"特殊"化"一般",结论不平凡

在中学数学中,"特殊化"是一种重要的思想方法,将一般问题特殊化,可以化抽象为具体,化高维为低维,化整体为部分,化复杂为简单.但我们不能因此就夸大"特殊化"的作用,而忽视"一般化".事实上,我们在解决数学问题时,经常以特殊问题为起点,逐步分析、比较、讨论,层层深入,从解决特殊问题的规律中,寻求解决一般问题的方法和规律,并由此推广到一般.因此,特殊化是解决问题的起点,将问题一般化才是终点;特殊化是解决问题的手段,将问题一般化才是真正目的.……     

借助特殊情形解题

<正>有些数学题,抽象程度较高,涉及的面也较宽,一时难以下手去解决.此时,不妨先从一般情况退下来,将问题"特殊化",考察命题的某些特殊情形,注意从中归纳、发现一般的规律,进而寻得解决一般问题的途径.在数学中,常用下述办法将一个问题"特殊化":(1)画出图形来,从几何直观来启发思路或看出规律;(2)用具体数字来代替一般文字,将抽象     

学会特殊化方法

<正>特殊化方法是数学学习中的常用方法.对于某些数学问题,借助特殊化方法,可以更易获取解题思路,从而解决问题.所谓特殊化方法,是指从一个问题的某种特殊情形入手,发现破解问题的信息端倪,并由此探寻解决问题的思维脉络的一种数学思维方法.运用特殊化方法解决一个数学问题,通常可以从特殊数值、特殊位置、特殊模型等三个"特殊"入手.本     

特殊化方法在解高考题中的三种功能

“特殊化”是中学数学里很重要的一种思想方法,稍加留心就可看到高考试题里有许多能够用“特殊化”方法解决的问题.特殊中蕴藏着一般,这是一个辩证的思想,所以在解决高考数学问题时,我们也可经常回归特殊,在特殊中寻找一般思路.特殊化方法在解决高考试题中有三种功能:提示解题方向、寻找解题途径、直接解答问题.下面举例加以说明.1.提示解题方向有些题目的结论不明确,将问题的条件特殊化,可以找到结论,从而发现解题前进的方向.例1设无穷等差数列{an}中的前几项和为Sn.(Ⅰ)若首项a1=32,公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k.(Ⅱ)求所有的无穷…     

特殊化策略在解竞赛题中的应用

著名数学家G.波利亚对特殊化有一精辟的论述:“特殊化是从考虑一组给定的对象集合,过滤到考虑该集合中较小的集合,或仅仅一个对象.”在解题中可理解为:当我们想解决一个一般性问题时,直接去解又比较困难.可以先就它的一个或几个简单的特殊情形进行分析、比较,再从中归纳,发现问题的一般规律,从而获得解题的途径,这种变更问题的方法称为特殊化.运用特殊化策略常能使竞赛问题避繁就简,化难为易.下文就特殊化策略在解竞赛题中的应用略谈几种常见的特殊化方法.     

辩证思维解题策略举要

数学中充满了辩证法 ,解决数学问题常常需要运用辩证思维 ,本文介绍几种常见的辩证思维解题策略 .1　一般与特殊一般性寓于特殊性之中 ,在解决数学问题时 ,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略 .1 1　一般问题特殊化当我们在解决一般问题遇到困难时 ,如果先考虑其特殊情形常常能发现一般规律 ,从而使问题顺利解决 .例 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｘ1 -ｘ2 ,并定义ｆｎ(ｘ)=ｆ(ｆ(…ｆｎ个(ｘ) ) ) ,其中ｎ为自然数 ,求ｆｎ(ｘ) .分析 :此题用直接代入的方法简直无从下手 .如果我们先考虑几个特殊情形 ,如ｆ1 (ｘ)、ｆ2 (ｘ)、ｆ3(…     

用特殊化法解选择题

<正>特殊不能替代一般,但问题的一般性结论为真的前提是它在任一特殊情况下为真,这就是特殊化法的理论依据.运用特殊化法,常从题干或选择支出发,通过选取特殊值代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形的特殊位置,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到肯定一支或否定三支(去谬)的目的.达到     

解题中的辩证思维

数学中充满了辩证法,解决数学问题常常需要运用辩证思维.辩证思维就是有效地运用事物之间的矛盾性或统一性,通过联系和转化从而处理问题的思维方法.本文介绍常见的辩证思维解题策略一、二. 1 一般与特殊 一般性寓于特殊性之中,在解决数学问题时,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略. 当我们在解决一般问题遇到困难时,如果先考虑其特殊情形,常常能发现一般规律从而     

中学数学解题策略——特殊化方法

数学大师希尔伯特曾讲过这样一段话:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.我们寻找一个答案而未能成功的原因,就在于这样的事实,即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题,并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.”这段话对解数学题很有指导意义,当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时,采用特殊化策略就是一个较好的选择.1特殊化的基本思想特殊化策略即视原问题为一般,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.特殊化作为划…     

利用特殊化方法培养学生的思维品质初探

特殊化方法是将所论的数学事实“退”到属于它的特殊状态 (数量或位置关系 )下进行探索和研究 ,从而达到解决问题目的的一种思维方法 .用它来解选择题、填空题 ,有时显得方便、快捷 ;用它来分析一个复杂问题 ,则对思路的形成往往具有很强的启发性 .由于高考的正确导向 ,特殊化方法已为广大教师所重视 ,但它对思维品质的培养价值 ,目前尚欠必要的研究 ,本文对此作初步的探讨 .1　利用特殊化方法培养学生思维的周密性思维的周密性是指 ,在分析问题解决问题的过程中 ,周到而细密地考虑到问题的各种可能情况的一种思维品质 .其反面表现为思维不…     

活用特殊化思想巧解数学解答题

在数学解题中,探求解题思路与方法是最重要、最难把握的一个环节,是学生解题中的难点.特殊化(巧用条件或结论的特殊性)思想方法是一种重要的思考方法,在初等数学中有着广泛的应用.希尔伯特也曾说:"在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用,我们寻找一个答案而未能成功的原因,就在于这样一个事实,即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题,并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决他们."本'文对特殊化思想方法在解答题中的作用进行归纳,以供大家参考.……     

特殊化巧解几何中的定值问题

<正>平行四边形中基本模型较多,图象变化多样,如果再加上动点问题,学生就容易被吓退.而特殊化考虑能使问题的解决更直接更简洁,其中包括位置的特殊化和数值的特殊化.通过对题目的观察分析,在条件允许的范围内选取合适的特殊点或者特殊数值,经过简单的逻辑推理判断或者计算,就能够找到问题的解答方案.     

若有边边等,找三角形来旋转

<正>解几何题时,有时会碰到一类与特殊三角形、特殊四边形有关的"边边相等"问题.此类问题由于图形复杂,条件分散,令人眼花缭乱,以至于找不到解题头绪,所以常常会使人望而生畏.实际解题时,若能在复杂的图形中找出一个合适的三角形进行恰当的旋转,则能打开解题突破口,达到化难为易,事半功倍的效果.现举几例,解析如下,供同学们参考.一、与等腰三角形有关的"边边相等"问题例1(2014年武汉市)如图1,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为     

特殊化看问题

<正>特殊化策略即视原问题为一般情况,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原问题解决的策略,即把研究对象从原有范围缩小到较小范围或个别情形,甚至是极端情形来考察和探究.特殊化的本质是一种以退为进的策略,它符合人们从具体到抽象,从特殊到一般的思考惯性,在教学过程中不难发现,中学生在解某些小题(选择题、填空题)时,比较擅     

特殊化—一种重要的数学思想

所谓特殊化,是将一般问题的研究转化为特殊情形,通过特殊情形的解决而去探索一般规律,寻找解决一般问题的途径或者否定已有的猜想。这是解决数学问题的一个重要思想方法。下面举一些例子,说明在特殊化的思想指导下所显示的一些成效。一揭示事物的规律从人们认识事物运动的规律来说,总是由认识个别的和特殊的事物逐步扩大到认识一般事物的,从许多特殊事物中,概括出它们共同的本质。例1 观察凸多面体的面数、顶点数、棱数,寻找它们之间的关系:     

导数问题中“捆绑法”的合理应用

<正>在解决导数问题时,经常会遇到二元变量x_1、x_2的问题:通常式子为一个分式,且分子分母都含有x_1、x_2的一个复杂的式子,有时还含有ln的形式,这时若分子分母同时除以x_1或x_2,再换元"捆绑"成一个新的变量,就能使复杂问题简单化.下面举例说明.     

特殊化——一种有效的数学思维方法

客观事物的发展,总是经由由简单到复杂、由特殊到一般、由个体到群体、由具体到抽象这样一个过程;人们对客观事物的认识也是如此;在数学解题研究中的特殊化思考法,就是基于这一原理。一、什么是特殊化方法 1.G.Polya的例子及其分析当代美国著名数学家、数学教育家G.Polya在其名著《数学与猜想》里指出:“特殊化是从对象的一个给定集合,转而考虑那包含在这集合内的较小的     

特殊化数学思想及其应用

特殊化思想是重要的数学思想之一．应用特殊化思想解决数学问题，遵循了由特殊到一般的认识规律，是数学发现的重要途径．特别地，运用特殊化思想解某些数学选择题，可以快捷地得到问题的答案．但是，如果对特殊化数学思想缺乏正确理解，有可能对正确的选择产生怀疑或可能犯“特殊代替一般”的逻辑错误，导致错误的选择.     

挖掘特例 探索规律 归纳推理

<正>归纳推理是从特殊、个别的事物总结、概括出带有一般性、普遍性的原理的推理.与自然界和社会规律一样,数学问题中的一般方法、结论也都存在于特殊、个别之中.因此,当面对的数学问题太抽象、太复杂,我们一时没有解题思路时,便可以通过挖掘、认识问     

一般化方法解题的基本策略

在教学实际中对于一般情况而言,特殊情况往往比较熟悉且易于认识,因而常把特殊化作为实现化归的途径之一.然而,由于特殊情况往往涉及过多无关宏旨的枝节,从而掩盖了问题的关键,而一般情况则能避免在枝节问题上纠缠,更能明确地表达问题的本质特性.同时,由于限制条件减少,涉及范围增大,更容易引起联想,发现各种条件与结论之间的内在联系而使问题往往易于解决.因此,对很多数学问题,我们可以通过构造一般原型并对其进行分析,然后途经特殊化而获得给定问题的解决,这是数学中常用的方法.