排列组合中的分组问题

排列组合一章的习题中,常常涉及到对元素进行分组的问题.题目有对相同元素分组和对不同元素分组,有组的位置确定和不确定多种情况,学生弄不清这些题目的区别和联系,解答时很容易重复或者遗漏.本文编拟口诀并举例介绍巧妙解决分组问题的方法.1相同元素的分组问题(口诀:同元分组用挡板)例1将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的放法有多少种?解本题是将12个球分成四组,每组必须有球的问题.将12个球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中任意选出3个插入挡板,把球分成4组,例如○○○|○○○○|○○|○○○…     

元素进盒问题

在我们学习排列组合这一章时，会遇到形形色色的“元素进盒问题”或可以转化为“元素进盒的问题”．这类问题灵活多变，极易解错，故在解题时须审好题目，翻译好题目，转化好题目，积累好题目，力求做到对号入座，以便正确快速解答．     

排列组合解题二三法

排列组合解题二三法陈宗洵（福建师范大学数学系３５０００７）排列组合的题目疑多乖戾，似无常法，暑假“陪读”偶有所得，整理成文敬飨读者，谨供参考．ＩＮ度法排列组合问题可视为按某种规则抽取元素的试验，确定试验所有不同结果的数目，我们可以把这种试验的若干结果...     

以凸包为工具求解组合几何题

组合几何诞生于20世纪中叶．是用组合数学的成果来解决几何学中的问题．主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里德性质．组合几何以其内容丰富．题目新颖，难度有层次而在竞赛数学中异军突起．分类是一种重要的数学思想方法，它分化了问题的难度．对每一子问题而言，原来问题中的不确定因素变成了确定因素(因为附加了已知条件)，     

基本元素分析法解题

一个复杂的题目，总是由一些基本元素组合编缀而成的．如：“项”是构成数列或式子的基本元素。“点”、“线”是图形的基本元素，有时一个较复杂问题的一个基本结构也可视为这个问题的一个基本元素，等等．通常，我们可以通过对这样的一些基本元素的分析，作为全题分析的基本，以点带面，由简单到复杂，由局部到整体，求得问题的解决．     

一道三角名题的多角度探究

三角函数中条件恒等式的证明问题，处理的方法多，同学们常常因为不能从题目的条件出发，正确确定解题的目标，不善于从题目的外在结构上恰当地提取多种信息，从而挖掘题目的内涵．下面撷取一道三角名题举例予以说明．     

浅谈排列组合中的分组分配问题

1998年高考理科试题第(11)题，是一道涉及将所给不同元素分组后再分配的排列组合应用问题．对这类问题，许多学生普遍感到棘手，分不清“排列’’还是“组合”，极易出错．本文拟对此类问题进行分类探讨，并总结方法，以供参考．     

这个题目只有一个解

文[1]探索了题目： 已知tan110°=a，求tan10°的值． 结论是：这个题目有11个解．这个结论是错误的，tan110°=α是一个确定的值，tan10°也是一个确定的值，因此这个题目只能有一个解．     

怎样利用集合元素的性质解题

在学习集合概念时，同学们对元素的性质，即元素的确定性、互异性、无序性这些性质记得住、背得过，就是不会用．为了帮助同学们解决这个问题，本文对其进行研究．     

关于一个集合问题的更正及补记

文[1]提出了这样一个问题： 题目已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A,则1＋a/1-a∈a. （1）若n=2∈A，求出A中所有元素．     

变更问题诱发灵感——谈波利亚探索法在解题中的应用

波利亚把解题作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．在波利亚看来，解题的过程，就是不断变更题目的过程．他说：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒．为了辨别哪一条思路正确，哪一方向可接近它，就要试探各种方向和各种思路，就要变更题目。”波利亚还说：“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们问题有关的元素接触的新的可能性。”     

对一些题目的设置和解法之我见

对一些题目的设置和解法之我见王如云，范锦芳（河海大学）本文涉及的二个题目，几乎许多高等数学教材和高等教学学习指导书都把它们列入习题或作为典型例题介绍＼其解法相同或习题答案一样．笔者认为这些题目的设置不够合理．其解法细细推敲也有问题．下面就谈谈我们的一...     

排列、组合和二项式定理

分类计数原理和分步计数原理是排列组合的核心内容，它既是推导排列数、组合数公式的基础．也是解决排列组合问题的重要方法．分类是把复杂的问题分解成互相排斥的几类，然后逐类解决，分步是把解决问题的方法分解成几个相互联系且相互独立的步骤，较复杂的排列组合问题的解决常先分类再分步．解决带有附加条件的排列组合问题的方法主要有：（1）特殊元素分析法：优先安排特殊元素，再安排其它元素；（2）特殊位置分析法：优先安排特殊位置，再安排其它位置；（3）去杂法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数；（4）插空法：对于要求某些元素不相邻的问题，可以先排好没有限制条件的元素，然后将要求不相邻的元素插入到排好的元素所产生的空档之中；（5）捆绑法：对于要求某些元素必须排在一起的问题，可以将要求相邻的元素合并为一个大元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也要作排列；（6）先分组后分配即先选后排；（7）隔板法；（8）去序法；（9）列举法，特别要注意利用“树形图”不漏不重地列举；（10）集合法．     

全错位排列的一种新解

回自同空四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，地四张贺年卡不同的分配方式有（A）6秆（B）9科（C）11种（D）23种（1993年全国高考题）以上题目属全价位排列问题，其解法甚多，本文利用“分类”的方法给出一种新颖的解法．解四个元素全排列可分成以下四类：4个元素全措位排列；恰有3个元素全错位排fo；恰有2个元素全错位排列；没有元素错位排列．于是有：引一at十q·a3十q·3：＋1（。）其中a；（2＜i＜4）表示i个元素全错位排列数，易有a：一1，as—2，故由（。）式有：a．＝41－q·a。－－q·a。－1…     

奇妙的一笔画简

在题目的求解过程中，充分捕捉题目信息，正确把握题目内涵，即正确把握题目中概念、给出对象、求解问题的含义以及相互之间的关系，正确有效地解读题目，从而有效调动、重组、转化、利用题目信息分析问题，是问题解决的关键．笔者结合问题求解谈谈自己的粗浅以识．     

解题后的回顾及评价

数学家波利亚将解题后的回顾确定为解题的必要环节．事实上，通过回顾和评价。对把握数学问题的本质，揭示解题规律，培养良好的思维品质，提高分析、探索和创造能力有很大的帮助，它是使学习者的认识由低级向高级发展的一个重要途径．许多同学做完一大堆题目之后数学成绩无多大提高，多数原因是解题后没作适当总结回顾。而是做完题之后，便丢在一边不闻不问，没有透彻理解．因此，建议大家解题后。花时间进行回顾与评价，认真揣摩，细细品味．     

元素——集合的唯一要素

注意到集合问题的表现形式、思路分析、解题过程往往不同于初中阶段常见的计算题、证明题、化简题, 那么解集合题有没有什么规律可循呢? 集合的唯一要素是元素,因而集合问题的解决,主要靠分析、确定其元素来完成．元素是解决一切集合问题的核心,因此抓住集合的元素进行分析,是解决问题的基本途径．     

例谈数列问题中的分组

例谈数列问题中的分组侯祚奎（湖北恩施市一中）求解某些数列问题时，若对数列适当分组，每个分组中的项将呈现出某些规律，这些规律对数列问题本身的求解极为有用．下面略举数例．例１．（１９８７年上海市高三数学竞赛试题）已知等差数列①：５，８，１１，…，与等差数...     

截尾线性模型参数的一迭代估计法

本文提出了一种估计截尾线性回归参数的方法：先把数据分组，然后迭代地对分组数据进行调整，每一步基于调整的数据对参数作ＬＳ估计．经过一个其次数可以事先确定的迭代，得出参数的最终估计．证明了这一估计的渐近正态性，并指出了对参数作大样本置信区域的方法．     

不等式恒成立问题的分离参数解法

参数讨论是中学数学教学中的一个重点和难点问题，同时也是高考和数学竞赛试题中的热点问题．参数讨论的方法和题型多种多样，其中不等式恒成立问题中求参数范围的题目更是屡见不鲜．笔者在文[1]中介绍了几种最基本的求解途径，但题目稍复杂一点用文[1]中的方法就无能为力了．为此本文试图通过分离参数的办法，使有一定难度的不等式恒成立问题能够转化为我们较为熟悉的内容来求解．