两道课外练习题的另证

《中学生数学》2011年7月(下)期课外练习中的初二年级第1题和第2题有另外的如下证明方法,供同学们参阅.题1(初二年级第1题)如图1,等腰△ABC中,顶角∠A=100°,∠B的平分线交BC     

对一道题目的探究

初二、初三年级的同学都解过这道题 ,但这道题究竟是两解 ,还是多解 ?在许多同学心中至今还是个谜 .下面笔者与大家共同对这道题作一研究 .题目　若一元二次方程的两根之比是2∶3 ,其判别式的值等于 4,求这个方程 .分析　一般同学们的解法是先将方程的两根分别设为 2k、3k .利用韦达定理作一个一元二次方程 .利用已知条件Δ =4,建立关于k的方程 ,从而求解 .解法一　设所求方程的两根为 2k、3k .故所求方程为x2 -(2k + 3k)x + 2k·3k =0 ,即　x2 -5kx + 6k2 =0 .因为　Δ =4,所以　 2 5k2 -4× 6k2 =4,即　k2 =4,所以　k =± 2 .所以所求的方…     

从消参的角度探析一道解析几何题的简解

2011年郑州市高中毕业年级第三次质量预测理科第20题(文科压轴题)是一道较难的解析几何题.该题主要考查直线与椭圆的位置关系,其解答的核心思想是消去"非对称目标函数"中的参数.试题和标准答案如下:已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点.过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点.记直线AD、BC的斜率分别为k1、k2.     

一道条件多余的赛题

2010年北京市中学生数学竞赛初二试题第2题:如图1,直线k∥l,∠4-∠3=∠3-∠2=∠2-∠1=d>0,其中∠3<90°,∠1=50°,则∠4的最大可能整数值是(     

多方探析一道课外练习题的新证

题目如图1,等腰△ABC中,顶角∠A=100°,∠B的平分线交AC于点E,求证:AE+BE=BC.该题为《中学生数学》2011年7月(下)课外练习初二年级的第1题.贵刊2012年3月(下)"两道课外练习题的另证"一文给出了别于供题者的一个另证,阅后受益匪浅.此题条件清晰,结论简明,能较好地考查学生驾驭所学几何知识的应用能力.下面将多方探析其新证(所用知识不超出初二范围),供读者参考.分析如图,以     

一道课外练习题的别证

<正>《中学生数学》(初中版)2016年第4期47页"课外练习"初二年级第2题,及封底"智慧窗"第6题"黑色三角形的面积",实质上是同一道题,此题不但证(解)法多,而且还具有很好的思维开拓价值.现给出有别于"参考答案"的几种不同证法.原题如图1,在△ABC中,已知D、E、F分别是边BC、CA、AB的三等分点,依次连结AD、BE、CF,它们分别相     

一道二项式证明题的证法研究与改造

在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课　题　 换元法适用年级　初二年级学期　2 0 0 3— 2 0 0 4学年度第一学期　　已知x=(x2 + 3x-2 ) 2 + 3 (x2 + 3x-2 ) -2 ,x2 + 2x-2≠0 ,求x2 + 4x的值 .分析与解答　令　x2 + 3x -2 =t①则　t2 + 3t-2 =x②① -②得(x-t) (x +t) + 3 (x-t) =t-x,∴　x =t或x +t+ 4=0 .x =t时 ,x2 + 3x -2 =x ,x2 + 2x-2 =0不合题意 ,舍 .x+t+ 4=0时 ,x2 + 4x -2 =0 .∴　x2 + 4x =2 .名人名言志不强者智不达———墨　翟老师课堂用题1 .分解因式　 (x2 +x + 1 ) (x2 +x + 2 ) -1 2 .2 .比较A与B的大小 .其中A =3 6892 2 1 3 271 2 43 2 1 0 1 ,　B =3…     

妙用“1”的代换解题一例

对上述一赛题的解法较多,有三角法、几何法、解析法、复数法、代数法及矩阵法等,但妙用“1”的代换法是最简捷、巧妙了,而容易被初中学生所接受. 1985年北京地区少年数理竞赛数学试题及1991年第一届《长江杯》数学通讯赛(初二年级)试卷中有这样一道赛题: {,’ ,2一‘已知}广 扩     

一个条件不等式的推广

全苏第21届数学奥林匹克竞赛(八年级)有这样一道试题: 正数a,b,c,A,B,C满足条件 a A=b B=c C=k求证:aB bC cA相似文献   

两道高考姊妹题的赏析

2012年高考落下帷幕,笔者在研究高考题的过程中,发现2012年江苏卷第18题第(3)问与2006年湖北卷第10题是一对姊妹题,现给出这两道姊妹题的解法及分析,与大家共赏.题1(2006年高考湖北卷第10题)关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的     

上期课外练习参考解答

…初一年级…1.[(1①2)①3]一巨1①(2①3)]一2.232咤又5“十一6“一9工=2000 4=ZDO4.{初二年级… 1.如图,倾斜水槽使水面恰好过Ac二点,则水的体积为水槽总容积的含,据1.2升的水质量为1.2千克即得答案.再根.250克..略.…初三年级…1.如图,连结AD、AE、BE、CD,△ABE、△ADC都是等边三角形.匕DAE一2.60(5一2)一1800 512“.易知此时即石云所在圆的圆心角为12“,又其半径为a,故所求的周长为石12.7ro al180Bt二、、、_尸汉厂二汾C刀\/E2.(1)由题意,有{无 1妻。,{1一2‘1_t(一2了k 1)乙一4(1一Zk)(一1)>0.解得 .,,_,一,,1一1乓灸左<长乙…     

两道课外练习题的另解

<正>看到《中学生数学》杂志(初中版)2021年第1期第47页,有两道初二年级的课外练习题,我很感兴趣,自己琢磨做出来了,很开心．又看见第9期第37页对其中一道题又做了拓展与优化,我的做法和他们的都不一样．原题1若a-b=b-c=c-d,求证:a²-3b2-3b²+3c2+3c²-d2-d²=0.     

借“1／x＋a＋1／x＋b=1／x”发挥

题中方程的实数解 ,众所周知 ,仅当 ab>0时 ,x=± ab.如果 a,b∈ N ,a≠ b,且只需解这方程的正整数解 ,那么必须满足 ab=k2 ( k∈N) .本文仅借方程的构形 ,发挥它正整数解的功能 ,来揭示“一个单位分数表示为两个不同单位分数的和”的实质 . (注 1)由上得 :1k=1k a 1k b ( 1)令 k2 ( =ab) =pe11 · pe22 … peii … pett.( pi 为素数 ) .不难推出 ( 1)的不同表示法的种数 =d( k2 ) -12 .(其中 d( k2 ) =( e1 1) ( e2 1)… ( ei 1)… ( et 1) ) .令 ( 1)中 a=k2 ,b=1.经移项整理得1k( k 1) =1k-1k 1( 2 )由 ( 2 )可求出 ( n-1)个形如它左…     

谈一道竞赛题

2001北京市初二年级决赛题四(本刊第6期)是一道很好的几何题.看似简单,却不容易.原题如下: 如图,在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到E,连结DE,恰有 AD=BC=CE=DE.求证:∠BAC=100°.     

另解课外练习题两例

<正>贵刊2017年4月下课外练习栏目初二年级的第2题:如图1,直角梯形ABCD中,∠C=45°,AD=1,CD=22^(1/2),BE⊥CD于E,求BE之长.参考答案解延长AD至F,使得AF=BC,连CF,易知:四边形ABCF为矩形,且△DFC为等腰直角三角形.在Rt△DFC中,由勾股定理知CF=FD=2.∴AF=AD+DF=3.     

一道训练数学基本功的练习题

<正>《中学生数学》2017年4月下期,课外练习初二年级第2题.如图1,直角梯形ABCD中,∠C=45°,AD=1,CD=22^(1/2),BE⊥CD于E,求BE之长.这是一道简单题目,但在此题中数学的"四基",即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验都有所体现,很好地培训了学生的数学基本功.本文用了七种解法,前3种解法平移了直角腰,解法4、5平移了斜腰,解法6、7构造了等腰直角三角形,给出了解答此题的不同思路.     

上期课外练习解答

初一年级 fz—P 5。1.关于z、Y的方程组得{ lY～P 7. 由x>y得 户 5>一P一7. .‘. 户>一6.2.令。r。4-2ax 5b--(5bx 3a)一(x--1)(z一7)女, 则z。 (2a一5b)x (56～3a)=kx。一8kx 7k. r女一1.则{2a--56一一s点.解得{:三:. L的一3a一7k.3.11个.有15。,30。,45。,60。,75。,90。,105。,120。,初二年级1.如图,构造一个边长为6的 正方形.由勾股定理得 AB=^,BC=^毫. CD=、,10.AD=6 q 2. 易知AB Bc CD>4D, 即v厂i v厂五十/而>6 v厂虿.2.将方程两边同乘(z 1)(z一1),并整理得 (3—2n)z一1.马T—l戏?一一1日q,7『几.1I住兀胖此时n一1或“i2 当…     

一道课外练习题的另解

《中学生数学》2009年第11期(下)课外练习初二年级第3题是:如图1,△ABC中,∠B=90°,AM=BC,CN=BM,AN、CM交于P点,求∠APM的度数.这是一道较有思考性的好题,由于问题的条件与结论表面上风马牛不相及,似有"山重水复疑无路"之困.仔细揣磨,结合图形特征、     

一个"数学问题"推广的简证

《数学通报》2005年第一期刊出的1533号题是:在锐角△ABC中,求证1sin2A sin12B 1sin2C≥1sinA 1sinB 1sinC.本文将由一个简单的引理出发,给出该题指数推广(命题)的一个简证.引理若α,β均为锐角且k>0,则有1sink2α sin1k2β≥sink(2α β).证sin1k2α sin1k2β≥2(sin2α1·sin