f_(xy)(x_0,y_0)=f_(yx)(x_0,y_0)一个充分条件的介绍

一般高等数学教材中是这样给出二元函数二阶混合偏导数与求导次序无关的条件的：如果在点连续，则这个充分条件是可以减弱的，现介绍如下：定理如果在点（x。，y。）的某一邻域内，人（x，s）与人（x，，）都连续，且人（x，s）在（x。，y。）处连续，则几（x。，y。）存在，且人／X。，y）一九（X。，y）．证由偏导数的定义故只需证明（）、（2）两式右端之极限存在且相等。由于人（。，g）在（x。，g。）连续，从而由Lagrange中值定理有Q（｝1，足）一g（yo＋k）－g（yo）一kg’（yo＋0k），此处O＜「＜1．而／（y）一人（X。＋4，y）…     

关于二元函数累次极限和方向导数的两点注记

二元函数的极限、连续、编导数、全微分等是多元函数微分学中的重要概念，它们是一元函数相应概念的推广，但因为变量多了、动点趋向定点的方式也比较复杂了，故二元函数的这些概念与一元函数的相应概念既有相似之处，也有明显的不同之处。现仅就两个容易混淆的概念加两个附记。注记一，二重极限存在不能保证累次极限一定存在。两个累次极限都不存在。这说明重极限和累次极限是两个截然不同的极限过程。但我们有如下结论（证明从略）：定理设！imf（x，y）一A，二重极限存在，且设对于任意固定的y值都存在！imf（，二y）一机y）。则有！1m9…     

二元函数极限的求法

函数的极限是高等数学中非常重要的内容 ,关于一元函数的极限及其求法 ,各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的 ,两者之间既有联系又有区别。例如 ,在极限运算法则上 ,它们是一致的 ,但随着变量个数的增加 ,二元函数极限比一元函数极限变得复杂得多 ,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详细 ,使初学者感到不便掌握。为此 ,我们就有关问题讨论如下。一　二元函数的极限定义　设函数 f( x,y)在区域 D内有定义 ,P0 ( x0 ,y0 )是 D的内点 ,如果对于任意给定的正数ε,总存在正…     

注意二次函数图象性质的应用

若能对二次函数性质进行全面的认识，在解决与二次函数相关的问题，如函数值域、求解析式、一元二次方程根的限制条件等问题中，将会带来方便，或可避免繁杂的讨论．1注意转化为M次函数极值问题在解析几何或立体、三角中，往往遇到求在某一条件g（x，y）＝0限制下的函数极值，这类极值可通过转化或变量替换化为二次函数极值．。，，。。＿。Z；4＿。。＿。。。例IA为椭圆名十公一l上一点，B为圆（X一1）‘＋／＝1上任一点，求AB的最大值和最小值．解该题若设出A、B两点坐标，求DAB的最大、最小值较为困难．苦转化为到圆JI”、厂的昙十…     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…     

积分因子及其求法

微分方程：M（x，y）dx＋N（x，y）dy=0，若在单连通区域D内，M（x，y），N（x，y）有一阶连续偏导数，且满足则（1）为全微分方程，这时du=Mdx＋Ndy=0，得到（1）的通解为：u（x，y）=C。求全微分方程的通解，常用的有三种方法：1°，利用积分与路径无关，得出通解其中（X0，y0）是D内适当选定的点。2°，利用于得出通解”’”””如——”—”“”’a“””一”J””’”————叮3”，凑微方法。举例说明。＿。。。。＿＿，＿＿＿＿＿＿＿、吻，。。。、。一例1求微分方程（。osy＋cosx）甚一ysinx＋slny—0的通解。解将原方程改写…     

西北工业大学(1996—1997学年第1学期)高等数学试卷(A卷)

一、填空题（每小题3分，共9分，填错或不填均得零分）1．设厂（x）一g（x），则dfsin’x）2。。。。s。n手十。。s士。－；3·。f。x。－l。－In＿，。f。。。x。。－Inx，。。仁。x。dx－·二、选择题（每小题3分，共9分，选错或不选均得零分）1．设函数人X）在［O，1」上有产（X）＞0，且尸（0）20，则／（1），广（o），八1）一八0）或f（）一人1）的大小顺序是：（A）f（1）＞f（0）＞f（）一f（）；（）f（1）＞f（1）一f（）＞f（0）；（C）f（）一f（）＞广（l）＞广（0）；（D）f（l）＞f（）一f（）＞广（0）答：「j2·设ah＜…     

两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

复合函数定义域的求法

1．复合函数的定义 设u=g（x）是A到B的函数,y=f（u）是B’到C’上的函数,且B B’,当U取遍B中的元素时,Y取遍C（C C’）,那么y=f（g（x））就是A到C上的函数．     

某些积分所确定的函数的导数

设重积分的积分区域依赖于变量t的值，且此重积分定义一个t的可微函数：其中积分区域G；依赖于t的值。如何求F’（t）呢？下面我们举例说明。解这类问题可直接利用变限积分的导数公式，只要把括号内的积分当作一个函数人y）对形如（1），（2）的函数F（t），在求导时，可首先利用变量代换，把F（t）转化成票次积分，再利用例1的方法求F’（t）。例2已知jfx，y）连续，F（t）一if（，y）dxds，求F’（t）。x2小y＼ti解利用极坐标变换，得例3已知人U）连续，F（O一解利用球面坐标变换得：例4设人X）连续，G：0＜X＜h，X’＋F’（t）。解…     

用洛必达法则讨论二元函数极限的不存在

设二元函数f(x,y)的定义域为D,判定二元函数f(x,y)极限的不存在,往往采用下述二种方法:① 构造趋手P_0(x_0,y_0)的点列P_n(x_n,y_n)∈D,使得     

关于二元函数的全微分求积中积分路径的选取问题

在讨论格林公式应用时，我们知道，如果在单连通开区域C内，函数P（x，y）及Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且满足条件时，则微分式P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G内是某个二元函数u（x，y）的全微分式，即有原函数上式右端的曲线积分是与路径无关的。一般地说，可选取由起点M（x     

关于利用等价无穷小代换来求极限的探讨

一、利用等价无穷小代换来求极限的一些容易证明的定理定理1设无穷小量f（x）～（x），且limf（x）·g（x）存在，则这里，（1）无穷小量f（x）～（x），表示f（x）与（x）是当x→x0或x→∞时的等价无穷小；（2）limf（x）表示limf（x）或limf（x）．下同。定理2设无穷小量f（x）～（x），且存在，则由这二个定理可知，一般在乘或除的情况下是可用等价无穷小代换来求极限的。此外在幂指函数求极限中，也常利用等价无穷小代换，这有下面二个定理，这里只证后一个定理。定理3设八x）＞0，无穷小量g（x）～～（x），且tim八x）”“’存在，则定…     

对求一类函数值域常见错误的评析

在求y=的值域时，有一种特殊情形很易造成解答错误，这就是当有解时的情形，变即点P（m，n）在单位圆上时．错解1田原函数得很值域：y∈R．错解2由方能2式8锗解3接解2中Q一4（、了y—1）’＞0，＆yER（y4Jx）．综合（l）、（2）得原圄数的值图为：yER巨y一、了．利用数形结合可将问题转化为来革应圆＿－。＿＿＿＿＿．IJM、、。＿＿＿＿上的初点与定点P（一步，斗上）连线科率的＿＿＿＿＿＿．IJ3、＿＿＿＿，＿取值范围．因P（一会，并广）在革应圆上，故＿。。＿＿、＿＿＿．IJi、＿＿＿＿＿＿函数值除过点P（一台，并广）的圆的…     

直线与二次曲线相关的一个命题

命题 设直线l：f（x,y）=0与二次曲线g（x,y）=0交于不同的两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由{f（x,y）=0 g（x,y）=0,分别消去y,x得v（x）=0,v（y）=0（使u（x）,v（y）的二次项系数相等）,则以线段AB为走私的圆的方程为：u（x）＋v（y）=0.     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

关于曲线,曲面积分对称性的应用初探

在一元函数定积分和多元函数重积分计算中，对称区间或对称区域上奇偶函数的良好性质将大大简化其运算，在曲线、曲面积分中，奇偶函数在对称曲线、曲面上也具有这些良好性质。命题一设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，而人X，火是L上的连续函数，那么门）若f（x，－y）＝f（x，y），则，其中L1是L在上半平面的部分；（2）若f（x，－y）＝-f（x，y），则证设。。。…I，。，x。。。，。f。x，。。－，。。。。。。，…。。。－。l。ds－0命题二设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，L在上半平面的走向与在下半平面的走向相反，而人工，／在L…     

高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

从L’Hospital法则失效想到的

大家都很熟悉L’Hospital法则，其叙述和证明如下：设f（x）和F（x）满足如下条件：（2）在点的某空心邻域O＜|x－a|＜σ内，f（x）与F’（x）存在，且f’（x）≠0．证明因为x→a时，f（x），F（x）的极限与在x=a处的值没有关系，因此我们定义f（a）=F（a）=O，则应用Cauchy中值定理，可得：当x→a时，由于介于x和a之间，所以，故由条件（3）得从这个证明过程中，我们不容易发现在不存在（不包括无穷大）时，为什么L’Hospital法则就不能用？定义设x→a，5介于x和a之间，则称liing（Z）为x、a时g（x）的子极限。从I，Uospital法则的证…     

关于二元函数可微性的判定

欲判定二元函数f（x，y）在一点处的可做性，首先要搞清可微性以及可微与连续、偏导数存在及偏导数连续等特性之间的相互关系，可用框图表示如下：其中记号“A一B”表示“A可以推出B”或“A蕴涵B”；记号“A～B”表示“由A不能推出B”或“A不蕴涵B”。因此，通常检查一个函数是否可微，先看它是否连续，如不连续，则不可做。例1讨论函数在（0，0）处的可微性。＿＿I，工y卜天又是、。。，。。。，，。、、。，。。解：因h平上六一timdri一／七，其值因k而异，极限limf（，y）不存在，所—”一；GH“＋v‘二二台（十人旬又‘1十月’，…