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用三角法妙证欧拉不等式 总被引:2,自引:0,他引:2
本文先给出欧拉不等式:若三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥2r.现给出一种三角证法.证明 设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r.由正弦定理得 a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC∴S=12absinC=2R2sinAsinBsinC=12r(a b c)=Rr(sinA sinB sinC)∴2Rr=sinA sinB sinCsinAsinBsinC(1)又∵sinA sinB sinC33≥sinAsinBsinC∴1sinAsinBsinC≥27(sinA sinB sinC)3(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C中至少有2个锐角,不妨设∠C为锐角,∵sinA sinB sinC sinπ3=2sinA B2cosA-B2 2sinC π32cosC-… 相似文献
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文[1]在推证正弦定理时,得到了三个“副产品”,其中前两个是:
结论1 在ΔABC中,sinA+sinB+sinC/cosA+cosB+cosC〈2; 相似文献
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(一)Vasic不等式的构造性证明 1964年,Vasic推广ABC中的不等式sinA sinB sinC≤3~(1/3)/2为: xsinA ysinB zsinC ≤3~(1/2)/2(yx/x zx/y xy/z)(x,y,z>0)(1)1989年,杨世明老师据“母不等式”: λ~2 μ~2 y~2≥2μycosA 2yλcosB 2λμgcosC (2)对(1)作了一个别出心裁的构造性证明,大意是: 3~(1/2)/3sinA 3~(1/2)/3 3~(1/3)/3sinC≤3/2, 相似文献
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在锐角三角形中,有一个大家十分熟悉的结论,那就是:锐角△ABC中,
sinA+sinB+sinC〉cosA+cosB+cosC.
下面给出它的一个加强式. 相似文献
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在许多数学竞赛资料上,有许多几何不等式证明问题,其中三角形中有关角的不等式是一个重要的类型.例如:已知A、B、C是三角形中的三个内角,求证sinA+sinB+sinC≤3/2√3.笔者通过对这一类问题分析探究,不需要使用凸凹函数、琴生不等式等高数知识,只用中等数学方法,就能类比、推广得出一组不等式. 相似文献
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定理以△ABC的三内角A、B、C的正弦sinA、sinB、sinC为边长能组成一个三角形,且这个三角形的三内角仍为A、B、C。证设△ABC的三边长分别为a、b、c。其外接圆半径为R,依正弦定理,得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, ∴ a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∵ a b>c。∴ 2RsinA 2RsinB>2RsinC。∴ sinA sinB>sinC 相似文献
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安振平老师在文[1]中,谈了如何从△ABC中的常见不等式sinA+sinB+sinC≤3/3/2演绎深化,编拟出《数学通报》数学问题1753的经过,说明一些新的代数不等式问题,其生成的根源可能是某些常见的三角形不等式.读后很受启发,笔者通过类比,发现下面的许多不等式问题虽然形态各异,却有着内在的联系, 相似文献
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常见一些中学数学杂志讨论下列不等式的证明:设A,B,C为三角形三内角,则 sinA+sinB+sinC≤3/2 3~(1/2)。但均限于运用三角函数之变形推出结论。本文拟用几何定理证明上述结论,并加以推广。我们先给出一个引理。引导在圆的内接n边形中,以内接正n边形之周长为最长。问题设A,B,C为三角形的三个内角,则 sinA+sinB+sinC≤(3/2)3~(1/2)。证明设α=ZA,β=2B,γ=2C 则α+β+γ=2(A+B+C)=2π 相似文献
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涉及三角形与一个动点的不等式是一类有趣的几何不等式.在文献[1]中作者曾运用重要的"惯性极矩不等式"证明了下述不等式:对△ABC与平面上任一点P有PA2sinA/2+PB2sinB/2+PC2sinC/2≥3r2,(1)其中r为△ABC的内切圆半径.…… 相似文献
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题目在锐角△ABC中,求证:1/sin2A+1/sin2B+1/sin2C≥1/sinA+1/sinB+1/sinC~*这是《数学通报》2005年第44卷第2期数学问题与解答中的第1533题,原文提供的答案比较复杂,下面给出一种简单的证明方法.证明在锐角△ABC中,不妨设A≥B≥C,则有1/sinC≥1/sinB≥1/sinA>0,C≤π/3.1/cosA≥1/cosB≥1/cosC≥2,即1/2cosA-1≥ 相似文献
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在△ABC中,用a,b,c表示∠A,∠B,∠C的对边,则有以下边角关系成立:
1.正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC. 相似文献
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问题 问题 81 笔者在教学中 ,遇到了这样一个问题 ,同学们给出了两种不同的解法 ,都认为自己的解法有道理 .然后我们几个老师在一起讨论 ,也有所分岐 .题目 已知外接圆半径为 6的△ABC的边长为a ,b ,c,角B ,C和面积S满足条件 :S =a2 - (b-c) 2 和sinB +sinC =43.1)求sinA ;2 )求△ABC面积的最大值 .解法 1 1)S =a2 - (b -c) 2 =a2 -b2 -c2 +2bc =- 2bccosA +2bc .又S =12 bcsinA ,所以 - 2bccosA +2bc =12 bcsinA , 4 -sinA =4cosA , sinA =817或sinA =0 (舍去 ) .2 )因为sinB +sinC =43,且外接圆的半径为6 ,所以… 相似文献
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初中几何第二册162页第6题给出了正弦定理的完整形式。在△ABC中BC=a,CA=b,AB=c,外接圆半径为R,则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,此公式揭示了三角形的边和角与外接圆直径之间的关系,它有时能在解题或证题中起到绝妙的作用。 相似文献