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函数的单调性是函数的一个重要性质,对有些数学问题,根据题目条件及结构特征,恰当地构造单调函数,利用函数的单调性,常能获得简捷、直观的解法.1.求值例1设x,y为实数,且满足(x-1)3 2003(x-1)=-1(y-1)3 2003(y-1)=1.则x y=.解原方程组化为(x-1)3 2003(x-1)=-1(1-y)3 2003(1-y)=-1.构造函数f(t)=t3 3t,易知函数f(t)=t3 3t在(-∞, ∞)上单调递增,而f(x-1)=-1=f(1-y),所以x-1=1-y,即x y=2.2.确定大小例2若(log23)x (log35)y≥(log35)-x (log23)-y,则()A.x-y≥0B.x y≥0C.x-y≤0D.x y≤0解由条件得(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,设函… 相似文献
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1函数的定义域为A与函数在A上恒有意义两个概念十分相似,易误认为是同一个问题,事实上“函数在A上恒有意义”中的A是f(x)的定义域的一个子集,是不等式恒成立问题;而“函数的定义域为A”中的A是函数的定义域,其解法是已知不等式的解集求参数问题.例1(1)已知函数f(x)=1 2x 3xa的定义域为(-∞,1],求a的值;(2)已知函数f(x)=1 2x 3xa在(-∞,1]上恒有意义,求a的取值范围.解(1)由题意,不等式1 2x 3xa≥0的解集为(-∞,1],即a≥-[(31)x (23)x]的解集为(-∞,1],令g(x)=-[(31)x (32)x],易知g(x)在(-∞, ∞)上是单调增函数,∴g(x)max=g(1),所以不等式… 相似文献
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本文就向量与三角函数、解析几何、数列、不等式的综合题作一归纳总结,供参考.一、平面向量与函数、导数的交汇例1.已知向量a=(x2,x 1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析:本题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解:依定义f(x)=x2(1-x) t(x 1)=-x3 x2 tx t,则f′(x)=-3x2 2x t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.∴f′(x)≥0t≥3x2-2x,在区间(-1,1)上恒成立,考虑函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=13,… 相似文献
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一、忽视函数单调性的概念致错例1(北京卷)已知f(x)=(3a-1)x 4a,x<1logax,x≥1是(-∞, ∞)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,13)C.[71,31)D.[71,1)错解:因为f(x)在(-∞, ∞)上是减函数,所以f(x)在(-∞,1)和(1, ∞)上是减函数,于是3a-1<0且0相似文献
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A.题组新编1.(1)函数f(x)=x|x|的反函数为 ;(2)函数f(x)=x|x| x-1的反函数为 ;(3)函数f(x)=x|x|-x-1 反函数(填“有”或“无”);(4)由方程x|x| y|y|=1确定函数y=f(x),则f(x)在(-∞, ∞)上是( ). (A)增函数 (B)减函数 (C)奇函数(D)偶函数2.(1)两圆C1:x2 y2 4x-4y 7=0,C2:x2 y2-4x-10y 13=0的公切线有( ). (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条(2)过定点P(1,2)且与两坐标轴围成的三角形面积等于4的直线有( ). (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条(3)与圆x2-4x y2 2=0相切且在两坐标轴截距相等的直线有( ). (A)… 相似文献
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高中代数上册课本复习参考题一中有这样一道习题:“写出二次函数y=ax~2 bx c(a>0)的单调区间,以及在每一个单调区间上,函数是增函数还是减函数。”这道题的解法并不困难,同学们先画出函数y=ax~2 bx c(a>0)的图象,结合图象直观地写出:在区间(-∞,-b/2a)上,y是减函数;在(-b/2a, ∞)上,y是增函数。 相似文献
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导数给高中数学增添了新的活力,也是高考的热点内容.由于有些同学对导数的几何意义或本质理解不深,因而常常出现这样和那样的错误,现列举其中的几种供参考.例1判断函数f(x)=x-cosx在定义域区间(-∞, ∞)上的单调性.错解f′(x)=1 sinx,当x=2kπ 32π(k∈Z)时,f′(x)=0,不满足f′ 相似文献
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《中学数学》2005,(Z1)
1.(重庆卷,3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是().(A)(-∞,2)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,2)2.(山东卷,4)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是().(A)f(x)=sinx(B)f(x)=-x+1(C)f(x)=12(ax+a-x)(D)f(x)=ln22-+xx3.(辽宁卷,10)已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数x1≠x2,λ≠-1,α=x11++λλx2,β=x21++λλx1.若f(x1)-f(x2)相似文献
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由单调函数的定义不难知道: (1)函数f(x)在区间M上是增函数的充要条件是对于M上的任意两个不同的自变量值x_1和x_2都有(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0成立。 (2)函数f(x)在区间M上是减函数的充要条件是对于M上的任意两个不同的自变量值x_1和x_2都有(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0成立。 本文利用上述性质解一类数学问题,将显得简便,现举例说明之。 例1证明函数f(x)=-x~3 1在(-∞, ∞)上是减函数(91年全国高考题)。 相似文献
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1.选择题: (1)集合P={s|s=x~2 3x 1, x∈R}与集合Q={t|t=y~2-3y 1,y∈R},则P,Q的关系是( ) (A)P\Q (B)P=Q (C)PQ (D)P≠Q,且pQ,PQ (2)已知f(x)=8 2x-x~2,如果g(x)=f(2-x~2),那么g(x)( ) (A)在区间(-2,0)上是增函数 相似文献
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1.函数y=x+a/x(a>0)的单调区间由求 导数的方法易得,函数在[-a~(1/2),o)和(0,a~(1/2)上 是减函数,在(-∞,-a~(1/2)]和[a~(1/2),+∞)上是增 函数,函数在x=a~(1/2)时有极小值2(a~(1/2)),在x= -a~(1/2)时有极大值-2(a~(1/2)). 2.函数y=x+a/x(a<0)在(-∞,0)和(0, +∞)上都是增函数.函数y=x+a/x是一个重要 函数,它的单调性在解题中有着广泛的应用. 相似文献
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函数的单调性是函数的重要性质之一,有时对于一些函数的单调性我们不易做出判断时,可以使用导数进行判断:即设函数y=f(x) 在某个区间内可导,若f′(x)>0,则在这个区间上为增函数,如果f′(x)<0,则在这个区间上为减函数.但是应用时应注意在区间内 f′(x)>0是y=f(x)在此区间上为增函数的充分条件而不是必要条件.同时f′(x)<0也是在区间上为减函数的充分条件而不是必要条件. 相似文献
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已知常见基本初等函数的单调性后,如何确定由它们经加减、乘除运算得到的函数以及复合函数的单调区间,本文就此作一浅析.1 函数单调性定义仍是确定单调区间的一种最基本方法例1 求函数f(x)=x 1x的单调区间.分析 任取x1x1,所以 x2-x1>0.设f(x2)f(x1),则x1x2>1或x1x2<0.假定x1=x2=x,则由01得x∈(1, ∞)或x∈(-∞,-1).可知0、±1是区间的单调分界点.当0相似文献