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《中学生数学》2003,(23)
试 题一、(本题满分 5 0分 )过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线 ,切点为A ,B .所作割线交圆于C ,D两点 ,C在P ,D之间 .在弦CD上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证 :∠DBQ =∠PAC .二、(本题满分 5 0分 )设三角形的三边长分别是整数l ,m ,n ,且l>m >n .已知 3 l10 4 =3 m10 4 =3 n10 4 ,其中 {x}=x -[x] ,而 [x]表示不超过x的最大整数 .求这种三角形周长的最小值 .三、(本题满分 5 0分 )由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形 ,其中n =q2 +q + 1,l≥12 q(q+ 1) 2 + 1,q≥ 2 ,q∈N .已知此图中任四点不共面 ,每点至少有… 相似文献
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八五年全国初中数学竞赛有这样一道题: 已知:如图所示,O为凸五边形ABC D E内一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8。求证:∠9与∠10相等或互补。初看本题,似乎无从下手。但考虑到转移的方法,就是要证 相似文献
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一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .5 -2 的结果是 ( ) .A .25 B .-25 C .2 5 D .12 52 .下列运算中 ,正确的是 ( ) .A .x2 ·x3 =x6 B .2x2 +x3 =5x2C .(x2 ) 3 =x6 D .(x+y2 ) 2 =x2 +y43 .如图 .直线a ,b被直线c所截 ,现给出下列四个条件 :①∠ 1 =∠ 5 ;②∠ 1 =∠ 7;③∠ 2 +∠ 3 =1 80° ;④∠ 4=∠ 7.其中能判定a∥b的条件的序号是 ( ) .A .①② B .①③C .①④ D .③④4.下列图形中 ,不是中心对称图形的5 .直线l1,l2 ,l3 表示三条相互交叉的公路 ,现要建一个货物中转站 ,要求它… 相似文献
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笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M… 相似文献
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设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为G,△DAB的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.如图1.图1图2证明如下:如图2,首先证明B,E,F,C四点共圆.连结BE、FC、BF、EC,则∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(21∠ABC+21∠ACB)=180°-21(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠BAC)=90°+12∠BAC,同理可证∠BFC=90°+21∠CDB,图3因为A,B,C,D四点共圆,所以∠BAC=∠CDB,从而∠BEC=∠BFC,即B,E,F,C四点共圆.其次证明∠HEF=90°.如图3,因为B,E,F,C共圆,所以∠FEC=∠FBC,同理可证,A,H,E,B四点共圆,从而也有∠HEA=∠HBA,则∠HEF=∠AEC-(∠FEC+∠HEA)=∠AEC-(∠FBC+∠HBA)=[180°-(∠EAC+ECA)]-(∠FBC+∠HBA)=180°-(21∠BAC+21∠BCA)-(21∠DBC+21∠DBA)=180°-12(∠BAC+∠BCA+∠DBC+∠DBA)=180°-12(∠BAC+... 相似文献
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IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理 如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明 如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β 点 P、M、A、B共圆 ∠ MPA =∠ M… 相似文献
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本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题 设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明 如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴ △ABP∽△ADC.图1故 ABAD=APAC=BPCD.1又 ∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知 △ABD∽△APC,于是 ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理… 相似文献
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《数学通报》2000,(11)
20 0 0年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 76 设I为△ABC的内心 ,K、L、M分别为△ABC的内切圆在BC ,CA ,AB上的切点 .过B且与MK平行的直线分别与直线LM及LK交于R及S ,点J在BI上 ,试证明 :∠RJS是锐角 ,当且仅当BJ >12 (AB BC-AC) .(山东枣庄市立新学校 孔令恩 2 771 0 2 )证明 如图所示 ,IB⊥MKRS∥MK IB ⊥RS∠ABI=∠CBI ∠RBM =∠SBK∠RMB =∠AML =90°- A2∠BSK =∠MKL =90°- A2 ∠RMB=∠BSK △RBM ∽△SBK BRBK … 相似文献
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20 0 4年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 1 设点O、I、P分别为△ABC的外心、内心和BC边外的旁切圆圆心 ,R和ra分别为外接圆半径和BC边上的旁切圆半径 .AD是高 ,且R=ra,求证点I在OD上 .(辽宁省瓦房店市第二十五中 田 晶 1 1 63 0 9)证明 如图 ,设AP交OD于I′,交BC于H ,交⊙O于M .⊙P切BC于E .连结OM、MC、PE .作直径AK ,连结KC .则∠ABC =∠AKC ,∠ADB =∠ACK=90° .于是∠BAD =∠CAK .由点P为旁心知∠BAP=∠CAP .所以∠DAM =∠KAM .又∠KAM =∠OMA ,故OM ∥AD . 所以 AI′I′M =… 相似文献
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《数学通报》2001,(6)
20 0 1年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 1 AB是⊙O非直径的弦 ,半径OC ⊥AB于M ,D是OB的中点 ,E在劣弧BC上 ,且∠AED =∠ACO ,AE交CB于F ,交CO于N .求证 :S△FCNS△DMO =CNMO.(重庆市合川太和中学 陈开龙 40 1 555)证明 如图 ,延长CO交⊙O于P ,连结EP ,FD .∵CP是直径 ,OC ⊥AB ,∴AP =BP ,故∠ 1 =∠ 2 ,AC =BC .∵∠AED =∠ACP ,又∠AEP =∠ACP ,∴∠AED =∠AEP ,即E ,D ,P三点共线 .∵OB =OC ,∴∠ 3=∠ 2 ∠OBC =2∠ 2 … 相似文献
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图1文[1][2][3]中都有如下一道几何题:如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=12∠A,求证:BE=CF.文[2]中用共角定理给出证明,方法简洁、巧妙,文[3]中利用三角法结合正弦定理证明线段相等.这两种方法难度都较大,本文拟给出两种学生容易接受的常规证法并证明两个变式.图2证法1如图2,过点B作BG∥CE,过点C作CG∥BE,BG、CG相交于点G,连结GF,则∠4=∠2=∠1=12∠A,∠ACG=180°-∠A,四边形BGCE是平行四边形,∴CG=BE,∵∠FBG+∠FCG=∠1+∠4+∠ACG=12∠A+12∠A+180°-∠A=180°, 相似文献
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数学问题解答 总被引:1,自引:0,他引:1
20 0 0年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 81 △ABC中 ,∠ABC =∠ACB=50°,P、Q为形内两点 ,∠PCA =∠QBC =1 0°,∠PAC =∠QCB =2 0°.求证 :BP =BQ .(黑龙江省绥化地区教育学院田永海 1 52 0 54)证明 如图 ,过A作BC的垂线 ,在该垂线上取一点D ,使∠DCA =2 0°,连DP、DB、DC .由∠ABC =∠ACB =50°,可知AC =AB ,∠BAC =80°,有AD为BC的中垂线 .易知PA平分∠DAC ,PC平分∠DCA ,可知P为△ADC的内心 .有∠PDA=∠PDC =60°.由∠DBC =∠DC… 相似文献
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<正>2003年保加利亚国家数学奥林匹克(决赛)的第2题是:设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点,直线AH、BH分别交BC、AC于点M、N.(1)证明:∠NPC=∠MPC.(2)设O是MN与CP的交点,一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D、E两点.证明:∠EPC=∠DPC.此题的证明可见文[1],给出的是一种三角证法,本文这里再给出该题的另一种解析证法,供赏析参考.证明如图,建立平面直角坐标系,不妨 相似文献
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本文将以三角板为载体的动手操作型试题分类解析如下,供大家参考.一、重叠型探究图1例1:如图,将一副直角三角板叠在一起,使直角顶点重合于O点,则∠AOB ∠DOC=.解:∠AOB ∠DOC=∠AOD ∠BOD ∠DOC=∠BOD ∠AOD ∠DOC=180°.评析:本题主要考察学生的观察能力,考查学生角的和与差的基础知识.二、平移、翻转型探究图2例2:如图,在一个横截面为Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=1米,师傅要把此物体搬到墙边,先将AB边放在地面(直线a上),再按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1的位置(BC1在a上),最后沿射线BC1的方向平移到△A2B2… 相似文献
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