空间向量解题中的常见错误例析

运用空间向量处理立体几何问题 ,可以减少辅助线的添加 ,避开一些复杂的空间想象 ,降低了解题难度 .但笔者在教学中发现同学们在进行空间向量的运算时常出现错误 .现举例剖析如下 ,供同学们借鉴与参考 .1　混淆向量的和 (差 )与向量的数量积例 1　已知a =( 2 ,- 1 ,5) ,b =( - 3,1 ,4 ) ,求a +b与a·b .错解 :a +b =2 - 3+ ( - 1 ) + 1 + 5+ 4 =8.a·b =( 2× ( - 3) ,( - 1 )× 1 ,5× 4 ) =( - 6 ,- 1 ,2 0 ) .剖析　此题错误原因是将向量加法的坐标运算与向量数量积的坐标运算法则弄混淆 ,也说明对向量加法运算与向量的数量积的实质没有…     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

运用向量的一个性质研究不等式

新教材增加了向量的内容 ,其中两个向量的数量积有一性质 :|ａ—→·ｂ—→|≤ |ａ—→|·|ｂ—→|,当ａ—→ 与ｂ—→ 同向时ａ—→·ｂ—→= |ａ—→|·|ｂ—→|,当ａ—→ 与ｂ—→ 反向时ａ—→·ｂ—→ =- |ａ—→|·|ｂ—→|,也即当ａ—→ 与ｂ—→ 共线时 |ａ—→·ｂ—→|=|ａ—→|·|ｂ—→|.运用这一性质解证不等式问题 ,给人耳目一新之感 ,使人收获颇丰 .1.求最值例 1　已知ｍ ,ｎ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且ｍ2 +ｎ2 =ａ ,ｘ2 +ｙ2=ｂ,那么ｍｘ +ｎｙ的最大值为 (　　 ) .(Ａ)ａｂ　　　　　 (Ｂ) ａ +ｂ2(Ｃ) ａ2 +ｂ22 (Ｄ) ａ2 +ｂ22解…     

八年级数学(华东师大版)第一学期期末自测题

A组一、选择题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1 .下列计算正确的是 (　　 ) .A .x3 ·x2 =x6　　　　B .(a3 ) 2 =a5C .(ab2 ) 3 =ab6D .2x4·3x4=6x82 .下列各式中 ,不能运用乘法公式进行计算的是(　　 ) .A .( 3a+4b) ( 3b -4a)　B .(a+0 .5 ) (a -12 )C .(x +y) ( -x -y)D .(a2 +b2 ) (a2 +b2 )3 .下列现象不属于平移现象的是 (　　 ) .A .滑雪运动员在平坦的雪地上直线滑行B .大楼电梯上上下下迎送乘客C .电风扇叶片的旋转D .飞机起飞前在轨道上加速滑行4.下列说法正确的是 (　　 ) .A .抛掷瓶盖出现正面的机会与抛掷硬币出现正面的机…     

利用向量证明不等式

平面向量与不等式分别是高中新教材第五、六章内容 .如果我们认真分析不等式的结构特征 ,类比向量相关知识 ,可以建立向量结构 ,用向量方法简捷证明不等式 .例 1　求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .分析　若 (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )≠ 0 ,原不等式可变形为 ａｃ +ｂｄａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 ≤ 1 .这种结构提示我们构造向量 ,利用两非零向量ａ—→、ｂ—→的夹角公式ｃｏｓθ =ａ—→·ｂ—→|ａ—→|·|ｂ—→| 求证 .证明设向量ＯＡ———→ =(ａ ,ｂ) ,　ＯＢ———→ =(ｃ,ｄ) .图 1( 1 )当 (ａ2 +ｂ2 )·(ｃ2 +ｄ2 ) =0…     

为什么有不同的结果

问题:已知数列{an}满足a1=51,an+an+1=54n+1,求lni→m∞(a1+a2+a3+…+an)的值.(2004年高考湖南第8题)方法(1):a1+a2+a3+…+an+…=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…=542+544+546+…=1-542512=61.方法(2):a1+a2+a3+…+an+…=21[a1+(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+(a4+a5)+…]=2151+542+543+543+…=51方法(3):由an+an+1=54n+1,an+1+an+2=54n+2,两式相减得,an-an+2=51n6+2=51n6+2=1256·51n,利用a1-a3=1256·51,a3-a5=1265·513,a5-a7=1256·515,…,a2n-1-a2n+1=1256·521n-1,以上n个等式全部相加得,a1-a2n+1=215615+513+…+521n-1=1251-512n,所以a2n+1=115…     

直线与平面垂直判定定理新证

如图 ,ｌ1 α ,ｌ2 α ,ｌ1∩ｌ2 =Ｐ ,则ｌ⊥ｌ1 且ｌ⊥ｌ2 ｌ⊥α .证明　在ｌ1 ,ｌ2 ,ｌ上各取一段向量 ,不妨皆取单位向量 :如图ｅ1——→ ,ｅ2——→,ｅ3——→.ｌ⊥ｌ1 ｅ1——→·ｅ3——→=0 ,ｌ⊥ｌ2 ｅ2——→·ｅ3——→=0 ,ｌ1 ∩ｌ2 =Ｐ 可由ｅ1——→,ｅ2——→ 确定整个平面α上的任何向量 .即对平面α上任一向量ｖ——→,可表为ｖ——→ =λ1 ｅ1——→+λ2 ｅ2——→,从而　ｅ3——→·ｖ——→=ｅ3——→·(λ1 ｅ1——→ +λ2 ｅ2——→)　　 =λ1 ｅ3——→·ｅ1——→ +λ2 ｅ3——→·ｅ2——→ =0 ,从而ｌ与平面…     

向量王国的小天使——零向量

纵观向量王国,零向量具有其它向量所没有的特性:①长度为0的向量叫做零向量,记作0 ;②规定0与任一向量平行;③零向量与零向量相等;④对于零向量与任一向量a ,有a + 0 =0 +a =a ;⑤规定零向量的相反向量仍是零向量;⑥规定0a =0 ;⑦0 =( 0 ,0 ) ;⑧规定零向量与任一向量的数量积为0 ;⑨当A =B时,AB表示零向量,它的方向不定.这些似乎都是零向量的“荣耀”,不过许多概念和定理却大有把零向量排斥在外之举,如:①定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量;②定理:向量b与零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa ;③定理:a∥b(b…     

让数学思维绽放出美丽的花朵

思维是人世间最美丽的花朵 .数学思维以好严谨、深刻、简炼的特点 ,使人敬畏和向往 .她好象雪莲花 ,盛开在高高的雪山上 ,人们很少看到她灿烂的一面 .数学课堂教学 ,是数学思维活动的教学 ,我们怎样学习数学 ,怎样进行数学思维 ,才能使朵朵高雅和高贵的雪莲花绽放出美丽的笑颜呢 ?上海高中二年级第一学期数学教材 (上海教育出版社 ,2 0 0 3)第 4 9页有这样一道题 :已知a→ +b→ +c→ =0 → ,且｜a→｜=4 ,｜b→｜=3,｜c→｜=5 ,求 :(1)a→ ·c→ ;(2 )a→ ·b→ +b→ ·c→ +c→ ·a→ .许多学生通过数形结合的方法得到问题的结果 .由已知条…     

海南省2004年中等学校招生考试数学科试题

一、选择题 (本大题满分 36分 ,每小题 3分 )在下列各题的四个备选答案中 ,只有一个是正确的 ,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B钢笔涂黑 .1. 3的相反数是A . - 3　　B . - 13　　C .3　　D .132 .计算 2a - 2 (a + 1)的结果是A . - 2　　B .2　　C .- 1　　D .13.在实数 0 ,2 ,- 13,π中 ,无理数有A .1个　　B .2个　　C .3个　　D .4个4 .如图 ,直线a,b被直线c所截 ,且a∥b.若∠ 1=4 0° ,则下列各式中 ,错误的是A .∠ 2 =4 0°　B .∠ 3=4 0°C .∠ 4 =4 0°　D .∠ 5=50°5.下列四个图形中 ,是轴对称图形的…     

数量积与空间中的垂直

一、证明直线与直线垂直 ,可以转化为证明这两条直线上的非零向量的数量积等于零 .即若ＡＢ———→·ＣＤ———→ =0 ,则ＡＢ⊥ＣＤ .它的逆命题也图 1真 .例 1　已知四面体ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＣＤ ,ＡＣ⊥ＢＤ .求证 :ＡＤ⊥ＢＣ .证明　∵　ＡＢ⊥ＣＤ ,ＡＣ⊥ＢＤ ,∴　ＡＢ———→·ＣＤ———→ =0 ,ＡＣ———→·ＢＤ———→ =0 ,ＡＤ———→·ＢＣ———→ =(ＡＢ———→ +ＢＤ———→)·(ＢＤ———→ +ＤＣ———→)=ＡＢ———→·ＢＤ———→ +ＡＢ———→·ＤＣ———→+ＢＤ———→·ＢＤ———→ +ＢＤ———→·…     

2005年全国各地高考与模拟数学试题评析——平面向量与复数

1考点与命题1.1客观题考点分析1.1.1平面向量在几何方面的考查,一般是根据几何元素所具有的特性或向量满足某些条件来判定其他几何元素或向量所具有的属性.例1[全国卷Ⅰ(11)]点O是三角形ABC所在平面内一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()(A)三个内角平分线的交点.(B)三条边的垂直平分线的交点.(C)三条中线的交点.(D)三条高线的交点.简解由OA·OB=OA·OC OA·(OB-OC)=OA·CB=0,即得选(D).例2[江西卷(6)]已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,则a与c的夹角为()(A)30°.(B)60°.(C)120°.(D)150°.简…     

向量的两个简单性质及应用

性质　设OA、OB、OC是空间中的三个向量 ,如图 1 ,则有 :( 1 ) (Ⅰ )OA+ BC =OC+ BA(Ⅱ )OA+ CB =OB+ CA(Ⅲ )OC +AB =OB +AC图 1(按一定顺序对棱所表示的向量之和相等 )( 2 )OA· BC + OB·CA +OC·AB =0(空间中的三个向量 ,每一个向量与其他两个向量的差的数量积的顺序之和等于零 )证明　 ( 1 )可由向量的运算性质直接得到 .( 2 )因为BC =BO+ OC所以OA·BC+ OB· CA+ OC·AB=OA·BO +OA·OC +OB·CA +OC·AB=OC· ( OA+ AB) + OB· ( CA+ AO)=OC·OB+ OB·CO= 0当OA、OB、OC是共线向量时 ,由 ( …     

0被“双规”以后的话题

高中数学新教材 [1 ]第一册 (下 )第五章“平面向量”在给出定义“长度为 0的向量叫做零向量 ,记作 0”后 ,先后对它作了下面两个“规定”(本文简称“双规”) :“0与任一向量平行”(第 95页 )以及“零向量与任一向量的数量积为 0”(第 1 1 6页 ) ,并且接着在给出“a⊥b a·b=0”的前面明确指出“a、b都是非零向量”(第 1 1 7页 ) .这也就是说 ,新教材把平面向量集内的零元——— 0与其他元素的关系只归入共线而回避垂直 :当a·b=0时当且仅当a、b都不是零向量时 ,有a⊥b ;若a或b中有零向量时 ,未说a⊥b是否成立 .两向量的共线和垂直是两向量…     

一道三角题的另几种解法

《中学生数学》(2 0 0 2年 4月上期中刊登的《一道三角题的几种解法》)给人启示很大 .今给出该题与另外几种解法与大家共享 .题目　若 0 <θ <π2 ,且 3ｓｉｎθ+4ｃｏｓθ =5 ,求ｔａｎθ .一、向量模型解解　由向量内积的坐标表示我们可以构造ａ—→ =(3 ,4) ,ｂ—→=(ｓｉｎθ ,ｃｏｓθ) ,设ａ—→ 与ｂ—→ 的夹角为α .由ａ—→·ｂ—→=|ａ—→||ｂ—→|ｃｏｓα得5 =3ｓｉｎθ +4ｃｏｓθ =5× 1×ｃｏｓα ,得　ｃｏｓα =1 (0°≤α≤ 1 80°) ,　∴　α =0°,即ａ—→ 与ｂ—→ 共线 ,　∴　ｔａｎθ=34.二、解析几何模型解解法…     

上期课外练习解答

高一年级1.∵　f(2 ) =f(1)·f(1) =1,f(3 ) =f(1)·f(2 ) =1,f(4 ) =f(3 )·f(1) =1……由归纳得f(1) =f(2 ) =f(3 ) =… =f(2 0 0 3 ) =1.∴　原式 =1.2 .当x为非零实数 ,故　f(x + 1) =f(x)·f(1) 　f(x + 1)f(x) =f(1) =3 ,故　f(2 )f(1) + f(4 )f(3 ) +… + f(2n)f(2n -1) =3n .∴　n =667.3 .f(x) =a + 1-2ax + 2 欲使f(x)在 (-2 ,+∞ )上是增函数 ,只须使 1-2a <0 ,故a的取值范围是 (12 ,+∞ ) .高二年级1.记f(x) =x2 -2x +a ,g(x) =x2 -2bx + 5由函数图象易知A B f(1) =a -1≤ 0 ,f(3 ) =3 +a≤ 0 ,且 g(1) =6-2b≤ 0 ,g(3 ) =1…     

2004年中考数学模拟试题(4)

一、选择题 (本大题共 3 6分 ,每小题 3分 )1 .已知 2x =3y(x≠ 0 ) ,则下列比例式成立的是(　 ) .A .x2 =y3 　　　　B .x3 =y2C .xy =23 　　D .x2 =3y2 .一个角是它余角的 4倍 ,则这个角的补角为(　 ) .A .1 62°　　B .72°　　C .1 0 8°　　D .1 44°3 .下列式子中 ,总能成立的是 (　 ) .A .(a -1 ) 2 =a2 -1B .(a +1 ) 2 =a2 +a+1C .(a +1 ) (a-1 ) =a2 -a+1D .(a +1 ) ( 1 -a) =1 -a24.下列图形中 ,不是轴对称图形的是 (　 ) .5 .下列各个方程中 ,无解的方程是 (　 ) .A .x+2 =-1B .3 (x -2 ) +1 =0C .x2 -1 =0D . xx-1 =26.…     

2004年中考数学模拟试题(3)

一、选择题 (本大题共 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下列各数中 ,是负数的是 (　 ) .A . -( -1 )　　　　B .( -2 ) 2C .( -1 ) 2 　D . -|-2 |2 .下列运算中正确的是 (　 ) .A .|-a|=a　　B .a2 ·a3 =a6C . a2 =aD . -( -a) 3 =a33 .已知角α的余角是 3 2°7′,则角α等于 (　 ) .A .1 44°5 3′　B .5 7°5 3′C .5 7°3′　D .1 44°3′4.如图 ,AB是⊙O的直径 ,AC是弦 ,CD切⊙O于C ,交AB的延长线于D ,若弧BC的度数为 40°,则∠D的度数为 (　 ) .A .5 0°　　　B .40°C .3 0°　　　D .2 0°5 .抛物线y=-x2 +4x-2的顶点坐标是 (…     

2004年中考数学模拟试题(6)

一、选择题 (本题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .关于x的方程x2 +(k2 -4)x+(k-1 ) =0的两实数根互为相反数 ,则k值为 (　 ) .A .1　　　B .2　　　C .-2　　　D .2或 -22 .已知一次函数y=ax+b中 ,ab <0且y随x的增大而减小 ,则其图象不经过 (　 ) .A .第一象限　　　B .第二象限C .第三象限　　　D .第四象限3 .下列命题正确的是 (　 ) .①若a >b ,则a2 >b2 ;② 3≈ 1 .73 2 ,计算 123 0 0 0 0 0 0≈ 8.7× 1 0 2 (保留两个有效数字 ) ;③当a =-1 ,b =1时 ,最简根式2a + 4 2a +5b与3b-1a -2b +6是同类根式 ;④ x6x2 =x3 ;⑤cos48°3 7′ 相似文献