由相交弦定理、切(割)线定理想到的

大家知道,平面几何中有如下定理:1.相交弦定理过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两条线段长的乘积相等.2.切割线定理从圆外一点向圆引切线和任一割线,切线长的平方等于割线与它在圆外部分的乘积.     

谈谈“和圆有关的比例线段”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各省市中招考试必考的重要知识 ,尤其是“和圆有关的比例线段”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .和圆有关的比例线段 ,知识点多 ,综合性强 ,题型广泛 ,方法灵活 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要给予高度重视 .以下谈谈“和圆有关的比例线段”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者阅读参考 .一、熟练掌握相关定理及推论1.相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 .如图 1,弦AB ,CD相交于P点 ,则有PA·PB =PC·PD .2 .相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相…     

圆幂定理与运动不变量

圆幂定理与运动不变量１０００２０北京市朝阳区中学教研室郭璋在中学平面几何课本中，把圆幂定理分为相交弦定理与切割线定理叙述．相交弦定理：圆的弦相交于圆内一点，各弦被这点内分（分点在线段内）成的两线段的乘积相等．切割线定理：圆的弦相交于圆外一点，各弦被这...     

高明的演员——相交弦定理

和圆有关的比例线段中,有相交弦定理与推论、切割线定理与推论等.如果你注意观察就可发现,所有的定理与推论,都是相交弦定理这个演员扮演的.不信就请听我说. 如图1,圆O中,弦AB、CD相交于P,则PA·PB=Pc·PD.这就是相交弦定理.     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

三圆两两相交的一条性质

性质圆心不共线的三个圆两两相交,所得三条公共弦所在直线交且仅交于一点。证明设AB、CD、EF分别为圆心不共线的三个圆⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3的公共弦,设AB、CD(或延长线)相交于P,联结EP(或并延长)交⊙O_1于F_1,交⊙O_2于F_2。由相交弦定理(或割线定理)有PA·PB=PC·PD=PE·PF_1,PA·PB=PE·PF_2,于是得PE·PF_1=PE·PF_2,即有PF_1=PF_2。而F_1、F_2都在EP(或其延长线上),且F_1在⊙O_1,上F_2在⊙O_2上,从而F_1与F_2重合于     

综合题新编选登

题191已知椭圆x24 34y2=1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点,满足PA·PB=0,2|PA|=|PB|.1)求点P的坐标;2)若椭圆上存在两点C,D(异于A,B)且(PC|PC|) PD|PD|)·OA=0,问是否存在实数λ使得AB=λCD,说明理由.解1)如图1,由题意知△OPA是以P为直角顶点的等腰三角形,设P(x,y)则x24 34y     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

对二次幂平均分割线猜测的解答

如图 1 ,P是○.O外一点 ,PT1 和 PT2 分别切○. O于 T1 、T2 ,割线 PAB分别交○.O于 A、B,J为弦 AB上一点 ,PA =a,PB =b.如果 PJ=a2 b22 (* )则 J称为二次幂平均分割点 .本刊 2 0 0 0年第 3期尹在端老师在《两个几何图形中两条线段的四种平均》一文中猜测 :二次幂平均的分割线     

圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

由三弦定理想到的新定理

由文[1]中的三弦定理是：如图1,已知PA、PB、PC是⊙O的三条珐,记∠APB=a,∠BPC=β,则PB·sin（α＋β）=PC·sinα＋PA·sinβ．     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

"张角定理"及其推广的应用

1张角定理如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180,°那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是sin(α β)PC=sinαPB sinβPA.证明必要性:若A、B、C三点共线,则图1S△PAB=S△PAC S△PCB,因此12PA·PBsin(α β)=12PA·PCsinα 12PC·PBsinβ.两边同除以12PA·PB·PC,即得所欲证的等式.充分性:若命题中等式成立,则反推可得S△PAB=S△PAC S△PCB,这说明S△ABC=|S△PAB-S△PAC-S△PCB|=0,所以A、B、C三点共线.本文将张角定理拓展到空间,则有如图2,四面体ABCD中,图2P为棱…     

平面上六线三角问题

平面上四个点 A、B、C、P,可构成六条线段 :BC、CA、AB、PA、PB、PC;三个角 :PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB所构成的角 .本文将研究上述六线三角的关系问题 .本文约定 :文中所示△ ABC均为逆时针转向 ,所谓 PA到 PB的角是指以 PA为始边绕 P点沿逆时针方向旋转到 PB位置所得到的最小正角 .很显然 ,此角必在区间 [0 ,2π)内 .另外 ,文中“∑”表示循环和 ,“∏”表示循环积 .定理 1　△ ABC三边长为 BC=a,CA =b,AB=c,面积为△ ,P为△ ABC所在平面上一点 ,设 PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB的角分别为α、β、γ,记 PA =x,…     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

一个与切割线有关的图形性质与竞赛题的命制

一个与切割线有关的图形性质： 如图1,过圆。外一点P作圆的两条切线PA,PB和一条割线PCD,连接AC,AD,BC,BD,则AC/AD=BC/BD.     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

调和点列的性质与一类竞赛题的证明

设A、B、C、D是共线的四点,若满足条件面AC/CB=AD/DB,则称A、C、B、D为调和点列,亦称线段AB被C、D调和分割,或线段CD被A、B调和分割,若从共点直线外一点P引射线PA,PC,PB,PD,则称PA,PC,PB,PD为调和线束,为了证明一类竞赛题,我们先介绍调和点列的几条结论：     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

四点共圆用处大

<正>探究四点共圆,除了学会证明四点共圆以外,更多地应注意到利用它来证明别的命题.比如,对于角的相等,线段之间的位置关系,线段的比例关系等方面的证明,利用四点共圆,往往就有许多优越的地方.例1如图1,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,PCD为割线,过A作AE∥PD,交☉O于E.