佈列一次方程教學中的分析與綜合

如果學員在算術學習中能熟練地運用分析與綜合的方法解析應用題,已經熟悉了應用題中的數量間的相依關係。同時,如果教員不是有意或無意地把代數學科與算術學科對立起來,而是按科學的系統把它們自然地連接起來,那麼布列一次方程的教學就不是什麼困難的事,但這只是問題的一方面,問題的另一方面是:由於布列方程與布列算式之間的差異,由於布列方程的中心問題是尋找數量間的相等關係。因此,對於如何運用科學的分析與綜合的方法以進行布列方程的教學,這仍是值得研究的問題。布列方程中的兩種解析方法是明顯的:先找出未知數與已知數的相依關係,組成代數式,從而發現數量間的相等關係,布列方程——這是把各個部分統一為整體的思維過程,我們叫它為“綜合法”;理解了應用題的條件,先在思想上有     

我怎樣教指數方程及對數方程

1.分析教材及根據學生水平,決定教學目的: 指數方程及對數方程,這節是高中代數學第121節,為高中二年下學期的課程,它緊接著對數學完之後即在懂得對數的若干性質,及二次方程解法知識的基礎上而學習的,但因此二類方程各無一般解法,在小學階段只能限於若干特殊的例子,也就是可化為普通的一次方程及二次方程來解的問題而已,課本中只有①解方程2~x=1024。②解方程a~(2x)-a~x=1。③解方程1g(a+x)+1g(b+x)=1g(c+x)三個例子,而習題本中除了簡單的方程外,尚有比較複雜而且常有增根失根的情況,在另一方面,對於為什麼要學習指數方程與對數方程,以及比種超越方程不能都以代數方程的解法去解它,課本中未曾提起,根據我班學生一般水平,在代數知識上是參差下齊的,對於二次聯立方程的知識還不很豐富,對於同根定理的認識更是膚淺,因此對本節的教學要     

單葉函數的係數(Ⅱ)

<正> §1.引言 在[1]文中,作者曾經對於單葉函數的係數進行討論,在本文中,將繼續之.在本文中所用的記號與[1]相同,不再一一重複定義,例如:記在單位圓|z|<1中k次對稱正则單葉函數的全體為S_k,特別記S_1,=S等等.     

關於牛頓二項式的問题

按照中等代数教程的某些章節來看,習題課本中現有的練習還是需要改善的,因為這些習題大抵都是码於同一類型。特別是有關二項式定理方面,所設習題多半是按照一般項的公式去求展開式中含某文字某次乘方的某項,就練習的性质上来说,那是極其不自然的;並且特別是引起了某些部分的重複。共實關於牛頓二項式可以编入一些有趣的习题,使二項式定理應用到數學上各種不同的部分裏去。     

在十年级裏代数方程的讨论

通過“方程的討論”課題後,學生必須學會解决相應的習題,給所得到的解答以充份的討論,並附之以明瞭的解釋。對於習題的解答,必须先行對於討論的意義及解答的存在規則作基本的理論上的研究。在吉謝遼夫的代數教本上有和方程的討論相關的一章,然而那一章存在以下缺點:1)“方程的討論”一名詞的定義不明確;2)方程的解必須和對應數字的集合相關聯,這一思想的表達不明確;3)只用五種典型的分析情形顯示討論的輪廓,而沒有討論到這种情形:當方程的解應該只属于自然数的集合、整數的集合等等。     

無窮小

無窮小是以零為極限的變量,對於這種變量引用普遍的極限定義可得如下的深入的定義:若對於任何指定的正數ε,變量y在其變化過程中達到這樣一個時刻,從該時刻起y的絕對值恒保持小於ε,則變量y稱為無窮小,如n依次取所有的自然數1,2,3,…时,變量為無窮小,因為當n>100時y<0.1,當n>10000時y<0.01,一般當n>1/ε~2时y<ε。若變量y的極限為有盡數a,则極限式limy=a相當於關係式lim(y-a)=0,即相當於差(y-a)為無窮小,因此我們也可以反過來:把無窮小的定義—特殊場合     

對於數π的瓦理斯公式,萊布尼茲公式和歐拉公式的初等推導

在高等數學中,推得了許多把數π表爲無窮級數或無窮乘積的公式,這些公式中最著名的是瓦理斯公式2/1·(2/3)·(1/5)·(1/5)·(5/6)·(6/7)·=π/2 (1)萊布尼茲公式 1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…=π/4 (2)歐拉公式 1+(1/2~2)+(1/5~2)+(1/4~2)+…=π/6~2 (3) 在高等學校裏,這些公式普通是在研究積分學(瓦理斯公式),研究函數展為冪級數(萊布尼茲公式)和展為三角級數(歐拉公式)的理論時被證明的,我們認為,對於大學裏的高等代數教師,特別,對於師範大學的高等代數教師來說,下面的一個這些公式的簡單推導,它只基於複數的運算法則和多項式代數的基礎,可能引起興趣;實際上,這個推導甚至對於中學生來說,都是可以理解的。     

組合算法中的一對互逆公式及其應用

在這裹我們來介紹一對異常簡單的互逆公式(或稱反轉公式),就其性質來講,甚至此初等數論中的(?)公式還要简單些。公式的證明亦只用到初等代數裏的一些组合算法的知識。 設f(k),g(k)都代表任意的函數,其中的變數k只取非負整數值:k=0,1,2,3,…。又以(n/k)表示二項展開式的係數,當k>n時,共值規定為零,我們所要介紹的互逆公式便是:     

對代數學教程中近似算法的一點意見

作者在本文中举出(?)著,赵根榕、張理京译代數學教程第二章“近似算法”及第四章“幂舆根”中所存在的一些問题並提出了修改的意見,我們在这里特別指出作者在本文中所提出的準確有效數字的定義的修改意見与原書有着原则上的分歧,原書的定義是按四舍五入法的標准来确定一个近似数的有效數字的,四捨五入法是最好的近似数的記法,在中等技術學校里把計算和测量的结果按四捨五入法记錄下來這個規則介紹給學生對於养成學生的优良習慣來說是十分必要的。结合四捨五入法的規則來下準確有效數字的定義是有根据的。作者認為在實践中近似数可以採用四捨五入的記法,但在理論上準確有效数字不能以四捨五入的記法作為判斷的準繩,所以作者另下定義,這是和原書精神不一致的。 關於有效數字的定義,有規定以不超過近似数的最末位上半个單位為標準的(例如(?)的书),亦有規定以不超過最末一位上一个單位為標準的,也有兩種都採用的(例如(?)的近似计算法,但該書特别指出按四捨五入法記成的近似數,它的有效數字的定義是以下超過最末位上的半個單位為標準的)。闵乃大先生在近似數誤差分析(數學通報1954年10,11,12月號)一文則把符合第一種定義的数字稱為準確有效數字而把符合第二種定義的數字稱為可靠數字以示區別。究竟应該把那一種有效数字的定義介紹給中等技術學校的學生或者把兩種都介紹給學生的問题,我們希望有關讀者能展開討論,好有所决定。     

數列的教學

此篇原文係作者在莫斯科第四十五青年工人學校講授數列所作,玆由熊振翔,張義燊兩同志自“青年工人學校教師工作經驗談”中譯出,刊登於此,以供中學教學老師們參考,查莫斯科第四十五青年工人學校規定講授本課題的時間是11小時,故作者編為11課;我國各類型中學教學大綱對於本課題所訂的教學時間未必舆此相同,請各位老師們依照實際情况,將教材及時間作合理的分配,而勿為此所拘,再本文原來的篇名為“数列”,現在的篇名是編者所擬的。     

積分∫F(x,y,y′,…,y~((n)))dx的等價問题

<正> 命g為x,y平面上由所有保切變換所構成的羣。在本文內我們將定義一類廣義空間使這空間與積分∫F(x,y,y′,…y~((n)))dx對於羣g而言有不變的聯繫。所謂一空間對於羣g而言與積分∫Fdx有不變的聯繫,意義是:如我們施用羣g     

中国数学會天津分會學術講演會纪要

中國數學會天津分會根據會員的意見,認為對於近似計算存在問题很多,很多教師過去都未加注意,有的教師去年講過貝爾曼著數學解析教程及加里寧著代數學教程(皆係張理京等譯)也發現很多不明確的問題,其他如中學的幾何物理,大學的許多課程的蘇聯教材中都很重視這點,天津分會根據這種情况遂於六月廿七日上午請中國科學院數學研究所研究員閔乃大同志作了一次報告。 閔乃大同志在報告中指出近似計算的重要性,計算數學和理論數學在處理問題中的區别,又详細解釋和比較上述兩書中許多名詞的含義,也指出一些翻譯文字的可能錯誤,詳細地解釋了絕對誤差,相對誤差舆近似數的關係,近似數的基本運算(加减乘除乘方開方求對數等)所發生的誤差問题。以後並單略介紹方程的近似解,並舉一突出的例子來喚起大家的注意,這是一個普通二元一次聯立方程,由这方程求出的解的誤差比這解本身的值還大,因此這種解是毫無實際意義的,最後在     

給“數学教學”編者的信

在第30版■吉西略夫的代數教科書中的第57頁上,所叙述的雙曲線定義,能够把學生引入迷路,就是:“函數y=k/x的圖象稱為雙曲線。當k與x為正值時,雙曲線在第一象限,但當k為負而x為正時,它再第四象限,當變數x為負值時,即得雙曲線的另一枝,當k>0它在第三象限,但當k<0它在第二象限。”把參數與自變數的值在一句話中混淆起來,無論就科學的或是教學法的觀點來說,都是不允許的,這樣只能使學生糊塗。教本中的這個地方應該如下地叙述: “函數y=k/x的圖象稱為雙曲線。首先假定k為正,於是當x的值為正時,對應的y值也為正,而我們得到雙曲線的點在第一象限內,當x的值為負時,雙曲線的點在第三象限內。由於對於x=0的值,任何y的值都不能與之對應,所以在縱軸上沒有雙曲線的點;因此整個曲線分成兩枝,一枝在第一象限而另一枝在第三象限。     

關於廣義狄黎希萊級數的若干問題

<正> 導言 在本文中所謂廣義狄黎希萊級數就是指具有複指數的狄黎希萊級數.黎提在研究常係數無限級線性齊次方程時討論到有間隙的這種級數。希爾與隆茨分別獨立地研究過它的收斂區域,並且獲得了若干共同的結果.范禮隆將黎提與希爾的結果加以推廣,並且研究由這種級數所定義的整函數,特     

某些有窮級數的求和

如果注意地撿查一下初等代數的課程,不難發覺,共中有幾章和其餘的材料没有聯系,如序列、組合論等等,自然就想到,未必不能把這些間題完全從課程大綱中刪去。 說序列是形成方程和解决方程的很好的材料,這種論據是下確鑿的,因為可以舉出許多在這方面並下遜色於序列但现在中等學校裏並下講授的問題,說序列是學習對數所必需的,這種說法也有一些陳腐了,因為在近代對敷是用函數的觀點來說明的首先序列是組成級數學說一部分,如果在課程大綱中沒有級數,那麼序列就失去其意義。在十八世紀以及十九世紀,俄國的數學家們曾予級數以特別注意並且得到重大的成就,特別是對於數學有興趣的青年學生們似乎應該熟悉我們的數學家的工作。我們還要指出一種情况:即中等學校裏課外的數學作業有些片面性。徵求解答的問題,通俗性的報告(數的發展     

讲授因式分解的几点经验

初中代數課本里因式分解部分.是紧接乘除法公式之後來講解它的逆運算,同時又為以後分式,分式方程的學習奠定基礎.它在整個代數課程的有機的體系里所佔的地位及其重要性、自不待言.目前所用的課本(東北人民政府教育部根據蘇聯中學教科书所編譯的課本)對因式分解所用各種方法有精簡扼要的叙述,習題本中附有200多個習題,在初中代數教學進度表(草稿)內規定用24小時的授課时間來講授這一部分,我們怎樣根據教學大綱的規定,领会先進教材的精神实質,去教好這一部分課程,使學生獲得完整的科學知識與熟練技巧呢?現在把我從实際教學過程中所獲得的經验寫在下面:     

論分析舆綜合及其在演解算術習題過程中的地位

分析與綜合是認識的基本方法。“…思維,——恩格斯說——不僅在於把同類的因素,綜合减為統一體,而且更在於以同樣的程度把意識的對象分解成它們的因素,沒有分析,不會有綜合。”在我們的訓練方法與實践中,分析與綜合不應被看作是各個隔離的,而是彼此成為辯証的統一體。事實上,不但在解複雜習題中,而且就是在解簡單的一次運算的習题中,學生往往同時採用分析與綜合,如果學生從習題的已知部分過渡到題中的問题,或是從習題中的問題開始,組織了解題計劃,並選擇了由問題所供給的解題所必需的資料(已知數)——在兩種情形中,他既要利用分析,又要利用綜合。     

關於行列式理論的公理構成

行列式起源於解綫性方程組的問題,為了將解2未知量或3未知量綫性方程組的克來母规則推廣到n未知量的情形,我們從2階及3階行列式去找它們的內在规律,然後依照這種規律去定義n階行列式,並證明這樣定義的n階行列式確能使克來母規則成立。這在一般高等代數書上都有介紹,這裏不多說(可參看柯召譯庫洛什著高等代數教程第二章,此書以下簡稱庫高。) 由n階行列式的定義可以推出它們的很多性質,在庫高§23中曾指出利用這些性質中的若干條也可以反過來决定行列式。即若一方陣函數適合該若干條性質,則此函数必為方陣的行列式,這告訴我們對行列式可以有比較抽象的講     

結式定理的一種證法

在解多個未知量的高次方程組時,消去法是重要的方法,而施行消去法的主要工具则是結式,關於結式定義及其行列式表示法,各種高等代數書中都有介紹,但在證明結式及其行列式表示式的相等時,所用的方法或則偏於抽象,不易為同學所徹底接受〔例如庫洛什高等代數數程(以下簡稱庫高)及奥庫涅夫高等代數(以下簡稱奧高)中的證法〕,或則不够詳明(例如狄克遜初級方程式論§112的證法),下面先略述這些證法來說明我的意見,然後介紹一種直接計算的方法,不算太長,但是比較好懂。一.常見的證法概述以下綜合上引三書的講法,作一概括的叙述,以說明問題之所在。 (一) 先談一個特殊情形,即當域P上多項式f(x),g(x)次數均大於零,且首係數均為1時: f(x)=x~n+a_1x~(n-1)+…+a,     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間