高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

用对弧长的曲线积分求一些柱面面积

我们知道，柱面的面积可以用二重积分计算，实事上它也可以通过对弧长的曲线积分计算。因为当j（x，y）70时，在几何上If（x，y）ds表示以xoy平面上曲线L为准线，母线平行于Z轴的，高为Z一f（，y）时的柱面面积，如图1。例1用曲线积分计算柱面x’＋y’一ax含在球域x’＋y’＋z‘＜a’内那部分的表面积（aIn0）。解由对弧长的曲线积分的几何意义及对称性知，所求面积S一到SdS（图2），＿＿。＿＿＿＿。＿．．、＿，。、，、卜十y－ax．、。＿。。＿＿其中L：y一tw～．其高是球面与柱面的交线，（。“。＿。由此得出z’二a’－ax，即一卜…     

关于二元函数的全微分求积中积分路径的选取问题

在讨论格林公式应用时，我们知道，如果在单连通开区域C内，函数P（x，y）及Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且满足条件时，则微分式P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G内是某个二元函数u（x，y）的全微分式，即有原函数上式右端的曲线积分是与路径无关的。一般地说，可选取由起点M（x     

积分因子及其求法

微分方程：M（x，y）dx＋N（x，y）dy=0，若在单连通区域D内，M（x，y），N（x，y）有一阶连续偏导数，且满足则（1）为全微分方程，这时du=Mdx＋Ndy=0，得到（1）的通解为：u（x，y）=C。求全微分方程的通解，常用的有三种方法：1°，利用积分与路径无关，得出通解其中（X0，y0）是D内适当选定的点。2°，利用于得出通解”’”””如——”—”“”’a“””一”J””’”————叮3”，凑微方法。举例说明。＿。。。。＿＿，＿＿＿＿＿＿＿、吻，。。。、。一例1求微分方程（。osy＋cosx）甚一ysinx＋slny—0的通解。解将原方程改写…     

关于曲线积分计算中常见的一种错误辨析

当把曲线积分化为定积分计算时，允许把曲线弧的方程代人被积函数式。但是，如果把曲线弧的方程先代人曲线积分的被积函数，将曲线积分变形后再计算，有时就会出现与原曲线积分不等价的曲线积分，导致所用计算方法的错误。本文就此问题举例辨析。以对坐标的曲线积分来说，它的计算法主要是根据下面的定理：［定理1沪设P（x，y）、Q（x，y）在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为当参数t单调地由a变到卢时，点M（x，y）从L的起点A沿L运动到终点B，P（t）、～（t）在以a及产为端点的闭区间上具有一阶连续偏导数，且中’（t）＋gb’…     

利用微分方程解关于积分上限的函数方程

我们从《高等数学》上册里已经知道：若是内的连续函数，则积分些关于积分上限的函数方程，关键是要建立一些恰当的微分方程，然后再利用解微分方程的方法去解函数方程。这里需要注意的是：初始条件隐含在积分上限的函数方程中。例1设f（x）在[0，＋co）内连续，且会解由八x）在【0，＋co）内连续，从所给函数方程表达式可知，人工）可导。从而有；n，、。11＿l＿＿。，、一．．—。，一、－———。。。广（x）一月会·2到·2，有f（）ZC／”。又f（）一1，有Czl即f（）一e‘“。“—”“＼2一）—””“”—”一“—“”””“’n—。。…     

偏导数与偏微分方程

我们知道，n元函数关于某个自变量的偏导数可理解为：固定其余的x－1个自变量xl1…，xi－1，xi＋1，…，xn，即令这些自变量为常数，这样几x；，…，xn）就是关于xi的一元函数，天就是f关于xi的导数。这样我们将多元函数的偏导数概念和一元函数的导数之间建立了联系，然后可用求解常微分方程的方法求解一些简单的偏微分方程。以下树中均设未知函数是充分光滑的。例1已知u（0，y）＝y，未满足方程的函数y＝u（x，y）解：由于正可理解为固定y，即令y为常数时X关于X的导数，故方程两边对X积分可得C（C，…ZC＋C式中C为积分常数。由于y为常…     

关于曲线,曲面积分对称性的应用初探

在一元函数定积分和多元函数重积分计算中，对称区间或对称区域上奇偶函数的良好性质将大大简化其运算，在曲线、曲面积分中，奇偶函数在对称曲线、曲面上也具有这些良好性质。命题一设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，而人X，火是L上的连续函数，那么门）若f（x，－y）＝f（x，y），则，其中L1是L在上半平面的部分；（2）若f（x，－y）＝-f（x，y），则证设。。。…I，。，x。。。，。f。x，。。－，。。。。。。，…。。。－。l。ds－0命题二设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，L在上半平面的走向与在下半平面的走向相反，而人工，／在L…     

高中数学综合训练题(6)

1选择题（1）如果暴函数y=（m2－6m＋9）xm2－m-6的图象不过原点．则实效m的取植范围是（）（A）m=2或m＝4（B）－2＜m＜3（Cmc＝2（D）－2＜m＜3（2）圆x2＋y2－2x－4y=0的国心到过原点的直线的距离为1，则这条直线方程为（）（3）若slnaslnB＋cosacose＝0，则slnacosa＋sh恤osP等于（）（4）a、b为平面M外两条直线，在a／／M的前提下，a／／b是b／／M的（）（A）先要条件（B）必要非充分条件（C）充分非必要条件（D）既不充分又不必要条件（5）设P为双曲线＞一头一1上一点，F、F，为”—”——－”””—～／hi”一焦点，如果＊P民…     

解微分方程时应注意的两点

笔者认为，初学者在解微分方程时，应注意两点：（一）注意变量x,y地位的对称性。即在判别微分方程的类型或解微分方程时，若按x为自变量、y为函数时不易处理，可转而考虑按x为自变量、x为函数时的情形。为便于应用，现说明如下：a．一阶齐次方程的两种形式：（这里x为自变量），或：生二。（半）（这里y为自变量）．””dH－”，“”““““““““””b．一阶线性微分方程的两种形式：dyn。、。，、，、。。、，。。，。、三十P（x）y一Q（x）（这里y为x的函数），dH“”—”“””—””““H““““。。。／，。dx、‘＾或三十P（…     

西北轻工业学院·高等数学试题

一、计算下列各题：［每小题4分、共28分］1．设,求在点（l,2,0）处函数u的全微分．2．试求函数的麦克劳林级数．3．试求幂级数的收敛区间．4试求微分方程的通解．5·已知曲线求对应于土一0的点处的切线方程与法平面方程．6·微分方程试写出通解的形式（不求解）．7试判断级数一的敛散性．二、设八X）可微,三、计算曲线积分,其中L早从点A（－1,0）到点B（l,0）的上半圆弧．四、计算曲面积5,共中2是曲面Z‘＋y’一4介于0＜Z＜6的部分．厂8分］证明：（1）点（o,o）处连续．（2）在点偏导数存在．（3）在点（0,0）不可微分．［10…     

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)试题及解答

一、选择题：本大题共15小题；第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）团每小题5分，共的分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．（1）Sin600的值是（）（A）M（B）一5（C）M（D）一M（2函数v＝。L：（。＞回）的图象是（）．（3）曲线的极坐标方程尸一4sino化成直角坐标方程为（）．（A）（X—2）‘＋y‘一4（B）1’‘＋（y－2）’＝4（CXZ＋（y－I－2）一4（D）（x＋2）2＋y2＝4（4）两条直线All＋Bly＋CI＝0，A22＋BZy＋CZ＝0垂直的充要条件是（）．、AIA，一、—一（A）＝＝－－－－－－－－＝l…     

f_(xy)(x_0,y_0)=f_(yx)(x_0,y_0)一个充分条件的介绍

一般高等数学教材中是这样给出二元函数二阶混合偏导数与求导次序无关的条件的：如果在点连续，则这个充分条件是可以减弱的，现介绍如下：定理如果在点（x。，y。）的某一邻域内，人（x，s）与人（x，，）都连续，且人（x，s）在（x。，y。）处连续，则几（x。，y。）存在，且人／X。，y）一九（X。，y）．证由偏导数的定义故只需证明（）、（2）两式右端之极限存在且相等。由于人（。，g）在（x。，g。）连续，从而由Lagrange中值定理有Q（｝1，足）一g（yo＋k）－g（yo）一kg’（yo＋0k），此处O＜「＜1．而／（y）一人（X。＋4，y）…     

各抒己见觅真支

师：这次考试中有道选择题，是1997年高考文科第（7）题（又见文[1]），大家的选择答案可谓”两边倒”现在请同学们就此题的选择，各抒已见、以理晓人，弄清楚孰对孰错，对在哪里．错在何处；8目设函数y＝f（x）定义在实数民上，则函数y一人x－1）写x一人l－J的图象关于（）（A）自经y＝0对你（B）围线。＝0对你（C）直线y＝l对称（D）直线。＝1对称甲：先作y＝j’x）的图象关于y铀的对那，得到y一人一x）的图象，再把x一八一x）的图象问在平移1个率应，即得y一八一x＋1）的图象，政选（B）．Z：甲同学在第二步作”平接受澳’的，万向用…     

方差非负性的应用

方差的计算公式为S2人教版初中《代数》第三册），它又可化为9一上【】X～上（，IZI方差具有非负性，即5270，当且仅当xl—12一…一xu，SZ＝0，利用方差公式及其非负性，可以将不少数学问题转化为方差问题来解决．例1已知a，heR”，a＋b—1，求证a’＋bZk且2”证考虑a，b二项的方差例3已知实数x，y，z满足x－y＝6，cy＝zZ十9，求证：X一y·证工，y的方差为Y一言【x“十y“一二（x＋y广」”亏以x＋y）“一zry一青（x＋y广」一一子【一子X十一月．t＋o）1一一，J＞几4＝O，于是X一y·例4已知0＜6＜。，求函数y＝／厂工面F肩而十／而百…     

解题过程中的配凑策略

转化是解题的一种重要策略，而配凑则是实施转化的主要手段，本文以实例谈谈如何配凑．1变“1”配凑1的变化好似万花筒，精彩纷呈．对其变化能力的强弱可显示解题者解题水平的高低2变形联想国出解题过程应时刻注意变形联想，捕捉各知识点间的联系，从而架起解决问题的桥梁．例3求函数y一六十一叠的值域．解变形y一六＼·六＜，联想到万能公式，令工一tRO，再配凑有y一十sin28·（xiar＝＋sin46．例4函数／（1）。／x‘－3x‘－61’十13－／in＝M3的最大值是．．（1990年全国高中联赛试题）解题目呈二次根式，联想两点之间的距离公式作配凑…     

如何对曲线方程中变量的取值范围进行说明

高二的同学在求曲线（或点的轨迹）方程时，往往对于什么时候要对方程中变量的取值范围进行说明以及如何说明感到棘手．本文对这个问题谈点看法，供大家参考．1在什么时住必须说用？我们知道，如果：1．曲线C上任意点M的坐标（X。，y。）都是方程f（x，y）一0的解；2．以方程／（l，y）＝0的任意解（11，川）为坐标的点M（11，yi）都在曲线C上．那么八x，y）一0就是曲线C的方程．但有时我们求出的方程虽然满足条件1，却不满足条件2．它存在这样的解（X”，y”），以（．T”，y“）为坐标的点并不在曲线C上．这时就必须对方程中变量的取…     

高中数学“短平快”同步练(11)

【高一代数】倍、半角公式选择题1．若cos105°·sin75°等于（）．④siny－cosy－／Moos（4＋y）中不正确的等式有（）．（A）0个（B）且个（C）2个（D）3个3．y一Dslna＋cosal—1坝uy＞0的a集合是4．若。tgx—3，则。OS’x十个sintr的值是（）．6．若ae（号。，3。），则JJ——的值是（）．（A）sinM（BsinM（C）COSM（D一COSM7．若T一JJ5十告JJ告十个cosZa，其中270“＜a＜360”，则T为（）．（A）一COSM（BCOSM（C）sinM（D）一sinM8．函数y一。n‘x一sm‘X的最小正周期为（）．（A）M（B）M（C）M）n9．t吕67”3…     

关于曲线积分一种计算方法的解释

文[1]对曲线积分其中L是以A（1，0），B（0，1），C（－1，0），D（0，－1）为顶点的正方形边界的正向（逆时针方向），给出两种解法，解法一：分段化为定积分计算，是常规解法。解法二，为便于讨论，抄录如下：[解法二]把曲线L的方程：|x|＋|y|＝1代入被积式中，先对原积分变形，得：I＝再利用格林公式（取p（x，y）＝1，Q（x，y）＝1）得I一文［１］。为解法。。解法过程及所用。算方。有问。，理由是形后的积分中dX十力不等价，不可用后者的曲线积分代替原曲线积分的计算。笔者认为这样的分析不妥。、。。X、＿，。Ldx＋dy。＿，。…