函数的最大值与最小值

对于函数y=f(x1,x2,…,xn),若存在常数a,使y≥a恒成立,且等号确能取到,则称a为y的最小值;类似地可以定义y的最大值.数学竞赛中的最值问题往往需要综合数学各分支的知识灵活处理.下面通过一些例子来说明解最值问题的一些常用技巧.1利用函数的性质例1求二元函数f(x,y)=x2 4xy 2y2     

条件极值的一种求法

求二元函数z=f(x,y)及三元函数z=f(x,y,z)的条件极值一般采用的方法有两种,一种是间接法,即将条件极值问题化为无条件极值问题来求解,但此法对不易显化的约束条件不适用;另一种是拉格朗日乘数法,这种方法对任何条件极值均适用,但对初学者往往存在这样一个容易误解的问题:例如求z=f(x,y),则在条件.(?)(x,y)= 0下的极值.由拉格朗日乘数法,作函数     

关于f(x、y)连续性的几个定理

<正> 关于二元函数z=f(x、y)的连续性,在高等数学中,一般仅给出它的定义,除用定义判断其连续外,却很少涉及其它方法。本文将给出判断二元函数f(x、y)连续的几个充分条件。定理1 设f(x、y)在区域D上有定义,若1)f(x、y)对x、y连续,2)f(x、y)对x是单调的,则     

最值问题中的对称思想

最值问题是中学数学的一个基本问题,解决的方法很多,如分析法(单调性法)、判别式法、平均值不等式法、数形结合法、导数法等.对称性是数学的重要特征,几何、代数中充满着各种类型的对称美.充分挖掘问题中的对称性,常常能够启迪思维,启发人们探索解题思路,发现巧妙解法.下面通过例子说明用对称思想解决某些最值问题既快又准确.例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求函数f(x,y,z)=4x 1 4y 1 4z 1的最大值.分析从表面上看,这是个三元函数的最值问题,在中学阶段,学生无法直接求解,深入分析f(x,y,z)的结构,不难发现函数f(x,y,z)的表达式对x,y,z具有对称…     

齐次有理分式函数f(x,y)的极限存在判别法

本刊1981年第10期吴檀同志发表的一文“齐次有理分式函数f(x,y)的极限问题”中,给了齐次有理分式函数f(x,y)的极限存在判别法。为了开拓思路,扩大眼界,本文仅就上述的判别法给出一个新的证明。 设齐次有理分式函数f(x,y)=g(x,y)/h(x,y),其中g(x,y),h(x,y)分别是关于x,y的实系数的m次和n次     

求函数最值的两种新方法

一、更换变量法在求函数y=f(t)的最值时,如果设某一常数c=x。视x为变量、t为常量所得到的函数y=g(x),对于变化的t值,函数y=g(x)具有某种共同性质。则所求最值问题实际上就是求具有上述性质的曲线与直线x=c交点纵坐标的最值。例1 求函数y=2t (5t~2 7)~(1/2)的最小值。     

关于二元函数条件极值的充分条件

<正> 用Lagrange乘数法求二元函数f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的条件极值,作Lagra-nge函数     

让抽象函数现“型”

<正>有这么一道小题:已知函数y=f(x)(x∈(0,+∞))满足x,y∈(0,+∞),都有f(x·y)=f(x)+f(y)-1,且f(1/2)=0,求f(8).大部分同学会根据题中的条件用特值法先求出f(1)=1(令x=y=1),再求出f(2)=2(令x=2,y=1/2),进而求出f(4)=3,最后求出f(8)     

二元函数条件极(最)值的几何解法

有些学生在求二元函数条件极(最)值时,由于对二元函数条件极(最)值的几何意义全然不知,因而在解答这类问题时,思路不清,方法单一,甚至无从下手。而对于求解结果不会用几何方法加以验证,也经常漏洞百出,本文仅就中学数学中常见类型的二元函数条件极(最)值的几何解法作一归纳整理,以供参考。一、函数f(x,y)=ax~2 by~2型的条件极(最)值例1 已知|x-1| |y-1|≤1,求x~2 y~2的极值解条件|x-1| |y-1|≤1区域如图1所示,x~2 y~2在此条件下的几何意义是在阴影区域中求出的点使该点到原点的距离最小或最大,由图不难知:     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

二元函数极限与一元函数可导关系研究

给出了一元函数y=f(x)在x0可导与二元函数f(x)-f(y)/x-y在(x0,x0)处极限存在等价的条件,并通过反例系统地研究了它们之间的关系,指出了文[1]的错误.     

不等约束条件下二元函数最值问题的解法

在高中新教材中多次出现不等约束条件下的二元函数最值问题 ,在多种学习资料和各类考试中 ,这类问题也屡见不鲜 .该类问题一般来说难度较大 ,解法灵活 ,是学习上的难点 .本文介绍几种常用的求解方法 ,供参考 .1　利用基本不等式基本不等式是求最值问题的重要工具 ,灵活运用基本不等式 ,能有效地解决一些不等约束条件下的二元函数最值问题 .例 1　已知x ,y∈R+,且满足xy≥x + y + 3,求u =x + y的最小值 .解　∵xy≥x + y + 3,∴xy -x - y - 1≥ 4 ,(x - 1) (y - 1)≥ 4 .∴x + y =(x - 1) + (y - 1) + 2≥ 2 (x - 1) (y - 1) + 2≥ 6 .故当…     

一类二元函数最值的求法

文[1]利用不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则x21y1 x22y2≥(x1 x2)2y1 y2(1)(当且仅当x1y1=x2y2时等号成立)给出了一类二元函数最值问题的一种解题策略.受此启发,本文给出另一类二元函数最值的求法.定理设x,y∈R,a,b∈R ,则(1)当a>b时,有x2a-y2b≤(x-y)2a-b(2)(2)当a相似文献   

抽象函数与解题模型

我们这里所说的“抽象函数”是指那些没有给出函数的具体解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数(如函数递推式,函数的定义域、函数性质及特征、部分图象等)尽管这类函数问题高度抽象,但往往有它所对应的具体函数模型.例如:f(x y)=f(x)·f(y)对应的是指数函数ax y=ax·ay,f(xy)=f(x) f(y),对应的是对数函数loga(xy)=logax logay,f(x y)=f(x) f(y)对应的是正比例函数k(x y)=kx ky,f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)正弦型的三角函数.f(x±y)=f(x)f(y)g(x)g(y)余弦型的三角函数等等.除此之外面对抽象函数数学题,我们的解题思路常常有:(1)合理赋值,化…     

谈谈“夹角”与“转角”——求二元函数方向导数和两类平面线积分转换时应注意的两个问题

<正> §1 问题的提出例1 设二元函数f(x,y)=x+y,平面单位向量l的方向如图1所示,试求f(x,y)在O(0,0)点处沿l方向的方向导数     

一类极限反问题的一般存在性条件与解法

文[1]把曲线y=f(x)的斜渐近线问题推广到抛物线渐近曲线的情形.本文给出了一般n次多项式y=P_n(x)当x→∞时逼近函数y=f(x)的存在性条件与解法.     

两类一阶线性偏微分方程的解

利用二元复合函数求导的链式法则,推导一阶线性齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(y)f1y=0的解,由此得出一阶线性非齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(x)f1y=R(x)f和P(x) f1zx+Q(y)f1y=R(x)f的通解.     

二元二次式因式分解的一个简便方法

形如Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F的二元二次式的因式分解,一般可用求根公式法,待定系数法等方法进行分解,但计算都比较复杂。下面我们介绍一种简便的分解方法——取零凑尾法。这个方法的理论根据是定理二元二次多项式f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解为一次式之积(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)的充要条件是对 B=a_1b_2+a_2b_1, (1)使得 f(x,o)=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2) (2) f(o,y)=(b_1y+c_1)(b_2y+c2) (3)证明:条件的充分性。设上三式同时成立,     

从u(x,y)+iu(x,y)到f(z)的一种转化法

<正> 在复变量函数的运算中,常常会遇到需要把以二元函数u(x,y)、v(x,y)为实部与虚都构成的复变量函数f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)化成以复数z=x+iy为变量的函数f(z),一般常用的方法是:     

约化为三对角矩阵的改进Newton算法

一、引言 本文用g(x)表示目标函数的梯度,G(x)表示目标函数f(x)在x点的Hessain矩阵,p(x)表示在x点进行一维搜索的方向。用Newton法求目标函数f(x)极小时是通过所谓求解方程组