数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

一类无完整解数列题剖析

[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和     

在解题教学中如何训练学生的观察能力

在数学教学中培养学生的观察能力,是学生学好数学的关键之一,也是培养其他思维能力的基础。下面浅谈一下在这方面的做法与体会。一、引导学生观察条件中的数字或字母的变化规律及位置特点例1 已知数列{a_n}的前五项是1,2,4,7,11,试写出这个数列的一个通项公式。解:细心观察后知:相邻两项中后项与前项的差有规律: a_z-c_1=2-1=1, a_3-a_2=4-2=2, a_4-a_3=7-4=3, a_5-a_6=11-7=4, 由此可得 a_n-a_n-1=n-1再把上面(n-1)个式子相加得左边=a_n-a_1;右边=1+2+3+……+(n-1)=(n-1)/2     

对一道数学题的质疑

前不久,某地区高中毕业班统考数学试题(理科)第七题为已知数列{a_n},其前n项和为S_n(n∈N), (1)若S_n=1+pa_n(-1相似文献   

用合分比定理求一类递推数列的通项公式

大家知道,求非线性递推数列的通项公式是比较困难的,没有一般的方法。本文利用合分比定理来求某些非线性递推数列的通项公式,列举以下几个例题。例1 已知数列{a_n}的a_1=2。并且求这个数列的通项公式。分析:我们来观察递推公式的右边,分子与分母的和是(a_(n-1)+1)~2,而分子与分母的差是(a_(n-1)-1)~2,因此,对于具有这种特点的递推公式,我们可以利用合分比定理来求这个数列的通项公式。解:将递推公式写成     

常系数线性齐次递归式的一般解公式

本文给出常系数线性递归式 a_n=α_1a_(n-1)+α_2a_(n-2)+…+α_pa_(n-p),a_0=c_0,a_1=c_1,…,a_(p-1)=c_(p-1)的一般解公式 a_n=sum from k=0 to p-1(sum from i=k to p-1 c_iα_(p-i+k))F_(n-p-k)(n≥p),其中(?)     

多项式函数奇偶性定理的证明和应用

在解题中,我们往往不自觉地应用了下面关于多项式函数奇偶性的定理: 定理多项式函数f(x)为奇函数(或偶函数)的充要条件是f(x)只含奇次项(或偶次项)。这个定理由于教材上未作介绍,而在解决这方面的问题时又经常用到,为此,笔者将此定理的证明写出,供参考。证明充分性是显然的。下证必要性。若f(x)为奇函数,即有f(x)=-f(-x)。我们写出多项式函数的一般形式,就有a_n(-x)~n+a_(n-1)(-x)~(n-1)+…+a_1(-x)+a。=a_nx~n-a_(n-1)x~(n-1)-…-a_1x-a (1) 若n为偶数,则有 2a_nx~n+2a_(n-2)a(n-2)+…+2a_2x~2+2a_o=0从而 a_n=0,a_(m-2)=0,…,a_2=0,a_0=0。     

韦达定理的横向妙用举隅

本文谈谈如何把一个似乎与方程无关的数学问题,通过构设一个一元方程,然后据韦达定理解题的方法。一、解代数问题例1 若数列{a_1}由a-1=1,4a_na_(n 1)=(a_n a_(n 1)-1)~2,a_(n 1)>a_n定义,求其通项a_n。分析把所给的递推式视为关于a_(n 1)的方程可得 a_(n 1)~2-2(a_n 1)a_(n 1) (a_n-1)~2=0 ①在递推式中用n,n-1分别置换n 1,n可得     

由数列的递推公式求通项的常用方法

由数列的递推公式求通项公式问题比较复杂,题型很多,方法很多,学生不易掌握.但常用的方法是利用待定系数、换元将递推数列问题转化为等差、等比数列问题来解决.一、递推公式是两项或三项线性关系的求法例1 已知数列{a_n}中,a_1=-1/2,且a_(n+1)=1/2a_(n+1),求 a_n.分析:此类型题,可有效地引入一个辅助未知数r,构成一个新的等比数列来解.     

通项·回归·解出

先看具体问题。例1 数列{a_n}满足a_1=a_2=1,且a_(n+2)=a_n+a_(n+1) 求证:(a_1/2)+(a_2/2~2)+(a_3/2~3)...+a_n/2~n<2 证明设S_n=a_1/2+a_2/2~2+...+a_n/2~n 由a_n+2=a_n+a_(n+1)得 a_n=a_(n+2)-a_(n+1)。 Sn=(a_3-a_2)/2+(a_4-a_3)/2~2+...+     

等差数列的两个判定方法

本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2     

条件有余的高考付题

一九八三年全国高等学校招生统一考试数学付题理工医农类第八题所给的条件有多余的,兹分析如下。原题是:“已知数列{a_n}中,a_1=3/5,a_2=31/100,并且数列:a_2-1/10a_1,a_3-1/10a_2…,a_n-1/10a_(n-1),…是公比为1/2的等比数列 (条件A),而数列:lg(a_1-1/2a_1),lg(a_3-1/2a_2),…lg(a_n-1/2a_(n-1)),…是公差为-1的等差数列(条件B)。 (1)求数列{a_n}的通项公式:     

一道数列问题解法分析

<正>某省2017年高中毕业生复习统一检测文科数学试题第17题和所给问题(1)的参考解答如下:题目"已知数列{a_n}中,a_n²+2a_n-n2+2a_n-n²+2n=0(n∈N+),(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{a_n}的前n项和".(1)的参考解答"由a_n2+2n=0(n∈N+),(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{a_n}的前n项和".(1)的参考解答"由a_n²+2a_n-n2+2a_n-n²+2n=0,得(a_n-n+2)(a_n+n)=0.∴a_n=n-2或a_n=-n.     

对教材中两道例(习)题的处理

代数(甲种本)第二册P43页例3:已知数列{a_n}的第1项是1,以后各项由公式a_n=1/a_(n-1) 1给出,写出这个数列的前5项。例题本身很简单,可是对这个例题更深一步地提出求{a_n}的通项公式,那就不容易解决了,因此,解递归数列的问题就自然地提了出来。     

巧妙代换,简捷证明

浙江教育出版社出版的《高中数学精编综合训练》一书P.18有这样一道试题: 例已知1/2≤a_k≤1,(k∈N)。求证:a_1a_2a_3…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)≥1/2~(n-1)。该不等式证明确有一定的难度,原书采用数学归纳法证明,其过程十分繁杂,并且技巧性很强。如果我们作一个巧妙的代换,问题则十分简单,迎刃而解。证明令a_k=1/2 b_k,有0≤b_k≤1/2。则 a_1a_2…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)=(1/2 b_1)(1/2 b_2)…(1/2 b_n) (1/2-     

数学问题解答

1990年4月号问题解答(解答由问题提供人给出) 646 设数列{a_n}_(n-1)~∞(a_n∈N)。若任一正整数k能整除数列中任意k项的和,证明:a_1=a_2=     

探究递推数列an=c·an-1+d·bn的通项公式

文[1]变题2的点评如下:“形如a_n=c·a_(n-1) d·b~n(c≠0,c≠1,d≠0,b≠0)的递推关系式均可由a_n λb~n=c(a_(n-1) λb~(n-1))构造等比数列处理.”文[2]指出该点评不妥之处:c=b时无法求出待定的λ,还应加上c≠b这一条件,并举例说明c=b时数列通项的求法.细读两文,深受启发,但感     

关于某些分式递推方程的线性化方案

根据线性递推方程求数列的通项的方法,在数学刊物上已得到充分的讨论。本文将利用这些知识来研究应用分式递推方程求数列通项的方法。本文的结果,改进了文中的方法,理论上的讨论也更加完备。 (一) a_n=A+B/(a_(n-1)) 线性化方案I:作替换a_n=(kx_n)/(x_n-1) (1)财有(kx_n)/(x_n-1)=(A+B)((x_(n-1)-1)/(kx_(n-1)) 整理得 (k~2-Ak-B)x_nx_(n-1)+Bx_n+(Ak+B)·x_(n-1)-B=0 令 k~2=Ak+B (※) 则有 Bx_n+k~2x_(n-1)-B=0(※※) 我们把方程(※)叫做递推分式的特征方程,取其一根作替换(1),便得到线性化方程(※※),由此可求出x_n,继而得到a_n。线性化方案I:作替换     

一道普通高考题的另解

题目:设数列{an}的首项a_1∈(0,1),a_n=(3-a_(n-1))/2,n=2,3,4,….(Ⅰ)求{a_n}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an.3-2an,证明bn相似文献   

一个定理的应用一、二例

多项式a_nx~n+a_(n-1)~x~(n-1)+…a_1x+a。能被x-1整除的充要条件是a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0。根据因式定理,便可得到如下推论: “一元方程a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0=0, x=1是它的一个根的充要条件是 a_n+a_(n-1)+…a_1+a_0=0”。在初中数学中,为了证明上述推论,可用以下方法:设x=1是方程的一个根,则得a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0,证明了条件是必要的。次设条件成立,则得a_n(x~n-1)+a_(n-1)(x~(n-1))+…+a_1(x-1)=0,可知此方程有一根是x=1,证明了条件充分。