)=0, (z一y)2一2(z一y)(y一x) (y一劣)2=0, .,.[(z一y)一(夕一x)]2=0 .’.x 2一Zy=O, 故二,夕,z成等差数列即得证。2。化简 1 l1一—(6分)1一ese名x,.’1一eseZ%二一etgZx, 原式二 11_1 1一,l,l l一c tg:x1 tgZ戈5 ee吕戈_11_ 1一eosZx一甲,乙二容器内都盛有酒精。甲有厂:公斤,5 in恶劣c 5 CZ劣.量)的比为m;:n;,乙中纯酒情与水之比为m::n:。水之比是多少?(6分)乙有犷:公斤。甲中纯酒精与水(重问将…     

抛物线焦点弦的性质及应用

例1.已知分别过抛物线-v’=2加_卜点城、:,夕,)、z了(、,。,:)的两条切线相交于尸(x,,,,,),求证:二,二仙丫21夕百十r气六一,夕一二—。 2办’一2一个贡要属性,在后面的性质证明和应用‘卜将不断地被应用。l)抛物线焦点弦性质 性质1.过抛物线焦点弦两端的切线的交点,在抛物线的准线上,证:设过汉点的切线为兀1过B点的切线为从, 则:Ll:为y=P(x十劣,),孟::势y二P(万+介)。两式相除得:生= y.,+劣1几+才‘知道过;、刀两点切线的交点尸,它的横整理得:x(夕,一y‘)二朴y:一为万2。又·:二1一共,男2=华,代入上式可得, 乙P乙尸y lyZ=p一2 一 一︷ 劣…     

这样推导好!

高中《解析凡何》第74页例3推导过圆+,2二:2上一点M(x。,刀。)的切线方程的方i如下: 如图1,设切线的斜率为k,半径OM的:率为k,,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是左二一{· .矛 八“内比夕万 二L八 无二一与. :ll。经过M汽的切线方程是万一刀。一石、工一汪。’ 整理得:。x+y。、二二。’十、。’ 因为点M(二。,万。)在圆土,所以 场2十:li’0艺=尸. 所求切线方程是二。x+刀。万二:‘. 笔者认为教卞士中上述推导忽视了切线斜,不存在及为。的情况,犯了以偏概全的错误。事实上,当二。寺。或:lI。奔。时,推导圆的切线二程同上;当.:。=o,或…     

数学奥林匹克问题选登

1992年10月号问题解答 (解答由问题提供人给出):sin(,一2刀):sin(、一2,,)=sinZa:sinZ刀sinZ), 33.设a,刀,:是任意一锐角三角形的三卜内角.证明::(吵十率鲜+塑全卫))(粤+ u PZ夕P a毛刀镇,z, 二一Za),一2刀)汀一Zy,l、__11_11丁)sin Za十(丁十下)sinZ刀十(二+一于)sinZ〕,·J,夕。uP于是由三角形的边角关系,知a)b)c. sinZa)sinZ刀)sinZ〕人于是不失一般性,可设。簇刀镇1,,则生)又由题设易知。一2a,,一2刀,二一2:可同理作为一个三角形的三内角,设它们所对的边为a,b,e,则由正弦定理知。:乙:。二sin(,一Za)(S、·2一;·2刀)(告址告,)。…     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

开拓思路 绕过难点

扭:~投万厂数x、y、份满足不等式:犷勺,一尹+犷斗一“’一‘仁尹低卜夕’2二夕 Zyz忿之%二是与匕个几角}形的三边长.>1求沁_:x、y、这是八一七年_}海巾刊中数于竟赛试题的最后一题,给分最淌(18分),难度也较大. 常规思路是:x、y、二是父个三角形的三边长今今少+二>,:十二>.,二十少>.为获得介·十:一二,刃十‘一y,戈+一二,对题给不等式变形: :(x“+、,“一二“)+*(,,2+二“一x“)+少(二“卜x“一夕:).一2二y友>。*然后分解因丘听俘:又y+二一x)xL:+二一.v)(汾+y“习知.、**’ 共体求解过程}‘将碰到两个难点:一兄山*式因式分解获得、**式;二是…     

上期课外练习参考解答

1 .f(二)一Zsin(。+*一夸,· “,f(x,的图像过原点~f(。,一Zsin(*一合,一。 一华一奴十粤(k任z);故势一k;十粤(k ez)为所求 JJ (2,当*一晋一晋时,了(?,一Zsin‘、+晋,- ZC0sajx为偶函数·而当*一晋一誓,f(二,一ZSin(田了 +誓卜一ZCOS田二也是偶函数·故*一誓为所求· 注此小题为开放题,答案有无穷多.由*一晋- 罕。得*一罕!(‘。2).故*等于罕!(* 任Z)中的任何一个值都是所求的一个充分不必要 条件. (3)由题意,浦\。浦’ {亏了)“{亏’ 二簇2 冷 习 切脸一W 誓、W<半为所求 f(eos28+Zmsin夕)+f(一Zm一2)>o,且f(x) 是奇函数. f(。05艺8…     

一个不等式的推广

文〔1〕证明了这样一个不等式:已知x,y任R一卜,且x十y,,,1、,1、一9乙久、x一丁’、y一丁少、万二1,求证:一(2一粤)2 乙’经过思考、探究,我证明了以下命题.命题(xZ-若1、x,yeR十,且x十y二1,则)(夕2一步,)“一奇,’,一步,)‘8一青,’· y夕因0相似文献   

2.最大值有无穷多个

题:求y .x(80一Zx)(50一2二)(0。,,>o,。>。) J当且仅当a=b .c时,Qbc取最大. 解:引人参数k》O声>O,有y一磊·*x‘。o。一、X、50一ZX).当且仅当kx,80m一加x二s0一Zx,即x 5() sk花浮万,脚.丽下石时,y有最大位.这时.kx 80门一2用x 50一Zx-150kk 2’,‘咨产三生卫旦竺二2塑主选查9二丝)’ 瓦夕月J二丛生五(j旦互、’. sk乙’七 2‘50(犯k(4k 3) (k 2), 当k取不同的正位时.y有不同的最大值;所以,y的最大仇有无穷多个.附:本期一望而解答案: 1 .C;2,A;3.C;4.B附:本期诡辩揭底: 1.a,b必须大于零…     

关于二、三、四次方程的代数解法

(一)考虑三个行列式先根据行列式性质按以下方法镬个进行什算犷夕!,万夕宕y言夕牛x十y 二,名即!les!J ,!!JIyr宕禽yy言即r+夕 yry七盆~(x+y)夕了二(x+,)(x一夕);40设.为1的立方原根,则有旬3~1,。2+“ 1 x y 2 1 1 1 1 11zx夕】二(x+夕+二)公Xyy宕戈y万厂 +(夕4+二,+。心一2夕222一2夕2u,2一222,2)二~(x+夕+z+留)(x+夕一z一,)X x(二一夕+名一留)(x一一二+。).(3)(立)二次方程XZ+户x+叮二o户一2 一一(二+,十二)}:二令X一x代入方程,整理后化成一一+1|ee一一|+y旬+二.‘y 1,x。+,。2+一(二十,+·)(·一!_2/尸_、_。孟-一l—一兮J一U, \弓/一…     

怎样从一个问题出发提出更多问题

《解析几何》课本上有这样的一道题 :过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和抛物线交于A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) .求证 :y1 y2 =-p2 .(证明略 )你能从这道题出发提出更多的数学问题吗 ?提出新问题的方法和途径是什么 ?一由此及彼 ,迁移联想联想 1　注意到 y1 ·y2 =-p2 ,很自然的会想到 :x1 ·x2 =?又kOA =y1 x1 ,kOB=y2x2 ,想到kOA·kOB =?再由倾角和斜率有关 ,想到tanα·tanβ =?(其中∠AOx =α ,∠BOx =β)变题 1　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和这抛物线相交于点A (x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ) .求值 :( 1)x1 ·x2 ;( 2 )k…     

Poisson积分的几个证明

圆内调和函数u(z)=u(re‘口)=u(戈,夕)的Poisson积分表示式u(r’“)=l不2,,:‘、1一rZ—l刁“吸e’了J万eseses~eseseses--一-二;,a梦Z兀汉0’‘1~Zrcos气势一口)+r‘O(r<1(1) 0簇0(2兀是一个重要公式,其中“(z)在单位圆1川<1内调和,在闭圆}川(1上连续,它在很多理论实际问题都有重要的应用。这里给出几个证明。 1.用Cauchy公式来证明 在一些教科书中都用这种方法来证明,这里试图讲得更严格些。 对于在圆{川<王内的调和函数。(习二。(x,y),利用线积分可以构造出它的共扼调和函数:·‘·,=·(二,,,一J(,,,)(0,0)乡“Jy a“aX十—aV 刁X因…     

不共线三点所确定的圆的方程

P.设不共线三点尸:(x:,夕:)、p:(x:,夕:)、(x:,夕。)所砍定的圆的一般方程为xZ+万:+Dx+E召+F二o(l)奋把三点坐标代入方程(I),并略加整理而成D、E、F的方程组(xl·夕+夕,·E+F=一(川十川),lx,’甘+夕:·E+F二一(x要+杏二),一x3.口卜万3·E+F=一(x孟十夕孟).由三点不共线跳充要条件可知 ‘“U 笋心.二口.几姗.工丫1夕-劣:玄:工3刀s应用克莱姆法则可得..r‘...,月.‘..lr!!1 1 .1 1 1 1 2 21豹脚如豹如如豹如如xl九xs朴介介幻朴勺川川川嘴几,二..人,二,几,二 .二,﹄3 y夕g山口‘人22,自,曰 y夕yJ++,舀,︸门山,.,.侣」X XXD*一内占1曰…     

求二次函数解析式的技巧

二次函数_=甜。+如+c(＆≠O)的解析式有如下三种形式表示: l、顶点式:y=n(z一¨。+足,(^,是)为顶点坐标. 2、交点式:当△=6。一4“≥0时,设方程甜。+k+c:0的两根为z。,z2,则二次函数的解析式可写为y=口(z—z。)(z—z2),点(z,,0),(z2,0)是二次函数的图象与z轴的交点. 3、广义交点式:二次函数的图象具有轴对称性,由此我们可知:二次函数图象上两点(z,,y。),(z:,y2),若_),。=了:=￡,则对称轴为:-z=半,此时,解析式可写为:y=口(z—z。)(z—z2)+￡,这是交点式的推广. 在用待定系数法求二次函数的解析式时,运用上面的知识,恰当选择设立解析式,可以…     

对"条件x+y=1下1/xn+λ/yn(n≥2)的最小值"再探究

文[1]把解决问题(1):“已知z,Y∈R+且z+.y一1,求去+4j,的最小值’’的“]一z+y”的代换方法移植到问题(2):巳知z,Y∈R+且z+y一1,求壶+歹8的最小值’’时思此时z—i歹舞,y—i歹斋.路受阻后,提出在(≯1+多)( )中,括号内 。=应配上什么式子才能解出的疑问,由此利用文[1]中的(*)式和待定系数法探讨出了一般性的结论:“已知z,y E R+且z+y一1,若^>o,则当且仅当导一^南时,击+号("≥2)取得最小值为(1+A南)一十一. 笔者读后颇受启发,但在(去+io)( )中,括号内到底应配上什么式子呢?文[1]的一般性结论能否再推广?为此,本文再作些探究.1 大胆尝试,印…     

|z|~2=z·的妙用

:·三=}:}’是复数绝对值运算的主要工具,而当1:}~l时,灵活运用!:}’一:·三一1可以达到化难为易,化繁为简的目的,使解题过程简捷巧妙. 例1设复数a、刀、y有.al二l刀,二l,,I~解设。~ }a!一1 1且:井一生.a二工畔a十之1十“名一—-一a, 口:并一茂(刀 下)(y a)(a十刀) a声夕要使。