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《数学通报》2001,(6)
20 0 1年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 1 ＡＢ是⊙Ｏ非直径的弦 ,半径ＯＣ ⊥ＡＢ于Ｍ ,Ｄ是ＯＢ的中点 ,Ｅ在劣弧ＢＣ上 ,且∠ＡＥＤ =∠ＡＣＯ ,ＡＥ交ＣＢ于Ｆ ,交ＣＯ于Ｎ .求证 :Ｓ△ＦＣＮＳ△ＤＭＯ =ＣＮＭＯ.(重庆市合川太和中学 陈开龙 40 1 555)证明 如图 ,延长ＣＯ交⊙Ｏ于Ｐ ,连结ＥＰ ,ＦＤ .∵ＣＰ是直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,∴ＡＰ =ＢＰ ,故∠ 1 =∠ 2 ,ＡＣ =ＢＣ .∵∠ＡＥＤ =∠ＡＣＰ ,又∠ＡＥＰ =∠ＡＣＰ ,∴∠ＡＥＤ =∠ＡＥＰ ,即Ｅ ,Ｄ ,Ｐ三点共线 .∵ＯＢ =ＯＣ ,∴∠ 3=∠ 2 ∠ＯＢＣ =2∠ 2 … 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同… 相似文献
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20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96 ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明 不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠… 相似文献
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20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6 Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学 金旗 2 42 40 0 )图 1引理 如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解 如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ… 相似文献
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20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96 ⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆 .Ｄ、Ｅ、Ｆ是ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点 ,ＤＤ′、ＥＥ′、ＦＦ′都是⊙Ｏ的直径 .求证 :直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点 .(安徽省怀宁江镇中学 黄金福 2 461 42 )证明 设直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′.过Ｄ′作⊙Ｏ切线交ＡＢ、ＡＣ于Ｍ、Ｎ显然ＭＮ ∥ＢＣ △ＡＭＤ′∽△ＡＢＡ′,△ＡＤ′Ｎ ∽△ＡＡ′Ｃ . ＭＤ′ＢＡ′ =ＡＤ′ＡＡ′ =Ｄ′ＮＡ′Ｃ ＢＡ′Ａ′Ｃ =ＭＤ′Ｄ′Ｎ①连结ＯＭ、ＯＮ .记⊙Ｏ半径… 相似文献
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《数学通报》2002,(5)
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平 2 1 5 0 0 6)证明 设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△… 相似文献
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2002年全国初中数学竞赛中有这样一道几何题 :△ＡＢＣ内 ,∠ＢＡＣ =6 0° ,∠ＡＣＢ =40° ,Ｐ、Ｑ分别在ＢＣ、ＣＡ上 ,并且ＡＰ、ＢＱ分别是∠ＢＡＣ、ＡＢＣ的角平分线 .求证 :ＢＱ +ＡＱ =ＡＢ +ＢＰ .下面给出它的几种证法 .图 1证法 1 延长ＡＢ到Ｄ ,使ＢＤ =ＢＰ ,连结ＤＰ(如图 1 ) ,则∠Ｄ =∠ＢＰＤ .∵ ∠ＡＢＣ =1 80°-(∠ＢＡＣ +∠ＡＣＢ) =80° ,∴ ∠Ｄ =∠ＢＰＤ=40° ,∴ ∠Ｃ =∠Ｄ .∵ ∠ 1 =∠ 2 , ＡＰ =ＡＰ ,∴ △ＡＣＰ≌△ＡＤＰ ,∴ ＡＣ =ＡＤ ,即ＡＱ +ＣＱ =ＡＢ +ＢＤ .又∵ ∠ 3=12 ∠ＡＢＣ =… 相似文献
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20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6 已知 :ＡＤＣＥ为半圆 (如图 ) ,Ｂ为直径ＡＥ上一点 ,Ｆ在ＡＣ上 ,ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,ＢＥ=ＨＧ ,ＡＬ∥ＦＧ .求证 :ＫＢ ⊥ＡＣ证明 因为ＡＤＣＥ为半圆 ,所以∠ＡＤＥ=∠ＦＣＧ =90° .在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＦＣＧ中 ,因为ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,所以△ＡＤＥ≌△ＦＣＧ .所以ＡＥ =ＦＧ .又ＢＥ =ＨＧ ,所以ＡＢ =ＦＨ因为ＡＬ∥ＦＧ ,所以 ＡＫＦＨ =ＣＫＣＨ =ＫＬＨＧ.所以 ＡＫＫＬ =ＦＨＨＧ,所以 ＡＫＫＬ =ＡＢＢＥ,所以ＫＢ∥ＬＣ .又因为ＬＣ⊥ＡＣ ,所以… 相似文献
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用三角法研究几何竞赛题,常可使题中各量之间的关系变得直接明了;可把几何变换和复杂的演绎推理转化为三角函数的运算,方法简单,思路清晰.沟通几何与三角的关系,除了直接利用三角函数的定义和有关的三角公式外,主要借助于正弦定理和余弦定理.例1 (1996年全国高中联赛试题)⊙Ｏ1与⊙Ｏ2和△ＡＢＣ的三边所在的三条直线都相切,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ为切点,并且ＥＧ,ＦＨ的延长线交于Ｐ点.求证:ＰＡ⊥ＢＣ.证 如图1,延长ＰＡ交ＢＣ于Ｄ,连Ｏ1Ａ,Ｏ1Ｅ,Ｏ1Ｇ,Ｏ2Ａ,Ｏ2Ｆ,Ｏ2Ｈ,则ＥＤＤＦ=Ｓ△ＰＥＤＳ△ＰＦＤ=ＰＥｓｉｎ∠1ＰＦｓｉｎ∠2.在△ＰＥＦ… 相似文献
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20 0 2年全国初中数学竞赛第 1 4题为一道平面几何题 :如图 ,圆内接六边形ＡＢＣＤＥＦ满足ＡＢ =ＣＤ=ＥＦ ,且对角线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于一点Ｑ .设ＡＤ与ＣＥ的交点为Ｐ .求证 :( 1 ) ＱＤＥＤ =ＡＣＥＣ;( 2 ) ＣＰＰＥ=ＡＣ2ＣＥ2 .这是一道以布洛卡点的有关性质为背景(见约翰逊著 ,单土尊译 .《近代欧氏几何学》上海教育出版社 1 999年 ,Ｐ2 36)改编的好题 .经研究 ,我们获得了结论 ( 2 )的如下两种另证 :另证一 由ＡＢ =ＣＤ ,知ＡＢＣ =ＢＣＤ ,故∠ＱＤＣ =∠ＤＥＱ ;由ＣＤ =ＥＦ ,知ＤＥ∥ＣＦ ,故∠ＣＱＤ =∠ＱＤＥ .所以 … 相似文献
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《数学通报》2002,(4)
20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361 如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和… 相似文献
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1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ ,在ＣＤ上取一点Ｅ ,ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ ,延长ＤＦ交ＢＣ于Ｇ .求证 :∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .证明 如图 1,连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ点 ,在△ＢＣＤ中运用塞瓦定理ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ&;#183;ＤＯＯＢ =1,∴ ＯＢＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.又∵ ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,∴ ＡＢＡＤ =ＢＯＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.图 1 图 2设∠ＧＡＣ =α ,∠ＥＡＣ =β ,则∠ＢＡＧ =Ａ2 -α ,∠ＤＡＥ =Ａ2 -β ,由相似三角形比的性质有 ＢＧＧＣ =ＡＢｓｉｎ( Ａ2 -α)ＡＣｓｉｎα , ＣＥＥＤ =ＡＣ&;#183;ｓｉｎβＡＤｓｉｎ( Ａ2 -β),代入上式得到ｓｉｎ( Ａ2 -α) &;#183;ｓｉｎβ=ｓｉｎα&;#183;ｓｉｎ( Ａ2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得ｓｉｎ(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴ α=β ,即是 ∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .它的空间形式如图 2 :在四面体ＡＢＣＤ中 ,∠ＢＡＣ =∠ＤＡＣ ,ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,Ｅ是ＣＤ边上任一点 ,连结ＢＥ交... 相似文献
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题 1 在锐角三角形ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1 证法 1图证 [方法 1] 设△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ(由于△ＡＢＣ为锐角三角形 ,Ｏ在△ＡＢＣ内部 ) ,设其直径为 1,连结ＡＯ ,ＢＯ ,ＣＯ并延长交⊙Ｏ分别于Ｄ ,Ｅ ,Ｆ .顺次连结Ａ ,Ｆ ,Ｂ ,Ｄ ,Ｃ ,Ｅ ,Ａ .设△ＡＢＣ三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ.∠ＢＡＣ ,∠ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ简记为∠Ａ ,∠Ｂ ,∠Ｃ .∵∠Ａ =∠ＢＥＣ ,在Ｒｔ△ＢＥＣ中 ,ｓｉｎ∠ＢＥＣ =ａ ,ｃｏｓ… 相似文献
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角平分线在几何题中经常出现 .熟悉角平分线的处理方法是解决与角平分线有关问题的关键 .本文仅以 2 0 0 2年两道竞赛题的多种证法为例 ,说明角平分线的运用技巧 .一、用角平分线的定义图 1如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,∠ＡＣＢ的平分线ＣＤ和∠ＡＢＣ的平分线ＢＥ交于点Ｇ .求证 :ＧＥ =ＧＤ .( 2 0 0 2年重庆市初中数学决赛试卷Ｂ卷 )证明 连结ＡＧ .∵ 角平分线ＢＥ、ＣＤ交于Ｇ ,∴ ＡＧ是∠ＣＡＢ的平分线 .又 ∠ＣＡＢ =6 0°,∴∠ 3 =∠ 1 +∠ 2 =12 ( 1 80°-6 0°) =6 0°.∴ ∠ＤＧＥ =1 2 0°.故 ∠ＣＡＢ +∠ＤＧＥ … 相似文献
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文 [1]给出结论 :在正四棱锥中 ,设侧面与底面所成的二面角为α ,相邻两侧面所成的二面角为 β ,则ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α .图 1 (1)式证明用图事实上 ,由ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α可化为 2ｃｏｓ2 β2 - 1=-ｃｏｓ2 α ,所以 2ｃｏｓ2 β2 =ｓｉｎ2 α ,进而化为ｃｏｓ β2 =ｃｏｓ π4 ｓｉｎα (1)证明 如图 1,正棱锥的高为ＰＯ ,ＰＦ为斜高 ,则∠ＰＦＯ =α .设∠ＡＥＣ为侧面ＰＡＢ与侧面ＰＢＣ所成的二面角 ,即∠ＡＥＣ =β .由正棱锥的特性 ,ＯＥ平分∠ＡＥＣ ,那么ｃｏｓ β2 =ＯＥＡＥ=12 ＰＢ·ＰＯ12 ＰＢ·ＡＥ=Ｓ△ＰＯＢＳ△… 相似文献
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浅谈平行弦在证题中的作用 总被引：1，自引：1，他引：0
在圆中 ,由于借助平行法可以传递同圆中的弧 ,弦及圆周角等有关几何量之间的数量关系 ,因而在解决一些与平行弦有关的几何命题时 ,往往可以通过构造平行弦而获得证题思路 ,效果十分明显 ,下面分类举例说明平行弦在证题中的应用 .供读者参考 .1 证弧的倍分关系例 1 已知 :如图 ,ＡＢ是⊙ｏ的直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,在ＡＣ⌒ 上取一点Ｄ ,过Ｄ作弦ＤＥ交ＯＣ于点Ｆ ,且ＤＦ=ＯＤ ,求证 :ＢＥ⌒ =3ＡＤ⌒ .证明 过Ｄ作ＤＧ∥ＡＢ交⊙ｏ于Ｇ ,连结ＯＥ、ＯＧ .因ＤＧ ∥ＡＢ ,故ＡＤ⌒ =ＢＧ⌒故∠ＡＯＤ =∠ＢＯＧ 又因ＤＧ∥ＡＢ ,故∠ＡＯ… 相似文献
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一、问题的提出已知 :直三棱柱Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 -ＡＢＣ ,ＡＢ =ＡＣ =ＡＡ1 且Ａ1 Ｂ与ＡＣ1 所成的角为 6 0° ,则∠ＣＡＢ的度数为 ( ) .(Ａ) 30° (Ｂ) 6 0°(Ｃ) 90° (Ｄ) 4 5°一位高三教师找到我 ,说这道题用补形法补成正方体 ,很易解答 ,选 (Ｃ) ,但有的学生提出 :如图分别取Ａ1 Ｂ1 ,Ａ1 Ａ ,Ａ1 Ｃ1 ,ＡＢ之中点Ｍ、Ｅ、Ｆ、Ｇ .连接ＥＧ、ＥＦ ,则由题给条件易知∠ＧＥＦ =6 0° ,若设ＡＢ =ＡＣ =ＡＡ1 =1,则ＥＦ =ＥＧ =22 ,∴ＧＦ= 22 ,但这样在Ｒｔ△ＧＭＦ中直角边ＧＭ =Ａ1 Ａ =1就会大于斜边ＧＦ =22 .究竟错在哪里 … 相似文献
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立体几何是研究空间图形的性质的一门学科,在处理线线、线面、面面的位置关系时,常要用到三角的有关知识来解决.1 三角函数性质的应用例1 (北京市高一数学竞赛,1993)在三棱锥ＡＢＣＤ中,∠ＤＡＢ ∠ＢＡＣ ∠ＤＡＣ=90°,∠ＡＤＢ=∠ＢＤＣ=∠ＡＤＣ=90°,若ｃｏｓ70°=0.3420.试证:二面角ＡＢＣＤ的度数大于70°.证 如图,设ＤＢ=ａ,ＤＣ=ｂ,ＤＡ=ｘ.图1 例1图 图2 例1展开图剪开ＤＡ,ＤＢ,ＤＣ展开在平面上,则∠Ｄ1ＡＤ2=90°,Ｄ1Ａ=Ｄ2Ａ=ｘ,延长Ｄ1Ｂ,Ｄ2Ｃ交于Ｋ,则ＡＤ1ＫＤ2为正方形.ＢＫ=ｘ-ａ,ＣＫ=ｘ-ｂ,ＢＣ=ａ2 ｂ2,由… 相似文献
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关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1 设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明 如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故 ∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得 △′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ … 相似文献