北京数学奥林匹克学校课堂实录

课 题 直线与圆的位置关系 适用年级 初中三年级 学期 2004-2005学年度第一学期训练目的1.熟练掌握直线与圆的三种位置关系,灵活运用切线的有关定理及相交弦定理、割线定理、切割线定理等.2.培养学生学习数学的举和创造性思维.     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

圆的有关性质

中考要求 1.理解圆及其有关概念,了解弧、弦及圆心角之间的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 2.探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. 考点1 轴对称(垂径定理及推论) 考点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点3圆周角的定理及推论 考点4圆内接四边形的性质     

熟悉圆的性质用好基本辅助线

初中数学当中,圆是最优美的图形.它内涵丰富、性质多样.圆的性质定理有:圆的基本性质、垂径定理、圆周角性质定理、圆的对称性、圆的切线的性质等.它们对应了圆中的条基本辅助线.     

垂径定理在解竞赛题中的应用

众所周知,圆是轴对称图形.垂径定理及其逆定理正是体现了圆的轴对称性,很多与圆有关的问题都需要使用垂径定理或逆定理来解决,只不过是很多的时候需要先作辅助线补全基本图形.下面以数学竞赛题为例,加以说明.一、作弦的弦心距遇到圆中弦的问题,作该弦的弦心距为常用的辅助线,该弦心距所在的直线就是圆的     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

谈谈“垂径定理”的学习

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的...     

高明的演员——相交弦定理

和圆有关的比例线段中,有相交弦定理与推论、切割线定理与推论等.如果你注意观察就可发现,所有的定理与推论,都是相交弦定理这个演员扮演的.不信就请听我说. 如图1,圆O中,弦AB、CD相交于P,则PA·PB=Pc·PD.这就是相交弦定理.     

圆幂定理与运动不变量

圆幂定理与运动不变量１０００２０北京市朝阳区中学教研室郭璋在中学平面几何课本中，把圆幂定理分为相交弦定理与切割线定理叙述．相交弦定理：圆的弦相交于圆内一点，各弦被这点内分（分点在线段内）成的两线段的乘积相等．切割线定理：圆的弦相交于圆外一点，各弦被这...     

不得不爱的切割线定理

<正>人们常说"音乐无国界,数学亦无国界".虽然数学研究主要依靠学者个人的思考、钻研与攻关,但是相互间的交流、讨论与启发也起着重要作用.数学内部知识体系不更应该如此,相互盘根错节.普通高中课程标准实验教科书人教A版(以下简称教材)选修4-1《几何证明选讲》,教材要求学生理解相似三角形的定义与性质,了解平行切割定理,会证直角三角形的射影定理、圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等,会用     

由相交弦定理、切(割)线定理想到的

大家知道,平面几何中有如下定理:1.相交弦定理过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两条线段长的乘积相等.2.切割线定理从圆外一点向圆引切线和任一割线,切线长的平方等于割线与它在圆外部分的乘积.     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题梅涅劳斯定理适用年级初中二年级学期2003-2004学年度第二学期训练目的1.理解并初步掌握梅涅劳斯定理及其逆定理、塞瓦定理及其逆定理的证明及其应用. 2.在使用梅涅劳斯定理进行证明或计算时会找出适当的梅氏三角形及梅氏线,提高识别能力、应变能力,开阔视野.     

第十部分 圆和正多边形复习研究

【复习目标】 理解圆的有关概念,掌握圆的有关性质;掌握切线的判定、性质定理,两个圆的位置关系的判定和性质,及两圆公切线的概念;理解正多边形的有关概念,会将正多边形的有关计算转变为解直角三角形;会计算圆的周长、弦长及简单组合图形的周长,会计     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

圆锥曲线的平行弦中点的轨迹

<正>我们从大家所熟悉的圆的平行弦中点的轨迹开始研究.例1已知圆x~2+y~2=r~2,B为该圆内的■动弦.斜率为m(常数).求此动弦中点轨迹的方程.分析涉及圆内弦的中点,同学自然想到垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.     

圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.     

谈谈“和圆有关的比例线段”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各省市中招考试必考的重要知识 ,尤其是“和圆有关的比例线段”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .和圆有关的比例线段 ,知识点多 ,综合性强 ,题型广泛 ,方法灵活 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要给予高度重视 .以下谈谈“和圆有关的比例线段”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者阅读参考 .一、熟练掌握相关定理及推论1.相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 .如图 1,弦AB ,CD相交于P点 ,则有PA·PB =PC·PD .2 .相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相…     

加强一个几何定理及其应用的指导

众所周知,圆幂定理是平面几何学中一个极其重娶的基本定理,它在几何证明积几何计算中有着广泛的应用。现行部编初中数学教材把它隐含在讲过相交弦定理、切割定理后练习题中,见《几何》第二册P_3,练习4:根据下图,运用勾股定理证明:(1)弦     

折弦定理——研究性学习的一个好课题

折弦定理如果AB和BC组成一条圆O的折弦(BC>AB),如图1,M为ABC的中点,则从点M向BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点. 这个定理也叫阿基米德折弦定理,大多数学生都能利用对称变换(或截取)给出如下证明.