求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

由数列的递推公式求通项的常用方法

由数列的递推公式求通项公式问题比较复杂,题型很多,方法很多,学生不易掌握.但常用的方法是利用待定系数、换元将递推数列问题转化为等差、等比数列问题来解决.一、递推公式是两项或三项线性关系的求法例1 已知数列{a_n}中,a_1=-1/2,且a_(n+1)=1/2a_(n+1),求 a_n.分析:此类型题,可有效地引入一个辅助未知数r,构成一个新的等比数列来解.     

简而有力的累加法求数列通项

<正>在数列的学习过程中,经常遇到求数列的通项公式,在求解通项公式时,我们会根据递推式的结构特征选择求通项的方法,经常使用的方法有累加法、累乘法、迭代法和待定系数法等.对于递推关系式满足a_(n+1)-a_n=f(n)可由累加法求数列{a_n}的通项公式,     

递推数列的通项公式求解方法探究

<正>根据数列所满足的递推关系,用累加或累乘的方法求出通项公式;或用转化与化归的数学思想及方程的思想构造出新的等差或等比数列,通过求得新数列的通项公式进而求出递推数列的通项公式.1.型如an+1=an+f(n)可作差累加求通项.若递推公式为a_(n+1)=a_n+f(n)型,则只需将原递推公式化为a_(n+1)-a_n=f(n),再以累加法可知a_n-a_1=g(n),于是a_n=a_1+g(n).     

数列问题的解法与背景探析

<正>题目(2013年广东省高考理科数学第19题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2S_n/n=a_(n+1)-1/3n²-n-2/3,n∈N2-n-2/3,n∈N^*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a_1+1/a_2+…+1/a_n<7/4.本题考查了递推公式、等差数列的概念、通项公式、裂项相消法求数列的前n项和、放缩法证明不等式等知识.要求a2,需要建立关于a2的方程,考查了方程思想.要求数列的通     

关于Sk=1+2k+3k+…+nk的探究

1.递推公式由二项展开式得对i求和上式左边可化为(n+1)k+1-1+Sk+1,从而有(1)由(1)式得递推公式     

用“拆项法”求数列的通项公式

求数列通项公式的常用方法,很多数学刊物都作过介绍,本文就一类特殊数列,介绍一种求通项公式的方法——拆项法。先引入“子数列”的概念: 设数列{a_n},若有a＇_i+b＇_i=a_i(i=1,2,…),则称数列{a＇_n}和{b＇_n}为数列{a_n}的子数列,且有关系a_n=a＇_n+b＇_n。①一般地,若有a＇_i+b＇_i+…+S＇_i=a_i(i=1,2,…),则称数列{a＇_n},{b＇_n},…,{S＇_n}为数列{a_n}的子数列,且有关系 a_n=a＇_n+b＇_n++…+S＇_n ②因此,求一个数列的通项公式,可将这个数列“拆”成若干个子数列,先求出它的子数列的通项公式,然后由关系①或②而得到这个数列的通项公式。现举数例说明。     

利用函数不动点求数列的通项公式

递推公式是给定数列的一种重要的方式,已知数列的前,n项和递推公式求数列通项公式的试题在数学高考和竞赛中也屡见不鲜.     

数列

本单元知识点及重要方法本单元知识点是数列的概念、数列的通项公式及递推公式 .重点是等差数列与等比数列的概念、通项公式及其前ｎ项和公式 .利用数列的前几项归纳该数列的一个通项公式 ;根据数列的递推公式求出数列的前几项 ;运用等差数列与等比数列的通项公式、前ｎ项和公式 :①知三求二 ;②将其它数列转化为等差数列或等比数列求其通项与前ｎ项和 ;根据数列的通项ａｎ 与前ｎ项和Ｓｎ 的关系 :ａ1 =Ｓ1 且ａｎ=Ｓｎ-Ｓｎ- 1 (ｎ≥ 2 )解决数列有关问题 ;运用倒序相加、错位相减、裂项等技巧求数列的前ｎ项和 .练习选择题1　已知数列 1 …     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…     

递推数列求通项大观

数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,因此经常渗透在高考试题和竞赛中.本文对几类常见的递推数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.类型 1　由an与Sn给出的数列递推关系,可利用an与Sn的关系求通项此类题一般不直接给出数列 {an}中an+1与an的递推式,而给出Sn与Sn-1或Sn与an的递推式,这时要用an+1 =Sn+1 -Sn(n∈N* ),转化为an+1与an的递推式.例 1　设数列 {an}的首项a1 =1,前n项和Sn满足关…     

有趣的总合号

<正>在学习数学时,如统计、数列或微积分中经常遇到若干数(或单项式)相加的式子a_1+a_2+…+a_n,为了书写方便,常把上式记作n∑(i=1)a_i或∑(1≤i≤n)a_i,即a_1+a_2+…+a_n=n∑ (i=1)a_i=∑(1≤i≤n)a_i.上面式中的记号∑表示关于数连加求和,称为总和号,∑是一个大写的希腊字母,读作sigma,a_i表示一般项,i是整数,称为求和     

巧用递推关系求数列通项公式

<正>数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化规律,而且有利于求数列前n项和.而利用递推关系求数列的通项公式又是数列的核心问题之一.因此,本文通过举例来介绍几种常用的求法.1.辅助数列法利用数列的递推关系,构造一个新的数列     

从递归公式求通项说起

<正>如果数列{a_n}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做该数列的递推公式.用递推公式表示的数列叫递推数列.递推数列是高中数学数列综合题常用的载体,而尤以"a_(n+1)=pa_n+q(p≠1,q≠0)"最为常见.本文从该类问题的基本类型说起,层层递进,或许您能从中窥见一斑.     

唇齿相依的an与Sn

从所周知,如何由数列|an|的递推关系式求数列的通项公式an,如何由数列的通项公式an求数列的前n项和公式Sn是<数列>这一章中我们要解决的两大基本问题,当已知数列的前n项和公式Sn时,则通过an={S1=(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),很容易求得数列通项公式an,an与Sn可谓"唇齿相依";在高考与竞赛中还时常出现由an与Sn的关系式,求数列的通项公式的问题,本文通过一个典型题目的多种解法,介绍解决这类问题的几何常用策略,供大家参考.……     

构造常数数列求通项

<正>在数列{b_n}中,若b_n+1=b_n(n∈N﹡),则数列{b_n}为常数数列,其通项公式是b_n=b_1,在求某些递推数列的通项公式时,若能构造出一个新的常数数列,便能简便的求得通项公式.1.我们知道等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d,我们可以用构造常数数列的方法求这个通项公式.     

用整数函数求一类递推数列前n项和

<正>问题设数列{a_n}的前m项为a₁,a₂,…,a_m,且a₍n+m₌a_n+d（n=1,2,…）,d为非零常数,求数列{a_n}的前n项之和S_n.这类递推数列的求和问题,是求递推数列前n项和中难度最大的问题.为此,本文以实例来说明它的求     

用合分比定理求一类递推数列的通项公式

大家知道,求非线性递推数列的通项公式是比较困难的,没有一般的方法。本文利用合分比定理来求某些非线性递推数列的通项公式,列举以下几个例题。例1 已知数列{a_n}的a_1=2。并且求这个数列的通项公式。分析:我们来观察递推公式的右边,分子与分母的和是(a_(n-1)+1)~2,而分子与分母的差是(a_(n-1)-1)~2,因此,对于具有这种特点的递推公式,我们可以利用合分比定理来求这个数列的通项公式。解:将递推公式写成     

试题研讨(4)

题 1　已知数列 {an}前 n项和为 Sn,若 a1= 2 ,nan 1=Sn n( n 1 ) .( 1 )求数列 {an}的通项公式 ;( 2 )令 Tn =Sn2 n,1当 n为何值时 ,Tn>Tn 1( n∈ N ) ?2若对一切正整数 n,总有 Tn ≤ m,求 m的取值范围 .( 2 0 0 2年苏州市模拟考试题 )命题溯源　求数列的通项公式是数列知识的重要问题 .1 983年高考题中首次出现由递推数列求通项公式的问题 ,连考了三年 ,当时形成了一个热潮 .多年来两类求数列通项公式的问题是常考常新 .一类是已知f ( an,Sn) =0求数列通项 an;另一类是与不等式相关的数列综合题 ,如 1 998年全国高考试卷末题 ,…     

2005年全国各地高考与模拟数学试题评析——数列与极限

1考点与命题 1．1客观题考点分析 1．1．1考查数列的概念 一般是先给出数列的递推公式，然后求数列的通项或前n项的和；或者研究新定义下数列项的特征等等．