张景中院士讲数学 学了就要用

——用正弦性质解题下面这些题目你在几何课上可能都学过 .现在用另一种方法解决它 ,好像从一条新路游览你熟悉的公园 ,既亲切 ,又新鲜 .例 1　已知△ABC中 ,AB =AC .求证 :∠B =∠C .证明　由面积公式有AB·BCsinB =2△ABC =BC·CAsinC .由AB =AC ,得sinB =sinC .由正弦性质可知∠B与∠C相等或互补 ,但因∠B +∠C=180° -∠A <180° ,故∠B =∠C .(用了正弦性质 6)例 2　已知△ABC中∠A >∠B .求证 :BC >AC .证明　由面积公式得AB·ACsinA =2△ABC =AB·BCsinB ,∴　 ACBC=sinBsinA<1.(这用到正弦性质 3 )∴　BC…     

一道课本例题的引申及其应用

现行初三《几何》教科书 (人教版 )P79有一道例题 :例 1　如图 ( 1 ) .AD是△ABC的高 ,AE是△ABC的外接圆直径 .求证 :AB·AC =AE·AD .证明 :连结BE .∵∠ADC =∠ABE =90° ,　∠C =∠E ,∴△ABE∽△ADC .∴ AEAC=ABAD.∴AB·AC =AE·AD .此题揭示了三角形的一条重要性质 :三角形的两边的积等于第三边的高与其外接圆直径的积 .它为我们提供了一个很好的研究素材 .将其引申推广如下 :如果D点在线段BC上 ,点E在BC上运动 ,但仍保持∠BAE =∠DAC ,那么在这运动过程中△ABE与△ADC相似仍成立 .于是 ,仍有 :AB·AC…     

ab=2R·h_c

初中几何第二册P_(85)例1:已知AD是锐角△ABC的高,AE是△AEC外接圆直径,求证:AB·AC=AD·AE。不难证明△ABC为任意三角形时结论亦成立。于是得到一般的结论:三角形任两边之积等于第三边上的高与外接圆直径的乘积。用式于可写成:ab=2R·hc,bc=2R·h_,ca=2R·h_b。在直角三角形中则为ab=chc(c为斜边)。下面举例说明这一公式的应用。例1 已知Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,斜边AB上的高为h,求证:     

数学诡辩

已知:△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°。证明:如图,在BC上任取一点D,连AD。设三角形三内角和的度数为x,则△ABD中,∠1+∠3+∠B=x。△ACD中,∠2+∠4+∠C=x,上两式相加得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=2x。但∠1+∠2+∠B+∠C=x,∠3+∠4=180°,∴x+180°=2x x=180°,即∠A+∠B+∠C=180°。证毕。这岂不比教材上的证法简单明了吗?其实这种证法错了!错在哪里?     

几何一题多解

<正>题目在△ABC中,BD平分∠ABC,E为△ABC外一点,且∠EAB+∠ACB=180°,AE=DC.求证:EF=DF.一、利用截长构造全等三角形方法一在线段BA上截取一点H,使得BC=BH,连结DH.根据BD平分∠ABC以及辅助线,易证△BHD≌△BCD (SAS),所以     

对两道三角形题错解的剖析

题目 1　在△ABC中 ,已知AC =2 ,AB =6 + 22 ,∠A =6 0° ,求∠C .错解 :在△ABC中 ,由余弦定理 ,得BC2 =AC2 +AB2 - 2AC·AB·cosA ,代入数据 ,得BC2 =3,∴BC =3.再由正弦定理 ,得sinC =AB·sinABC ,代入数据 ,得sinC =6 + 24 .又由AB =6 + 22 >3=BC ,知∠C >∠A ,∴∠ 6 0° <∠C <1 2 0° ,∴∠C =75°或1 0 5° .剖析　本题中由于 6 + 22 > ,即AB >BC >AC ,故∠C为最大角 ,它可能为锐角、直角或钝角 (这里不可能为直角 ) .而由sinC =6 + 24 知∠C似乎应有两解 ,而题设条件是三角形中已知两边及其夹角 ,这样的三角…     

证线段二次等式的几种基本方法

在平面几何里,求证形如ab±cd=ef的线段二次等式,是常见的但又比较困难的问题。本文归纳出八种基本证法,并用一例说明之。对开拓思路,从多角度联想,或有裨益。题:在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,求证:AD~2=AB·AC-BD·CD。一拆项、相似法要点:将e(或f)拆为m±n两段,通过造两组相似三角形证得ab=fm,cd=fn即可。本题将AD分成两段之差AD=AE-DE.即需证AD·AE=AB·AC,AD·DE=BD·CD;     

由射影定理产生的联想

射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。     

构造双直角三角形解题

在解直角三角形中,有一种常见的双直角三角形,求解这类问题往往要通过解二次直角三角形,我们先来看一个公式: 已知Rt△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=α,∠ADC=β,BD=a,求AC. 解 在Rt△ABC中,∵cotα=BC/AC, ∴BC=AC·cotα.在Rt△ADC中,∵cotβ=DC/AC,∴DC=AC·cotβ.而BC-DC=AC·cotα-AC·cotβ=     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

(一)用高线的位置判定三角形的形状

锐角三角形的三条高线都在三角形的内部,反之亦然。对于后者,可作为判定锐三角形的一条定理。用它来解决下面的出自《立几》教材的一道习题,比其他方法要简捷得多。题:三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°。求证△ABC是锐角三角形。证:作rt△BVC的斜边BC上的高VD,显然VD在△BVC的内部,从而D在BC上。连AD,则AD在△ABC内,由三垂线定理得AD⊥bC,即AD为△ABC的BC上的高,因此∠ABC,∠ACB都为锐角,同理∠BAC也为锐角故△ABC为锐角三角形。     

等腰三角形的两种证法

<正>题目如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一点,若∠BAP=∠CAQ,则△ABC是等腰三角形.思路1由BP=CQ,A为BC外一点,尝试通过作辅助线(高)建立∠BAP、∠CAQ与三角形面积之间的联系,再由BP=CQ联想到BQ=CP,由S_(△BAP)=S_(△CAQ)联想到S_(△BAQ)=S_(△CAP),尝试两次运用"等底等高三角形的面积相等"来解决问题.     

三角形面积公式的推广及应用

<正>三角形面积的推广公式,如图1,在△ABC中,P是直线BC上任意一点,记∠APC=α,则S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.证明作AD丄BC于点D,于是S_(△ABC)=1/2 BC·AD①,在Rt△APD中,AD=APsinα,代入①得S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.注图1中,若P点与B或C点重合,显     

初中数学竞赛试题选讲(续完)

三、正弦定理和余弦定理的应用关于三角形边与角的等量及不等量的关系,三角形的形状以及几何量的计算等方面题,常用正弦定理、余弦定理及面积公式S=(1/2)absinC求解。例10 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边如果accosA bccosB<4S,其中S为△ABC的面积,求证△ABC是锐角三角形, 因c是最大边,故∠C是最大角,所以只要能证明∠C是锐角,命题即得证,而为此又只要证明cosC>0即可。这就使我们想到从余弦定理入手解题。由余弦定理及三角形面积公式,题设不等     

三角形内角和定理的证明

同学们都已经知道三角形的内角和为180° ,但你是否想过除了课本的证明方法外 ,还有没有其它的证明方法呢 ?下面我们就来探讨三角形内角和定理的多种证明方法 .已知△ABC ,求证 :∠A +∠B +∠C=180° .证明一　常见的证法 ,过点C作CE∥AB ,延长BC至D ,则∠A +∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 +∠ACB=180° .证明二　过点C作DE∥AB ,易知　∠A =∠ 1,∠B =∠ 2 .∵　∠ 1+∠ 2 +∠ACB =180° ,∴　∠A +∠B +∠C =180° .证明三　过点C作CD∥AB ,易知　∠A =∠ 1,∵　∠ 1+∠ACB+∠B =180°(两直线平行 ,同旁内角互补 ) ,∴　∠A +∠B…     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

数学问題解答

下面的问题,提供读者解答,但答案不必寄来,本期问题答案将在下期发表。欢迎读者提供适合中学数学水平的问题及其解答,来稿请寄北京师范大学数学通报编辑部问题解答栏。 1982年7月号问题解答(解答由问题提供入给出) 181.设△ABC为任意三角形,分别以BC、BA为一直角边,皆以B为直角顶点,同向△ABC的内侧作等腰直角三角形PBC与QBA。试证 PA⊥QC 证明:考虑∠B(?)90°的情况(∠B=90°时命题显然成立。) 如图所示,由题意知PB=BC,∠PBC=90°,QB=BA,∠QBA=90°,则∠CBQ=90°-∠ABC或     

利用中位线解题

精选妙题如图1所示,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC,M为BC的中点。求证:AB=2DM。常规策略我们可以AD所在直线为对称轴把△ADC沿AD翻折,利用全等三角形和等腰三角形的性质去解决问题。     

对一道国际竞赛题的讨论

已知:圆O经过△ABC的顶点A、C,分别与AB、BC交于K、N,△ABC和△KBN的外接圆相交于点B.M,证明∠OMB=90°(二十六届国际奥林匹克竞赛题)。略证一:由于三个圆的圆心不共线,三公共弦共点于P(为么什?),则∠PMN=∠BKN=∠NCA,因此PMNC四点共圆,由此得: BM·BP=BN·BC=BO~2-r~2 PM·PB=Pn·PK=PO~2-r~2(为什么?)其中r是△ACK的外接圆半径。则FO~2-EC~2=BP(PM-BM)=PM~2-BM~2,所以O⊥LBP,∠ONB=90°。     

数学问题解答

20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 1　O为锐角△ABC的外心 ,AP⊥BC于P ,O到BC的距离为d ,且CO=2d ,∠ACO =∠ABC ,求证 :∠COP <30°.(四川荞窝农场宣教科　王承宣　 61 5 30 2 )证明　如图 ,设K、Q为点A、P关于BC垂直平分线的对称点 ,则OA =OB =OC =OK ,OP=OQ .因为四边形KQPA为矩形 ,所以PQ=KA .因为OC =2d ,所以∠OCQ=30° .又因为∠AOK=∠AOB -∠KOB =∠AOB -∠AOC =2 (∠ACO + 30°) - 2∠ABC =60° ,所以KA =QP=OK=OC ,因为OP+OC=OQ +OC>QC=PQ +PC ,所以OP>PC ,所以∠PO…