女子奥赛题的另证

这是《中学生数学》2009年10月(上)的《女子奥赛题的巧证》题:(第四届中国女子数学奥林匹克)设正实数x,y满足x3+y3=x-y,求证:x2+4y2<1.本文给出另一种巧妙的证明方法,与大家共赏.证明∵x,y为正实数     

高考题的解法探究及其变式

<正>2017全国卷Ⅰ第11题:设x,y,z为正数,且2~x=3~y=5~z,则().(A)2x<3y<5z(B)5z<2x<3y(C)3y<5z<2x(D)3y<2x<5z为了便于探讨问题的本质,兹将题目改编为一道解答题:设x,y,z为正数,且2~x=3~y=5~z,试比较2x,3y,5z的大小.由于涉及到指数,要解出这道题,对数运算是无法回避的.比较两数的大小关系,常用的方法有作差和作商两种,因此,有下面的两种解法.     

对一道赛题的探究

第十四届“希望杯”培训题解答题的第一题如下:设x,y,z∈R 且x y z=1,求证:x2 y2 z2 23xyz≤1.这是一道难度稍大的好题,在这里我们要对上述不等式作出一般性的研究,即:在已知条件下求x2 y2 z2 λxyz的取值范围,其中变参数λ>0.利用x y z=1,可得x2 y2 z2 λxyz=1-2(xy yz yx) λ     

一道高考题的推广

本文将对2007年高考试题北京卷第20题第3问的结论进行研究和推广.2007年北京文科卷第20题:已知函数y=kx与y=x2 2(x≥0)的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2),l1,l2分别是y=x2 2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l1,l2与x轴的交点.1)求k的取值范围;2)设t为点M的横坐标,当x1相似文献   

两个数学问题的简解与推广

《数学通报》1998年第6期数学问题1139题和第10期数学问题1156题的解答经研究发现都能简化.问题1139为:“求下述方程组的所有实数解:x6 y6=1　(1)x8 y8=1　(2)原解答用了换元,过程较繁,现简解如下:解　由题设易知-1≤x≤1,-1≤y≤1,且x,y不同时为零,从而1-x2≥0,1-y2≥0,且(1-x2),(1-y2)不同时为零.(1)-(2)得x6(1-x2) y6(1-y2)=0∴x6=01-y2=0或1-x2=0y6=0从而得到所有实数解为x=0y=-1　x=0y=1　x=-1y=0　x=1y=0由上面解法易得到此题的推广:“方程组x2n y2n=1x2n 2 y2n 2=1(n∈N )的所有实数解为:x=0y=-1　x=0y=1　x=1y=0　x=-1y=0.问题1156…     

自行车的奇想和探究(下)

<正>(上接本刊2014年12月(上)期)五、回想意犹未尽,我回想起曾经接触过的一道高考题——2010年北京秋季高考试卷第14题:高考问题如图4放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则函数f(x)的最小正周期为___;y=f(x)在其两个相邻零     

脚下本有多条路,缘何无法通“罗马”——从一道高考题谈高中生代数变换能力的培养

2011年安徽卷理科数学第19题如下:(1)设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy;(2)设1 ＜a≤b≤c,证明:logab +logbc +logca≤logba+logcb+logac.由于第(2)问只需利用第(1)问的结论通过换元法即可证明,因此本文只讨论第(1)问.     

从一道题看TI-92图形计算器的作图功能

有这样一道题:已知方程 2x-1=-2x2-α有两个不等实数根,求α的范围.在讲解这一道题时,笔者采用了如下方法: 解原方程等价于2x=-4x2-2α, 设y1=f1(x)=2x,y2=f2(x)=-4x2-2α. 要使原方程有两个不等实根,则需f1(x)与f2(x)的图象有两个不同交点,如图1所示. 由图可知:-2a>1,即α<-1/2.     

一道竞赛题的多层次研究

问题:直角坐标系xOy中,设A,B,M是椭圆C:x2/4+y2=1上的三点.若→OM=3/5→OA+4/5→OB,证明:线段AB的中点在椭圆x2/x+2y2=1上. 这题是2010年全国高中数学联赛江苏初赛第11题,是一道非常有研究价值的试题,本文将从此题出发展开探索.     

一类二次齐次不等式的获得方法

近年来的奥林匹克数学辅导书上流行这样一道题:设x,y,z∈R,求证: √33+1/4(x2+y2+z2)≥xy+2yz+2zx.     

一道高考试题的探究

2007年高考江苏卷第19题是一道有关抛物线的解析几何题:图1如图1,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q.(1)若OA·OB=2,求c的值;(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.此题主要是考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系以及向量的数量积等知识,是一道容易上手却值得探究的好题.探究1 c=2是巧合吗?根据OA·OB=2,我们可以求出c=2.那么c=2是巧合吗?不妨设OA·OB=t,于是我们…     

从一道高考题，谈一类分段函数题型的求解方法

2002年全国高考数学理科卷中有这样一道题: 第(21)题,设a是实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, (1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值. 分析:此题中的函数实质是一个分段函数     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.     

应用题新编选登

题1　某企业有一条价值a万元的生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,提高产品的增加值,就要对流水线进行技术改造,假设增加值y万元与技改投入x万元之间的关系满足1y与(a- x)x2 成正比例.2当x =a2 时,y=a32 .30≤x2 (a- x)≤t,其中t为常数且t∈[0 ,2 ].1)设y=f(x) ,求出f(x)的表达式,并求其定义域;2 )求出增加值y的最大值,并求出此时的技改投入x值.解　1)设y=f (x) =k(a- x ) x2 ,因当x =a2时,y=a32 .故a32 =k(a- a2 ) (a2 ) 2 ,∴k=4 ,从而有y=4 (a- x) x2 .因0≤x2 (a- x) ≤t,解得0≤x≤2 t1+ 2 ta,于是f(x) =4 (a- x) x2 (0≤x≤2 t…     

关于函数及其反函数交点问题的探讨——一道高考试题引发的思考

2007年重庆高考数学试题文科第(10)题,题目是这样的:设P(3,1)为二次函数f(x)=ax2-2ax+b(x≥1)的图像与其反函数y=f-1(x)的图像     

发现·联想·思索·创新——一中考试题的变式思考

下面是1998年呼和浩特市的一道中考题: 考题1 如图1,一边靠学校院墙,其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃.设矩形ABCD的边AB=x米,面积为S平方米.(1)求:S与x之间的函数关系式,并求当S=200米2时,x的值;(2)设矩形的边BC=y米,如果x、y满足关系式x:y=y:     

一道例题的补正

同济大学编《高等数学》(第四版 )上册第 1 0 3— 1 0 4页有一道例 8“求曲线 y=x32 的通过点 (5,1 1 )的切线方程。”书中的解过程为 :“解 :设节点为 (x0 ,y0 ) ,则切线的斜率为y′| x=x0 =32 x | x=x0 =32 x0于是所求切线方程可设为y -y0 =32 x0 (x -x0 ) (1 )切点 (x0 ,y0 )在曲线 y=x32 上 ,故有y0 =x032 (2 )切线 (1 )通过点 (5,1 1 ) ,故有1 1 -y0 =32 x0 (5-x0 ) (3)　　求解方程 (2 )及 (3)组成的方程组的解为 x0 =4,y0 =8,代入 (1 )式并化简 ,即得所求切线方程为3x -y -4 =0 .”　　该题是过曲线外一点求切线问题。显然 ,过曲线 y…     

新题征展(50)的更正

由于春节期间审校的失误 ,至使本刊2 0 0 4年第 2期中的《新题征展 ( 50 )》出现两处错误 ,特此更正 .1 .河南省泌阳一中高三 ( 1 )班孙双翼同学来信指出 ,第 1 ( 3)题 ,四边形 ABCD为矩形即能满足题设条件 .原答案错在“类似又得 | a| =| b| .2 .沈阳市大东区市五中高钧老师和湖北省南漳县一中刘光清老师来信指正 :第 3题应选 ( B) ,而不是选 ( D) .原题错在 :圆的半径为 R( R>0 )而不是 1 .因此又　∵　 y1=Rsinα,x1=Rcosα,y2 =Rsinβ,x2 =Rcosβ.由韦达定理得x1 x2 =- m,x1x2 =m2 - R22 .∴ sin(α β) =sinαcosβ cosαsin…     

一道高考题的拓展

题　设曲线 C的方程是 y =x3- x,将曲线 C沿 x轴、y轴正向分别平行移动 t、s单位长度后得曲线 C1 .( )写出曲线 C1 的方程 ;( )证明曲线 C与 C1 关于点 A( t2 ,s2 )对称 ;( )如果曲线 C与 C1 有且仅有一个公共点 ,证明 :s=t34- t且 t≠ 0 .这是 1 998年全国高考第 2 4题 ,因为曲线C是奇函数 ,将该题拓展 .拓展 1　设曲线 C的方程是 y =f ( x) ,且f( x)为奇函数 ,将曲线 C沿 x轴、y轴正向分别平行移动 t、s单位长度后得曲线 C1 .( )证明曲线 C与 C1 关于点 A( t2 ,s2 )对称 ;( )如果曲线 C与 C1 有且仅有一个公共点 ,证明 :s=2 …     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).