浅谈对称性在数学发现中的作用

对称性是数学美的重要特征 .“美和对称紧密相连 .”(Ｗｅｙｌ)在数学历史的发展过程中 ,由对称性因素和对称美的考虑而引出的新概念和新理论不胜枚举 .各种逆运算的建立 ,一系列数域的扩张均与对称性因素密切相关 .由常量到变量、由确定性到随机性、由有限到无限、由精确到模糊等等 ,无不显示了对称性美学因素在数学发展中的重要作用 ,显示了数学发现中追求对称美的重要意义 .同样 ,在数学教学中 ,问题的对称性 ,常常能够启迪思维 ,启发人们探索解题思路 ,发现巧妙解法 .1　利用对称性 ,预测问题结果当人们面临一个课题或解一道数学难题时 …     

数学教学中的美育初探

随着数学教学改革的深入进行,数学教学中的各种实践和理论问题,越来越引起人们的关注,数学教学中的美育问题,就是令人瞩目的问题之一。本文仅对诸如有没有数学美?什么是数学美?数学美的教育价值和科学价值如何?以及怎样在数学教学中进行审美教育等问题,作一些初步的探讨,并以取得的点滴成果,对近年来一些搞教育科研的同志们提出的建立作为数学教育学一个分支的边缘科学:《数学美学》的主张表示赞同和支持。一什么是数学美? 究竟有没有数学美?我们想,这应当是本理论探讨的出发点。对这个问题,一些喜爱数学的人或数学家说:有。他们是从自己的实际感受中说这话的。著名数学家高斯说“在数论中常常有这样的事:由于某种意外的成功而得到新的优美的真理……”数学家波     

浅议函数的周期性和对称性

函数的周期性和对称性是函数的重要性质,是研究函数图像及性质的重要工具.笔者在近几年的高三数学教学中发现:学生对一些题目中所隐含的“周期性或对称性”的条件不能正确理解、区分、运用,而这是近几年各种测试的一个命题热点,故笔者在此对函数的周期性和对称性略作小结,供参考.     

关于数学建模课程的一些思考

数学建模课程的教学目标是培养学生应用数学解决实际问题的能力.根据多年的教学实践经验,本文探讨如何在教学过程中注重数学思想方法的传授和能力的培养.对目前教学过程中存在的一些问题进行了剖析.介绍了我们在课程的课外延拓方面所做的一些工作.     

中学数学思维中的美学因素

中学数学思维中蕴含着大量的美学因素 .如 ,化简原则是数学简洁美的要求与体现 ;极限法、特殊化、正难则反是数学奇异美的要求和体现 ;从待证命题的对称命题 (如逆否命题、伴随问题)的真假或解答而获得启发 ,是数学对称美的要求与体现 ;一般化、方法的内在关联性是统一美、和谐美的要求与体现 .我的教学实践体会 ,从数学美学的角度审视数学知识 ,并以此渗透于知识和解题的教学实践 ,对促进学生从认识论的角度分析、理解数学知识和对提高分析数学问题的能力和效率 ,对增强对数学的积极情感和信心都是十分必要的 .特别地 ,又常可使数学教学讲…     

关联正方形问题的向量解法

正方形是一类完美的多边形,具有中心对称性与轴对称性,它有一系列特殊的线段和角度.沈文选教授认为,由于正方形的参与,平面几何的很多著名的问题显得格外美妙有趣,在国内外各类数学竞赛中,蕴含正方形及其美妙结论的试题也举不胜举.……     

小学数学教学中“美”与“趣”的融合策略

小学数学是一门独特的科学,可以激发学生思维,教师可以充分利用数学中蕴含的美学因素为学生创造有趣的课堂,使学生感受到数学学习的独特之处.但小学数学教学中教学单一、趣味性不足的问题日益突出,不利于培养学生的数学思维与数学素养.因此,本文分析了小学数学教学现状,并论述了“美”与“趣”在小学数学教学中的融合策略,希望为教师引导学生“识数学之道”,创造有趣课堂提供帮助.     

数学探究一例

本文中数学探究即数学探究性课题学习,是指学生围绕某个数学问题自主探究、学习的过程.这个过程包括观察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明.数学探究是一种新的学习方式.笔者认为,在高中数学教学中,适当开展一些数学探究性学习     

对称分析法

数学中的对称性 ,随处可见 .它不仅是一种审美标准 ;而且是一种探索工具 ,在解数学题 ,特别是一些竞赛题时 ,若能分析和挖掘题中的对称因素 ,并利用对称性设计相应的解法 ,往往能避开一些难点 ,使问题得以顺利解决 .这种通过分析对称性解题的方法叫做对称分析法 .下面通过具体的素材展示对称分析法的力量和美 .1　一个问题中存在对称性可提供减少工作量的办法例 1　设 0 <ａ <1 ,0 <ｂ <1 ,0 <ｃ <1求证 :ａｂｃ(1 -ａ) (1 -ｂ) (1 -ｃ)≤ (14) 3.分析　由于左式是对称式 ,所以只要证明ａ(1 -ａ)≤ 14即可 .因ａ和 1 -ａ都为正数 ,所以ａ(1 …     

利用对称性解图形问题

利用对称性解图形问题徐岳灿（上海中学２００２３１）曲线围成图形的形状和面积以及几何体的体积和格点等问题，近来在国内外数学竞赛中常有出现．为了迅速正确求解这类图形问题，利用它们的对称性往往是行之有效的方法，本文将通过一些例子来说明．１．利用图形本身的对...     

对称思想在解高考试题中的应用

对称思想是研究数学问题常用的思想方法,有些数学问题中存在一些结构对称,形式和谐的问题,隐含着某种对称性,如果抓住对称性,根据对称的特点,恰当地施以变换,就能使解答简捷、明快,得到特殊的解题效果．分析近十余年的高考试题,可利用对称解答的题,几乎从无间断...     

再谈平方的美妙算法

"哪里有数,哪里就有美"(普洛支那斯)."数学的美表现在数学的内容结构上和方法上,它包含简单性、统一性、对称性等具体内容."①笔者在《平方的美妙算法》(以下称"文1")中所介绍的方法恰好体现了这一美学原则.作为"文1"的延续和完善,笔者再推出这类平方数的另一种美妙的算法,它同样具有上述数学美的特征.     

数学教学中的想象与联想漫谈

数学特别是现代数学的表述址抽象的,但是人们在创作和教学的思维活动中,需要借助于形象.正是想象和联想,使得抽象的数学具有现实生活的韵律和色彩,以致有人说数学是美学.富有想象力,才能使数学教学充满活力,具有魅力,才能使抽象的表述与人们已有的可感知的形象相联系.这是教学活动取得成功的基本前提.     

例析高考三角函数图像对称性问题

纵观近三年全国各地高考试题,都不同程度地考查了三角函数图像对称性问题,尤其是正弦型函数y=Asin(ωx+ψ)、余弦型函数y=Acos(ωx+ψ)的对称性更为常见.为此,在复习三角函数图像对称性问题时应加强基础知识、基本技能和基本的数学思想方法的训练,作好总结归类分析以便于掌握.此类问题一般有两种类型:一是由三角函数的解析式求其对称轴或对称点;二是由三角函数的对称性求解其他性质问题.……     

函数对称性的探究

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础．函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地解决问题,对称关系还充分体现了数学之美．笔者拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质．     

函数教学中若干似是而非问题

在教学调研中,我们发现高中师生中存在一些与函数有关的似是而非问题,剖析其原因,发现是受一些中考试题、数学杂志和教辅资料上同类数学问题的影响.下而选其几例加以剖析.……     

一道题,三节课——笔者的习题教学课

数学新课标在原来的培养学生分析和解决问题能力的基础上,进一步提出培养学生发现和提出问题的能力.我们数学教师如何将这种理念贯穿到我们平常的数学教学中,是我们数学教师应该深入思考和反思的.近段时间笔者有意在培养学生发现问题的能力上做了一些有意义的尝试,效果不错!这里笔者将一道几何题的教学推进过程呈现如下.     

关注数学活动 提升数学素养——以《勾股定理》应用为例

在新课程的指导下,数学教学中越来越关注学生数学综合实践能力的培养,基于此,在教学中可以开展一些拓展性课程,多让学生参加一些数学活动,让学生在活动中发现,在发现中探究,在探究中解决,在解决中积累,进而培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以此促进学生综合能力和数学素养不断提升.     

与函数周期性有关的两类问题

函数的图象与性质是高中数学的重点内容,也是函数知识与解析几何知识的交汇点,2001年全国高考数学压卷题就是涉及函数奇偶性、对称性、周期性、数列、数列极限等的综合题,本文就与函数周期性有关的两类问题作一些探讨.     

浅谈对称性在概率论中的应用

<正>对称性通常指图形或物体关于某个点、直线或平面而言,在大小、形状、排列上具有的一一对偶关系.数学中的对称性既有图形、数式的对称,也有概念、命题、法则或结构的对称.数学中的对称性不仅是一种美的享受,也是一种数学思想和方法.如果在概率计算中有意识地利用事物的对称性,使思维与推理高度统一,不仅可以更好地把握事物的本质,还能简化解题过程,起到事半功倍的效果.例1设甲抛n+1次硬币,乙抛n次硬币,求甲所抛正面数多于乙所抛正面数的概