巧用直线与圆锥曲线的位置关系的一个结论解题

对于直线l：Ax＋By＋C=0和圆锥曲线l：（x-x0）2/m＋（y-y0）2/n=1,有下面的结论成立.定理若直线l：Ax＋By＋C=0与圆锥曲线l：（x-x0）2/m＋（y-y0）2/n=1有公共点,则（1）当m〉0,n〉0时,有A2 m＋B2 n≥（Ax0＋By0＋C）2;（2）当mn〈0时,有A2 m＋B2 n≤（Ax0＋By0＋C）2.     

直线与椭圆位置关系的一个性质定理及其应用

定理　若直线l:Ax +By +C =0 (A2 +B2 ≠ 0 )与椭圆C :(x -x0 ) 2a2 + ( y - y0 ) 2b2 =1有公共点 ,则有(Aa) 2 + (Bb) 2 ≥ (Ax0 +By0 +C) 2 .证　由(x -x0 ) 2a2 + ( y - y0 ) 2b2 =1 ,可令x =x0 +acosθ,y =y0 +bsinθ ,代入Ax +By +C =0 (A2 +B2 ≠ 0 ) ,得A(x0 +acosθ) +B( y0 +bsinθ) +C =0 .整理得Aacosθ +Bbsinθ =- (Ax0 +By0 +C) .即 (Aa) 2 + (Bb) 2 sin(θ + φ) =- (Ax0 +By0 +C) (其中 φ为辅助角 ) .又 |sin(θ+ φ) |≤ 1 ,∴| - (Ax0 +By0 +C) |(Aa) 2 + (Bb) 2 ≤ 1 .即 (Aa) 2 + (Bb) 2 ≥ (Ax0 +By0…     

求点关于直线对称点坐标的一种简捷方法

求点P(x0,y0)关于直线l:Ax By C=0(AB≠0)的对称点Q(x,y)的一般方法是解方程组y-y0x-x0.(-AB)=-1A(x x0)2 B(y y0)2 C=0(1)(2)(*)但对学生来说,此方程组列出容易,解起来比较复杂,特别当A、B数值不太凑巧时,出错率较高.笔者在教学过程中,惊喜地发现求点关于直线的对称点坐标可以     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

<正>问题求椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k(x-x0),联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2+y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,它们是我们进行研究性     

点到直线的距离公式又一推法

问题已知点P(x0,y0)在直线l:Ax By C=0(A2 B2≠0)外,求点P到直线l的距离d. 解如图,设Q(x1,y1)在直线l上,且PQ l,则Ax1 By1 C=0①,且d=     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

判断直线与椭圆位置关系的两种新方法

命题对任意的椭圆c:x2/a2 y2/b2=1,直线L:Ax By C=0,设椭圆c的两焦点为F1,F2,F1关于L的对称点为F1’. 当|F1'F2|<2a时,直线L与椭圆c相交; 当|F1'F2|=2a时,直线L与椭圆c相切; 当|F1'F2|>2n时,直线L与椭圆c相离.     

谨防推广的陷阱

对于直线,有如下结论:若直线l的方程为f(x,y)=Ax+By+C=0,及点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则(1)线段P1P2与直线l无公共点     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

问题求椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）上一点P（x0,y0）处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k（x-x0）,联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2＋y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,     

用柯西不等式证明点线距公式

求点到直线的距离公式是一个很有魅力 的数学问题,它吸引广大师生为之苦苦思索, 得到很多证法.现介绍一种证法,供大家参考. 已知定点为P(x0,y0),定直线为Ax+By +C=0,求证点P到定直线的距离为 证明 设Q(x,y)为定直线上任意一点, 则d为|PQ|的最小值. ∵ C=-Ax-By, ∴Ax0+By0+C =-Ax-By+Ax0+By0 =A(x0-x)+B(y0-y). 再由柯西不等式:     

圆锥曲线中直周角性质的研究

笔者对这一问题作了点深入研究 ,得出一些优美的性质 .1　问题的研究定理　椭圆 x2a2 y2b2 =1上有一定点P(x0 ,y0 )与异于点 P的两个动点 Q、R,若∠ QPR =90°,则动直线 QR恒经过定点 ,且该定点的坐标为(a2 - b2a2 b2 .x0 ,- a2 - b2a2 b2 .y0 ) .为了证明上述定理 ,先给出如下引理 :引理　若 x1 、x2 是方程 f(x) =0的两个实数根 ,其中 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则　　 (x0 - x1 ) (x0 - x2 ) =f (x0 )a .引理证明略 ,下面证明原定理 .证明　设 Q(x1 ,y1 )、R(x2 ,y2 ) ,由PQ⊥ PR得　 (x0 - x1 ) (x0 - x2 ) (y0 - y1 )…     

一道浙江高考题的深度解析及纰漏

题目(2010年高考浙江理科第21题)已知m>1,直线ι:X-my-m2/2=0,椭圆c:x2/m2+y2=1,F1,F2分别为椭圆C的左右焦点. (Ⅰ)当直线ι过右焦点F2时,求直线ι的方程; (Ⅱ)设直线ι与椭圆C交于A,B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.     

线段与直线相交问题解法

在直角坐标平面内,直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0表示,点p(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0,若P不在直线l上,则Ax0+By0q-C<0或Ax0+By0+C>0,二者必居其一.直线l:Ax+By+     

平面区域中一个优美结论的妙用

大家知道,在平面区域中,点在直线划分的区域遵循“同侧同号,异侧异号”的原则,根据这一原则,我们会得到一个优美的结论:命题点P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线l:Ax By C=0(A2 B2≠0)的两侧(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0.利用上述命题既简捷明快,又颇有新意.例1(1)若直线l:ax y 2=0与连接点A(-2,3)和B(3,2)的线段有公共点,求a的取值范围;(2)将(1)中的点A的坐标改为(a-2,3),点B的坐标改为(1,2a),其余条件不变,又如何求a的范围?解(1)由题意可知,A,B两点必在直线l的两侧或其中一点在直线上,故有(-2a 3 2)(3a 2 2)≤0,解得a≤-43或a≥52,故a的取值范…     

有心圆锥曲线的一个共线点性质

本文给出椭圆、双曲线的一个共线点性质.先约定:若椭圆、双曲线的两条弦分别与该圆锥曲线的一对共轭直径平行,则称这两条弦是一对共轭弦.引理:若过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线与直线l:Ax+By+C=0交于点P(P≠B),则P分有向线段AB的比λ=AAxx12++BByy21++CC.定理1:△ABC内接于椭圆,P为椭圆上异于A、B、C的任意一点,过P作△ABC三边的共轭弦分别交AB、BC、CA于D、E、F,则D、E、F三点证共明线:设.椭圆b2x2+a2y2=a2b2,当AB、BC、CA都不与x轴、y轴垂直时,设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ),P(acosθ,bsin…     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…     

有心二次曲线的直径式方程

我们知道：若A(x1,y1)和B(x2,y2)为圆的直径两端点,则圆c的直径式方程为(x-x1)(x-x2) (y-y1)(y-y2)=0.由此我们是否可自然地提出如下一个问题：若AB为椭圆或双曲线的直径,即线段AB为过有心二次曲线的中心的弦,那么曲线的直径式方程是否存在？又是什么形式？     

一组有趣的圆锥曲线轨迹方程

文[1]的结论令人赏心悦目,颇有趣味,现将该文中条件“|OA|2 |OB|2=|OP|2”改成“1/|OA|2 1/|OB|2=1/|OP|2”与“|OP|2=|OA||OB|”之后,结论同样喜人.定理1设椭圆C1:Ax2 By2=1(0相似文献   

与焦点有关的一组圆锥曲线结论

<正>性质1如图1,已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,点M是C上异于左、右顶点A,B的一点,直线AM与直线x=a交于点N,线段BN的中点为E,则(1)∠EFB=∠EFM;(2)EM是C的切线.证明(1)由已知,得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),设M(x_0,y_0),直线AM的方程为y=k(x+a),     

关于一个不等式的初等证明及其推广

文[1]提出了一个对称不等式: 命题1 已知x,y∈R+,且x+y=1,则 2<(1/x-x)(1/y-y)≤9/4. (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广: 命题2 已知x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.(2) 文[2]在文末问道:不等式(2)是否存在初等证明?