蝴蝶定理的一个推广

定理 设ＡＢ是Ｏ中任意一弦厂为ＡＢ上一点,过 Ｃ作两弦 ＭＮ、ＫＬ,连结 ＫＮ、ＭＬ,分别交 ＡＢ于 Ｐ、Ｑ,则 证明 如图 １,由相交弦定理,得ＮＰ·ＰＫ＝ＡＰ·ＰＢ＝（ｋａ－ｘ）（ｘ＋ａ）．由正弦定理,可得由上两式,得经整理,得 所以ｘ＋ｙ＝０（舍去）,或 （ｋ、１）ｘｙ＋ｋａ（ｙ－ ｘ）＝０, 解得 即 得 当Ｃ为ＡＢ的中点时,ＡＣ＝ＢＣ,此时ＰＣ＝ＱＣ,该定理即为著名的“蝴蝶定理”．蝴蝶定理的一个推广@蒋祝权$江苏省涟水县徐集中学!223400     

一、关于一个角平分线不等式的逆向讨论

一、关于一个角平分线不等式的逆向讨论马统一（甘肃煤炭工业技校７３０９１９）董文莉（甘肃省地矿局二中７３４０２４）本文研究不等式的逆向不等式．给出了（１）式左端的一个与Ｒ，ｒ有关的上界．定理设△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，∠Ａ，∠Ｂ，...     

三、一个几何不等式的证明

三、一个几何不等式的证明石世昌（浙江新昌中学３１２５００）文［１］提出了如下猜想：设Ｐ，Ｑ，Ｒ分别位于西ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上，且将同界三等分，则ｏＲ‘“ＲＰ‘＋Ｐｏ‘＞２－‘（ＢＣ‘＋ＣＡ‘＋ＡＢ＊）（１）其中ｋ是正整数．文【Ｚｊ证明了当Ｐ，...     

空间闭折线与其内点闭折线周长间的一个关系

我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢？本文将探讨此问题． 为此,先给出如下引理： 引理 １ △ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ ＢＣ·ｃｓｃＡ／２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号． 证明 在△ＡＢＣ中,由余弦定理,得ＢＣ～２＝ＡＢ～２＋ ＡＣ～２—２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ Ａ 引理２ 设Ｐ１＞０,ａ１＞０（ｉ＝１,２,…,ｎ）,则 引理２是加权幂平均不等式Ｍ１（ａ,ｐ）≤Ｍ２（ａ,ｐ）,在许多文献（例如文［１］…     

一个三角形不等式的四面体移植

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｔｅｍａ建立了不等式：　　　ＡＬ·ＢＭ·ＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅当Ｐ是△ＡＢＣ的内心时成立．类似上式,贵刊文［１］Ｐ２６刊载了刘键先生建立的不等式：ＡＬ·ＢＭ·ＣＮａ·ＰＬ＋ｂ·ＰＭ＋ｃ·ＰＮ≥△Ｒ（２）等号当且仅当△ＡＢＣ为锐角三角形且Ｐ为垂心时成立．文［２］给出了（２）式的简证,受其启发,笔者通…     

一个有趣命题的推广

资料［１］第１６８页例５证明了下列命题：设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（２ｐ,０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,则∠ＰＯＱ恒为直角;这个命题很有趣,本文将它做如下推广：定理　设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（ａ,０）（ａ＞０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,∠ＰＯＱ＝θ（０＜θ＜π）．（１）若ａ＜２ｐ,则π２＜θ≤ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ;（２）若ａ＝２ｐ,则θ＝π２;（３）若ａ＞２ｐ,则ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ…     

巧用三角形证不等式

巧用三角形证不等式熊佩英（湖南益阳财税学校４１３０５４）很多不等式与三角形有着直接或间接的联系，如能想到这一点．往往能收到事半功倍之效．例１正数ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，满足ａ＋Ａ＝ｂ＋Ｂ＝ｃ＋Ｃ＝ｋ，求证ａＢ＋ｂＣ＋ｃＡ＜ｋ２．（图１）证明构造图形如...     

简证一个有价值的三角形不等式

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｅｍａ建立了不等式ＡＬＢＭＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅...     

巧构二次函数证明一类分式不等式

笔者发现巧构二次函数,利用二次函数的知识可以很简捷地处理一类分式不等式,从而使其获得统一证法．例１已知：Ｐ为△ＡＢＣ内一点,ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ,点Ｐ到△ＡＢＣ三边ＢＣ、ＣＡ和ＡＢ的距离分别为ｄ１,ｄ２,ｄ３．求证Ｎ＝ａｄ１＋ｂｄ２＋ｃｄ３≥...     

Erds-Mordell定理的简捷证明

Ｅｒｄｏ¨ｓ－Ｍｏｒｄｅｌ定理的简捷证明李汉丰（山东胜利油田教育学院２５７０９７）１９３５年，Ｅｒｄｏ¨ｓ提出了如下猜想：命题设Ｐ为△ＡＢＣ内部或边上一点，Ｐ到三边ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢ的距离分别为ｒ１，ｒ２，ｒ３（如图），则ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ≥...     

杨乐不等式的一个初等证明

杨乐不等式的一个初等证明１３００２３吉林大学数学系９３级教改班邓重阳我国著名数学家杨乐曾建立下列三角不等式设Ａ＞０，Ｂ＞０．Ａ＋Ｂ≤π０≤λ＜１．则有ＣＯＯＺＭ十ＣＯＳｕＢ一ＺＣＯＳＭＣＯＳ朋ＣＯＯ从）ＳｉｆｌＺＡＫ《中学数学）（苏州）９３年苇４期Ｐ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）９１１设点Ｍ是△ＡＢＣ的ＢＣ边的中点，Ｏ是内切圆的中心，ＡＨ是高，Ｅ为直线ＯＭ和ＡＨ的交点，求证：ＡＥ等于内切圆半径ｒ．证明如图，设Ｐ为内切圆与边ＢＣ的切点．连ＯＰ．设ＢＣ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、Ａ...     

三角形中一类线段的比

本文首先介绍三角形中的一个线段比定理．定理如图１,设Ｏ为△ＡＢＣ内一点,ＡＯ、ＢＯ、ＣＯ的延长线分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｐ、Ｑ、Ｒ,则ＡＯＯＰ＝ＡＲＲＢ＋ＡＱＱＣ,ＢＯＯＱ＝ＢＰＰＣ＋ＢＲＲＡ,ＣＯＯＲ＝ＣＰＰＢ＋ＣＱＱＡ．证明在△ＡＢＣ中,ＡＰ、Ｂ...     

一个角平分线不等式的加强

一个角平分线不等式的加强３５００１５福州二十四中杨学枝笔者在文［１］中曾给出以下定理设面△ＡＢＣ的三边长分别为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应的角平分线长分别为ｔａ、ｔａ、ｔｃ，则当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号．本文仍采用文［１］中...     

映射F_p:X→‖AXB-C‖_p~p的临界点的特征

对于Ｈｉｌｂｅｒｔ空间上有界线性算子Ａ、Ｂ、Ｃ,考虑了当Ａ有一个广义逆Ａ~－使得（ＡＡ~－）~＊＝ＡＡ~－,Ｂ有一个广义逆 Ｂ~－使得（Ｂ~－ Ｂ）～＊＝ Ｂ~－ Ｂ时,映射 Ｆ_ｐ： Ｘ→｜｜ＡＸＢ－ Ｃ｜｜_ｐ~ｐ临界点的特征的一般形式（１＜ ｐ＜∞）,推广了Ｐ．Ｊ．Ｍａｈａｒ的关于对ｐ＝ ２时的结果,并指出该定理可推广到多个算子的情形．     

矩阵方程AX + XB=0求解初探

一、矩阵方程ＡＸ＋ＸＢ＝０解的判定命题＝设Ａ、Ｂ均为ｎ阶方阵,则矩阵方程ＡＸ＋ＸＢ＝０（＊）与矩阵方程Ｑ·Ｙ＝０等价;其中ＹＴ＝（ｘ１１,ｘ１２,…,ｘ１ｎ,ｘ２１,…,ｘ２ｎ,,ｘｎ１,ｘｎｎ）证明设Ａ＝（ａｉｊ）,Ｂ＝（ｂｉｊ）,Ｘ＝（ｘｉｊ）均为ｎ阶方务,则（＊）式等价于由矩阵相等关系知（＊＊）等价于下列ｎ组线性方程组现在就第（１’）式进行讨论,将（１’）展开为用矩阵表示为（ａ１１Ｅ＋ＢＴａ１２Ｅａ１３Ｅ…ａ１ｎＥ）Ｙ＝０（１’）其中ＹＴ＝（ｘ１１ｘ１２…ｘ１ｎ,ｘ２１…ｘ２ｎ…ｘｎ１…ｘ…     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

对一个几何不等式猜想的证明

刘健老师在文［１］中曾提出了一个难度较大的几何不等式猜想，即Ｓｈｃ２７在锐角△ＡＢＣ中，证明或否定∑ｗｂｗｃｂｃ≥９４．（１）本文将证明（１）式成立．我们在文中约定如下符号：△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应边上的角平分线分别为ｗ...     

三维欧氏空间的Child不等式

三维欧氏空间的Ｃｈｉｌｄ不等式杨世国（安徽教育学院数学系２３００６１）１主要结果设△Ａ１Ａ２Ａ３内部任一点Ｐ到三角形各顶点之距离为Ｒｉ＝｜ＰＡｉ｜（ｉ＝１，２，３），点Ｐ到三角形各边之距离为ｒｉ＝（ｉ＝１，２，３），Ｊ．Ｍ．Ｃｈｉｌｄ获得下述一个重要...     

一类分式不等式的新证法

应用柯西不等式，容易得到如下不等式：设ａｉ，ｂｉ，ｃｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）则：∑ｎｉ＝１ｂｉｃｉ∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥∑ｎｉ＝１ａｉｃｉ２（＊）利用（＊）证明数学竞赛中型如：∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥Ｐ（＊＊）这类难度较大的分式不等式，只要恰当地选取ｃ...