函数y=x2与y=ax的图象交点个数探究

北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第3.6节"指数函数、幂函数、对数函数增长的比较",借助"列表法"与"图象法"得到了函数y=x2与y=2x的图象在第一象限内有两个交点,那么函数y=x2与yax(a＞0且a≠1)的图象在第一象限内是否一定有两个交点?如果不是,交点情况又如何?本文拟对此作一探究.     

函数y=a~x(a>1)的图象能与直线y=x相交吗?

我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上…     

巧用函数图像共点性结论

先简介幂、指、对等函数图像共点性结论如下:(1)幂函数y=xn(x>0,n∈Q)图像都通过点(1,1);(2)指数函数y=ax(a>1,a≠1)图像都通过点(0,1);     

巧用《几何画板》探求两函数“交点的个数”

在教学中,我们经常遇到求两个函数的交点个数或一个函数的零点个数问题,而这些函数中常常含有指数函数、对数函数、幂函数等等超越函数,若能巧妙地利用几何画板进行探求,就能顺利获解.下面就举几例说明,供大家参考.一、探求函数y=ax与y=xa(a>0且a≠1)的图象在x>0时交点的个数1.问题:(高一教材(人教A版必修1)同步作业第53页第4题):问函数y=2x与y=x2的图象在x>0时有几个交点?学生的主观错误:许多学生根据所画的局部图象,错误地认为两个函数只有一个交点.图12.(1)利用几何画板画出两函数的图象容易发现有两个交点,但是两个交点不十分明显;(2)…     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

函数图象交点个数的确定

函数图象交点个数问题 ,是经常出现在各种练习和各类考试中的一种题型 .它的常规处理方法是运用“数形结合”的思想 .但是 ,“数形结合”并不总是有效的 .例如 ,要求函数y =2 x 与y =x2 的图象的交点个数 ,第二象限的交点是很明显的 ,但第一象限的两个交点却很难看出 ,除非学生看出当x =2时图象相交 ,而且要理解指数函数的增长速度比二次函数更快 .但是 ,如果这个题改为“函数 y =3x 与 y =x2 的图象的交点个数”呢 ?我们看不出相交的特殊点 ,怎么办 ?运用微积分的简单知识 ,可以更一般的解决这个问题 .定理　当a =ebe 时 ,函数y =ax(a >1)…     

例析曲线过定点问题

曲线(包括函数的图象)过定点问题是研究曲线性质的重要组成部分,它也是高中数学中一类重要的题型,通过对这类问题的研究,有助于加深对曲线性质的理解和应用.下面介绍一下解决这类问题的常用解题策略.1.利用a0=1(其中a>0,且a≠1)例1(2007年山东卷·文)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过点A,若点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,则1m 1n的最小值为.解析函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),∴函数f(x)=a1-x(a>0,且a≠1)的图象恒过点A(1,1).又点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,∴m n-1=0,∴m n=1.∴1m 1n=mm n mn n=2 mn nm≥2 2mn·nm=2 2=4,∴1m…     

“指数函数”诗鉴赏

指数函数多个图象象束花,( 0 ,1 )这点把它扎.撇增捺减无例外,底互倒时纵轴夹.x =1为判底线,交点y标看小大.重视数形结合法,横轴上面图象察.此诗每行字数相等,且押了“浕”韵,读来倍感顺口,内容简洁明了,使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心.我们都知道,一般地,把函数y =ax(a>0 ,且a≠1 )叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R .由定义可知道,像y=x4,y =- 4x,y =4x2 等函数都不是指数函数,而y =2 x,y =12x,y =132 ,y =3x这些就是指数函数.图1　指数函数图象图1所示的就是上面举的指数函数的图象.不难看出,它们就像一束花.…     

教材中一个值得商榷的问题

1 问题的提出 普通高中课程标准试验教科书北师大版数学必修第三章"3.3指数函数的图象与性质"中借助y=2x与y=3x的图象研究了底数a对函数y=ax(a>0,a=1)图像的影响,并得出结论:底数大于1的指数函数,底数a越大,当x>0时,其函数值增长得就越快.     

对数函数问题

对数函数 y =logax(a >0 ,a≠ 1)是指数函数 y=ax(a >0 ,a≠ 1)的反函数 ,也是数学中十分重要的基本初等函数 .学习对数函数 ,我们不仅应熟练掌握对数函数的定义域、值域以及单调性等基本性质 ,而且还要能灵活运用其性质解决有关问题 .具体解题时 ,若给出函数的草图 ,往往能“一目了然”地获得问题的结果 .例 1　 (1999年全国高中数学联赛试题 )若(log2 3) x- (log53) x≥ (log2 3) - y- (log53) - y,则(　　 )(A)x - y≥ 0 .　　　　 (B)x +y≥ 0 .(C)x - y≤ 0 . (D)x +y≤ 0 .解　因为 0 相似文献   

函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)的性质与应用

<正>函数是高中数学的核心内容,是高考考查的重中之重.我们仅学习了:一次函数y=kx+b、反比例函数y=k/x(k≠0)、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)、指数函数y=a2+bx+c(a≠0)、指数函数y=a^x(a>0,a≠1)、对数函数y=log_ax(a>0,a≠1)、正弦曲线y=sinx、余弦曲线y=cosx、正切曲线y=tanx等基本类型的初等函数.事实上,我们碰     

指数函数与一次函数的大小关系

探究了指数函数y=ax与一次函数y=ax b(a>0且a≠1)的大小关系     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

综合题新编选登

题179已知函数f(x)=ax3 bx2 c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.1)若c=0,试求函数f(x)的单调区间.2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n, ∞)是f(x)的单调递增区间.试求n-m的范围.解由f(x)=ax3 bx2 c的图象过点P(-1,2)知-a b c=2.又f′(x)=3ax2 2bx.因为f     

综合题新编选登

题 91 　已知二次函数 y =ax2 +bx +c(a >0 )图象上存在一点P(x0 ,y0 ) ,满足 y0<0 ,证明 :函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) ,且x0 在x1,x2 之间 .证　∵ y0 =ax20 +bx0 +c =a(x0 +b2a) 2 + 4ac -b24a ,∴Δ =b2 - 4ac =4a2 (x0+ b2a) 2 - 4ay0 ,又a >0 ,y0 <0 ,∴Δ >0 ,故函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) .不妨设x1相似文献   

一个双曲线方程的配方法证明

文 [1 ]证明函数y=(ax+c) + bx+d(ab≠0 ,c、d ∈R)的图象是双曲线中用到了行列式和函数极限等知识 ,文 [2 ]的证明做了改进 ,但由于要用到图象的旋转等复数方面的知识 ,对于不熟悉复数的同学来说 ,仍然难以理解 .本文用配方法给出一个证明 ,所需的知识很浅 ,同学们容易接受 .证明　先将y =(ax+c) + bx+d的图象沿向量 ( -d ,c-ad)平移得到函数y=ax + bx 的图象 ,只需证y=ax+ bx 的图象是双曲线即可 .因为　ab≠ 0 .1 )ab>0时 ,将y =ax+ bx 化为xya -x2 =ba( >0 ) ①设A2 + 1 =B22AB =1a　并在①两边同加上B2 (x2 +y2 ) ,得A2 x2 +B2 y2 …     

用“f(x+y)=f(x)f(y)”帮判指数函数

<正>在学习指数函数时,同学们都知道形如:y=a~x(a>0且a≠1)的函数叫指数函数.老师也会帮学生总结出指数函数的三个特征:(1)底数a>0且a≠1;(2)a~x的系数为1;(3)底数a的指数为单个的自变量x.所以,对于判断一个函数是否为指数函数,同学们似乎已是很明白了,可是真正做题判断时,又常常出错.例如:判断下列函数中有无指数函数?(1)y=-2~x;(2)y=2~(3x);(3)y=2~x+1.多数学生都认为以上三个函数均不是指数函数.     

求二次函数解析式“三注意”

<正>二次函数解析式是函数一章的重点内容,求二次函数的解析式不仅用到二次函数的有关知识,而且还用到一些数学方法例如配方法、待定系数法,必须认真学好,并注意以下三个问题:一、注意掌握解析式的三种基本形式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),即二次函数的定义式.2.顶点式:y=a(x+m)2+n(a≠0),其中(-m,n)是抛物线的顶点,x=-m是对称轴.这种形式是由一般式经过配方得来,所以这种形式也叫配方式.3.双根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标或方程     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

怎样学习二次函数的图象

函数的图象在函数这部分内容中占有重要的地位 .在初中学习的几种函数中 ,二次函数的图象是相对比较复杂的 ,图象的特征主要是以下几个方面 :开口方向 ,对称轴的位置 ,顶点坐标 ,与x轴的交点情况 ,与y轴的交点情况等等 ,这些特征与二次函数的系数有着密切的关系 .在二次函数y=ax2 +bx+c(a≠ 0 )中 ,系数a ,b ,c与图象的关系分别是 :①a决定图象的开口方向 .当a >0时 ,图象的开口方向向上 ;当a <0时 ,图象的开口方向向下 .②由对称轴为x=- b2a知 :b与a确定对称轴的位置 .③当x =0时 ,y =c,抛物线与y轴必相交 ,交点为( 0 ,c) ,c也称为抛物线在…