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函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都大(都小),f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)〈0(f′(x)〉0),右侧f′(x)〉0(f′(x)〈0),就把点a叫函数y=f(x)的极小值(极大值)点,f(a)叫函数y=f(x)的极小值(极大值).可见极值点a处一定有f′(a)=0,但是f′(a)=0的点a不一定为极值点.处理极值问题除了课本上常见的列表定义判断外, 相似文献
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我们知道,函数连续性的概念是一种局部的概念,但函数在某一点连续则涉及到函数在该点邻域内的性质。一般来讲,给定区间[a,b],对任意一个包含在[a,b]内的点集E,不一定存在定义在[a,b]上的函数f(x),恰好以E为它的连续点集。特别,当函数的连续点集在区间内稠密时,可以看到这样的事 相似文献
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本文证明几类随机解析函数几乎必然没有有限的Nevanlinna亏值。它表示在统计意义下,只有很少的解析函数δ,使得δ(a,f)>0这里δ(a,f)表示 f 在 a 点的亏量。 相似文献
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多元函数取局部极值的一个充分条件 总被引:2,自引:1,他引:1
约定 :设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D( D Rn)上具有连续偏导数的 n元函数 ,若方程组 f′xi= 0 ( i=1 ,2 ,… ,n)有实数解 P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,xn0 ) ,则称 P0 是 f的一个稳定点。定理 设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D上具有二阶连续偏导数的 n元函数 ,P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,x0n)是它的一个稳定点。对任意点 P( x1,x2 ,… ,xn) ,记 aij =f″xixj( P) ,矩阵 A =( aij) =a11a12 … a1na2 1a2 2 … a2 n…………a2 1a2 2 … a2 n。若矩阵 A在稳定点 P0 的某邻域上恒是正定或半正定的 (负定或半负定的 ) ,那么 f在点 P0 处取局部极小 … 相似文献
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某些中值命题证明中之辅助函数构造的一种方法 总被引:1,自引:1,他引:0
在利用罗尔定理证明某些中值命题时,往往要构造一个辅助函数。对于构造性证明,跨度大,学生不易掌握,是教学活动中的一个难点。本文试图通过解一些简单的微分方程,构造出所需要的辅助函数,这种方法对只用一次罗尔定理的中值命题特别有效。罗尔定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则至少有一各ξ∈(a,b),使得:f(ξ)=0。既然罗尔定理是研究某个函数导数的中值特性,很自然我们有必要了解它原来的函数是什么?而这恰好是解微分方程最原始的思想,因此,对这类中值命题,为了构造相应的辅助函数… 相似文献
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我们知道,函数y=f(x)若存在反函数,则y=f(x)与它的反函数y=f~(-1)(x)有如下性质:若y=f~(-1)(x)是函数y=f(x)的反函数,则有f(a)=b(?)f~(-1)(b)=a.这一性质的几何解释是y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图像关于直线y=x对称.也就是说若原函数过点(a,b),则其反函数必过点(b,a).反函数中这个重要的小结论,别看它貌 相似文献
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设三次函数的一般形式为f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0).f′(x)=3ax2 2bx c.易知二次函数f′(x)=3ax2 2bx c(a≠0)的顶点坐标是(-b3a,f′(-b3a)),点(-b3a,f(-b3a))在函数f(x)的图象上.设点M(x0,y0)是函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的图象上的任一点,M关于点(-b3a,f(-b3a))对称的点M′(- 相似文献
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拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献
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平均数 总被引:2,自引:0,他引:2
众所周知:有限数列的几何平均数不大于它的算术平均数.在本文中,我们将推广这个事实,然后给出我们的结果的一些应用.我们假设所讨论的函数是单调的,这些单调函数的反函数在相关的点上有意义.找fi]还假设,我们所讨论的数列(包括经过变换的数列)的每一项都是正的.定义设有函数f和数列出,a1,a2,…,an,我们定义这个数列的f平均是即有限数列a1,a2,…,an的f平均是数列f(a1),f(a2),…,f(an)的算术平均的反函数.例1如果f是对数函数,那么,f平均就是几何平均.事实上,若f(x)=logax(a>0且a≠1),那么又f(x)=log… 相似文献
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众所周知,闭区间上的连续函数具有介值性。本文要讨论具有介值性的函数的连续性问题,同时还要讨论介值性与原函数的存在性之间的关系。首先指出,在区间[a,b]上具有介值性的函数不必在[a,hi上连续。例如,函数在区间上具有介值性,但却在x=0点不连续。在区间[a,b]上具有介值性的函数在[a,b]上虽然不一定连续,但我们有如下定理:定理1若函数在区间[a,b]上有定义,且在[a,b]上具有介值性,则函数f(x)在区间[a,b]上必不存在跳跃间断点。证用反证法。假设f(x)在区间[a,b]上存在一个跳跃间断点x0,即f(x0-0)、f(x0+0)都… 相似文献
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Grace定理的推广 总被引:3,自引:0,他引:3
Grace 定理的内容如下[1,P.164.例12].定理1 设 f(z)至多是 n+1(n>0)次多项式。若存在 a,b 两点,使得 f(a)=f(b),连接 a,b 得到一直线,以这直线的中点为园心,以仅与 a,b 和 n 有关的 R(n,a,b)为半径作一园,则在这个园内或其境界上至少有一点 z,使得 f′(z)=0.本文证明,多项式的限制条件可以去掉,而代之以正则函数即可.我们有下面的定理.定理2 设函数 f(z)在区域 E 内正则,a 为 E 内任意一点,则在点 a 的某个邻域 G(?)E 内,对于任意点 b∈G/{a},必存在点 z∈G,使得 相似文献
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文[1]对三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d对称中心的研究中,同时也涉及到了它的导函数f′(x)=3ax2 2bx c的对称性.但是没有对一般的导函数与原函数的对称关系展开讨论,本文将对此展开进一步的探究.首先,我们来探究,原函数对称时,导函数的对称性如何?若函数f(x)关于x=a对称且可导,则f(x)=f(2a-x).根据复合函数导数的性质易得:f′(x)=-f′(2a-x),所以导函数f(′x)关于点(a,0)对称.同理可得:若函数f(x)关于点(h,k)对称且可导,则导函数f′(x)关于直线x=h对称.因此,我们得到如下结论.定理1若函数f(x)关于x=a对称且可导,则导函数f′(x)关于点(a,0)对称.… 相似文献
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高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法. 相似文献
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高中数学反函数问题综述 总被引:2,自引:0,他引:2
反函数是高中函数问题的重要组成部分 ,以它为知识的一个交汇点 ,上下串联、并联 ,可以把函数与方程 (包括曲线与方程 )的一些重要基础知识、基本技能、基本方法和基本应用联成一个“局域网” .1 反函数的存在条件1 函数y=f(x) (x∈D ,y∈M)存在反函数的充要条件为下述情形之一 :( 1 )确定该函数的映射f:D→M为D到M上的一一映射 ;( 2 ) x1 、x2 ∈D ,当x1 ≠x2 时 ,都有f(x1 )≠f(x2 ) (或只要f(x1 ) =f(x2 ) ,就有x1 =x2 ) ;( 3)y =f(x) (x∈D ,y∈M)的图象与直线l:y=a(a∈M)有且仅有一个公共点 .2 单调函数必存在反函数 .2 反函… 相似文献