巧用平面几何知识证明椭圆的几何性质

圆锥曲线的几何性质深刻地揭示了圆锥曲线的本质特征,是圆锥曲线基本性质的进一步发展.而圆锥曲线几何性质的证明,又能很好地体现解析几何的思想与方法.因此,以圆锥曲线几何性质为背景的系列问题成为近几年高考试题的热点.本文介绍如何运用平面几何的知识与方法巧妙证明椭圆(与焦点、准线有关)的几何性质,既能加深我们对椭圆第一、第二定义的理解;又能大大简化推理过程、优化证明思路.……     

2022年高考数学浙江卷第16题的探究

离心率是圆锥曲线的一个非常特殊的几何性质,同时又能融合其他数学相关知识很好地考查学生思维与能力.结合一道高考真题实例,从解析几何与平面几何这两个最常见的思维视角切入,深入探究有关圆锥曲线的离心率问题,并总结出破解技巧与方法应用.     

平面几何法在求解圆锥曲线问题中的妙用

圆锥曲线问题是平面解析几何问题的重要组成部分，坐标法是求解圆锥曲线问题的最常用也是最基本的方法，但有些圆锥曲线问题运用坐标法求解，往往要用到繁琐的推理和计算．若是能利用圆锥曲线本身的定义、几何性质，结合平面几何知识另辟蹊径，往往事半功倍、别样精彩．笔者在此给出几例，以求与大家共同探究此法的巧妙运用．     

2008年高考圆锥曲线命题特点分析

圆锥曲线是平面几何的核心内容,也是学习高等数学的基础,当然是高考命题的热点之一,近几年高考数学对圆锥曲线的考查一直占有较大的比例,远远超过了其它各章,而且题型、题量、难度均保持相对稳定,尤其是"向量"和"导数"进入高中数学教材以后,更是拓宽了高考在圆锥曲线上的命题空间,不仅题型在变化,而且解决问题的方法也在不断创新,由于圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点,因此自然就成为联系多项内容的重要媒介,它常与方程、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透,自然地交汇在一起,使数学问题的解题目标与已知条件之间的跨度增大,题型新颖别致、自然流畅,内容综合、解法灵活、思维抽象,所以它既是高考的热点题型,又是颇难解决的重点问题,以圆锥曲线交叉汇合处为主干,构筑成知识网络型圆锥曲线问题,在高考试题中出现的频率相当高,占据着令人瞩目的地位,以下对2008年全国高考圆锥曲线的命题规律、试题特点进行分析,并提出笔者的看法,供各位老师教学和复习时参考.……     

有心圆锥曲线上三角形的九点有心圆锥曲线

九点圆定理[1]是平面几何中的有名定理之一,文[2]把九点圆推广为三角形的九点二次曲线,但性质并不多.本文介绍有心圆锥曲线上三角形的九点有心圆锥曲线.     

圆中简单命题,误当椭圆性质

文[1]用较长篇幅,分椭圆、双曲线、抛物线证明了圆锥曲线与圆相交时的一个等比性质.笔者发现,其结论与圆锥曲线没有任何关系,仅仅是圆的一个平面几何性质.下面以其性质1为例进行说明.     

平面几何定理在解析几何中的应用

解析几何主要是通过平面直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,运用代数方法来研究几何问题.在常规的教学过程中,师生往往过于关注代数推理过程,而忽视了平面几何性质在解决解析几何问题中的作用.在解析几何中有许多问题,比如求参数的取值范围,求圆锥曲线的离心率和     

圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

三种圆锥曲线定义中若干关键点浅析

圆锥曲线是高中平面解析几何的重要内容.圆锥曲线定义是圆锥曲线的核心与灵魂,正确理解和掌握圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线有关问题的关键。根据笔者的体会,只要抓住了圆锥曲线定义中的若干“关键点”。理解圆锥曲线的定义也就变得十分简单了.     

涉及三角形与圆锥曲线的一个定理及其应用

涉及三角形与圆锥曲线的一个定理及其应用马晓林（宁夏银川九中７５０００１）本文所给出的涉及三角形与圆锥曲线的定理，可将圆锥曲线和多边形的相互关系，转化为线段比的数量关系．使得一些较复杂的解析几何问题，能够运用初等的平面几何知识得以解决．１定理及其证明为...     

圆锥曲线中参数问题的求解策略

与圆锥曲线有关的参数范围问题,既是高考的重点又是难点.这类问题综合性较大,解题时需根据具体问题灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角等知识,正确地构造不等式,反映了解析几何与其他数学知识的密切联系,体现了“在知识点交汇处命题”的高考命题思想.     

深挖隐含条件 速寻解题入口——以“圆锥曲线”问题为例

合理利用已知条件是问题顺利求解的关键,但某些命题中条件的给出并不是直接的,而是需要解题者深入挖掘才能得到的.那么,如何才能正确挖掘出这些隐含的条件,决定着问题能否顺利解决.本文笔者以圆锥曲线问题为例,就其隐含条件的探究提几点建议,供广大读者参考.一、挖掘解析几何的平面几何性     

利用几何画板探寻直线和圆锥曲线的位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系是解析几何中的主要内容之一,解决这类问题有时需要用运动变化的观点来探寻其解题思路,在掌握了用几何画板作圆锥曲线的方法后,借助它可以更直观地观察直线和圆锥曲线的位置关系,找到正确的解题方法,从中领会到数形结合解决问题的美妙.     

活用圆锥曲线的定义巧解一类高考试题

圆锥曲线是解析几何中的最重要的部分,也是高考中必考的难点内容,尤其是圆锥曲线与向量的交汇,很好地考查了学生利用数形结合思想解决问题的综合能力.笔者针对最近出现的高考试题,谈谈灵活应用圆锥曲线定义解决直线与圆锥曲线综合问题的巧妙简捷解法.     

浅析直线与圆锥曲线问题的几种解法

近几年高考中,解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为17个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平面几何的基本知识,这点值得考生在复习时强化.     

利用旋转变换作图一例及其推广应用

<正>尺规作图是平面几何的重要内容,掌握好尺规作图有助于我们探索解题思路,有助于加深我们对平面几何的理解与认识.有些作图问题,如果仅仅从基本作图方法考虑,问题解决起来比较困难,但如果我们从旋转变换的角度出发,问题就变得容易思考.下面我们将从一个具体作图问题开始,利用旋转变换解决问题,并将作图方法推广.     

摆线亮相高考风景这边独好

摆线即旋轮线是自选模块《坐标系与参数方程》中的内容,在数学史上,发现圆锥曲线后,受到科学家关注最多的曲线是摆线.摆线种类丰富,性质优美,应用广泛.摆线问题类属动态几何问题,解决摆线问题不仅需要平面几何、三角函数和解析几何等相关知识的支撑,而且还需要一定的运动想像能力和探究能力.2010年高考摆线首次亮相北京卷文理科第14题,2011年高考摆线第二次亮相于江西省文理科第10题,均属客观题的压轴题.这几道难得的考题视角独特、设计新颖、卓尔不群,运动中考能力,立意上求创新.     

利用导数解决与中点弦有关的问题

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解,这种解法还是比较繁琐的.导数进入中学数学,丰富了中学数学知识和解法,给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法,也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决与中点弦有关的问题,就是导数的一个创新应用.以下举例阐述,供同仁参考.     

巧用代数方法妙求圆锥曲线中的最值

<正>圆锥曲线中最值问题,是历届高考命题的主要知识点,它包括的知识内容特别丰富,涉及的数学知识较广泛,能促进各科知识的融会贯通.解题方法特别多,本文将介绍巧用代数方法妙求圆锥曲线中最值的常用方法如下:一、巧用二次函数妙求圆锥曲线中的最值例1过定直线2x-y=a与动直线x+2y=     

几道高考解析几何题的极坐标解法

极坐标是解析几何的一个重要内容,也是研究平面解析几何问题的一种重要方法和有力工具.当题目的主要条件是围绕过圆锥曲线焦点的一条或者几条(包括动直线),就适宜以这个焦点为极点,建立坐标系.一方面,此时圆锥曲线和直线的方程都比较简单;另一方面合理引入极坐标可使把问题得到简化,避免繁琐的运算.……