小球进盒种种

在学习排列组合时 ,我们会遇到一些形形色色的小球进盒问题 ,在深刻把握两个计数原理的同时 ,对下述小球进盒的种种问题应有清醒的认识 .1　相同小球进入相同盒 ,直接分组即可例 1　将 7个优秀学生名额分成 4组 ,每组至少有一个名额 ,则不同分配方案有　　种 .解析　由于 7个优     

合理建立数学模型，巧解排列组合题

n个小球放入m个盒中的问题是排列组合的常见题型,这种题型情形甚多,很多学生混淆不清,本文通过举例说明每一类问题的求解方法．     

三元组合计数问题模型

三元组合计数问题模型４３１６００湖北麻城市一中甘超一高中教材里简单排列组合计数问题，通常可用“ｎ个小球放入ｍ个纸盒”的二元（球、纸盒）模型来描述．又按小球可否区分、纸盒容球数是否限制分为下述四个基本问题：１．ｎ个不同小球（可区分）任意放入ｍ个纸盒（每...     

一对一错号排列的一个公式

排列组合问题非常灵活多变，比较难以把握．例如，四人同室，他们各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有多少种？它的原型是下列“小球人盒”问题．将编号为1、2、3、4的4个小球装人编号为1、2、3、4的4个盒中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．我们把这个问题叫做“一对一错号排列”问题．本问题，由于球与盒的个数不多，用常规法解，难度倒不是很大，但增加球与盒的个数后，情况就不一样了，仍用常规法解，难度将随之增大．因此，对于这类问题如果…     

元素进盒问题

在我们学习排列组合这一章时，会遇到形形色色的“元素进盒问题”或可以转化为“元素进盒的问题”．这类问题灵活多变，极易解错，故在解题时须审好题目，翻译好题目，转化好题目，积累好题目，力求做到对号入座，以便正确快速解答．     

错号排列的两个公式

对如下“一对一错号排列”问题：有编号为１,２,…,ｎ的ｎ个小球,将其装入编号为１,２,…,ｎ的ｎ个盒中,每盒装１个球,且球与盒的编号不同,问不同的装球方法有多少种？本刊文［１］、［２］分别给出了公式解法,但均用到递推公式,当元素较多时,运算量较大．本...     

探索全错位排列问题的通解

有编号为 1,2 ,… ,n的 n个小球 ,将其装入编号为 1,2 ,… ,n的 n个盒中 ,每盒装 1个球 ,且球与盒的编号不同 ,问不同的装球方法有多少种 ?以上是全错位排列问题 ,它的通解存在 ,下面我们来探求这个通解 .为方便起见 ,设 n个球的不同的装球方法有 an 种 ,易知 ,n =1时 ,a1=0 ;n     

方程x_1+x_2+…+x_k=n整数解的组数及应用

先研究简单情形:不定方程x1+x2+x3= 10…①的正整数解的组数． 此问题可以直观地理解为:将十个相同的 小球,放入三个编了号的盒子中,要求每个盒 子不空的投放方法种数． 这不同于高中教材中介绍的普通组合问 题,但又十分常见．     

构建小球入盒模型不定方程正整数解组数问题

排列组合这部分教材因其内容的抽象性、思维的独特性、解题方法的特殊性而成为中学数学学习中的一个难点．本文通过构建“小球入盒”模型来解读排列、组合问题,以期能帮助读者搭起挖掘知识的内涵与外延的平台,架起从已知到未知的“桥梁”,打通各个环节的“结点”,凸现知识的来龙去脉,达到直击目标的目的．     

相同元素有序分组的“隔板式”方法

在平时的教学中 ,我们都碰到过这样的题 :将 7个相同小球放入 4个不同盒子中 ,1)不出现空盒时的放入方式共多少种 ?2 )任意放入时的方式共有多少种 ?该题有多种解法 ,现介绍其中的“隔板法” .解　 1)将 7个相同小球一字排开 ,在其中间的 6个空格中加入无区别的 3个“隔板”将球分成四份 ,故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法 ,则不同的放法共有N =C3 6=2 0种 .2 )每种放法对应于将 7个相同小球与 3个相同“隔板”进行的一次排列 ,即从 10个位置中选 3个位置安排隔板 ,故共有N =C3 10 =12 0种放入方式 .凡“相同小球放入不同盒中”的…     

到底相同不相同

下面4个问题: (1)把4个不同的小球放入3个不同的盒子中,共有多少种不同的方法? (2)把4个不同的小球放入3个相同的盒子中,共有多少种不同的方法? (3)把4个相同的小球放入3个不同的盒子中,共有多少种不同的方法? (4)把4个相同的小球放入3个相同的盒子中,共有多少种不同的方法?     

例说与其它学科密切相关的数学问题

随着高考综合科目的确定 ,与各学科联系的试题将不断出现 ,作为工具性学科的数学 ,与理化生及日常生活更是息息相关 ,因此若能将理化生知识与数学知识结合讲解、训练 ,一方面使学生深刻理解数学知识 ,更重要的是使学生在应用中产生对数学的浓厚兴趣 ,促使数学成绩的提高 .一、与物理知识密切相关的数学问题【例 1】　使一原来带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触 ,分开后小球获得电量q,今使小球与大球反复接触 ,在每次分开后 ,都给大球补充电荷 ,使其带电量恢复为Q ,求小球能获得的最大电量 .解 :小球与大球接触后 ,两球所带电量之…     

中考概率问题考点盘点

近年来,在各地的中考试卷中概率问题不断出现.现从2010年中考试题为例,说明概率的常见考点.例1(重庆市)在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-2,-1,0,1,2的小球,它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球,将该小球上的数字作为点P的横坐标,将该数的平方作为点P的纵坐标,则点P落在抛物线     

错号排列的又一个公式

问题：有编号为1，2，...，n的n个小球，将其装人编号为1，2，...，n的n个盘中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．邓廷元老师在文[1]中给出了这类"一对一错号排列"问题的公式解法该公式是用排除法得到的，并且文[1]中指出，n的值增大后，仍用常规法解，难度将随之增大，事实上，不论n的值多大，都可用常规法解，且难度并不大。设SR为一对一错号排列时K个小球装入K个盒子的不同装法种数．按题设要求把n个小球装入n个盒子可分两步完成：（Ⅰ）给编号为1的盒子装球，有种装法（Ⅱ）给其它n－1个盒子装球，若1号…     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球．若j（j=1,2,3）号球放入j号盒子,则称该球放对了,否则称放错了．搴表示放对了的球的个数,求ξ的数学期望．     

弹球游戏与杨辉三角

在游艺场,笔者和学生看到如图1的弹球游戏,小球●向容器内跌落,碰到第一层阻挡物○后等可能地向两侧跌落碰到第二层阻挡物,再等可能地向其两侧第三层跌落,如此,一直下跌,最终小球●落入底层.根据具体区域获得相应奖品,学生好奇地问为什么A区奖品价值远高于D区奖品?转化成数学问题,就是求小球●落入A区和D区的概率.     

关于可数点集的盒维数的一些探讨

本文研究了一类可数点集的盒维数的计算问题.通过构造双Lipschitz映射,把原可数点集的盒维数的求解问题转化为求解一类相对简单的可数点集的盒维数.获得了两个单调的可数点集在具有同阶间隔时具有相同的上盒维数和下盒维数的结论.该结论为计算一类可数点集的盒维数提供了方便.     

方程x_1 x_2 … x_m=n的正整数解的个数及其应用

在近几年的高考试题中,出现了可化为求方程x1 x2 … xm=n(m,n∈N ,m≤n)的正整数解的个数的问题,下面就这个问题谈几点看法,供大家参考.上述正整数解的个数问题可以转化为下列数学模型:把n个相同的小球排成一行,请将这一行n个球分成m段,每一段至少一个小球,有几种分法?解因为将     

以退求进

某些探索性问题,有时百思不得其解,但只要我们退一步来观察,就会让人茅塞顿开,使问题迅速获解.例1现有243个小球,从外观上看完全相同,除一个小球略轻外,其余的小球重量均相等.现有能满足各种操作要求的天平和砝码.问最少称几次,可保证将这个较轻的球找出来?解初见此题,颇感为难.但如果我们能回到初始状态,却能使问题迅速得到解决.实际上,若问题减少为两个球时,只需称一次:即把两球分别放在一架天平的左、右两个托盘上,托盘上翘的一边自然就是较轻的球.若问题减少为3个球时,也只需称一次:即在3个球中任取两球分别放在一架天平的两个托盘上,若…     

值得一走的"弯路"——"装球问题"课堂讨论一例

在一节习题课上,学生对一个问题(本文“问题Ⅲ”)提出了老师备课时未考虑到的一种解法.对此,老师随机应变,利用学生的解法因势利导地做了一点“文章”.这样,便使问题Ⅲ的解答走了一段“弯路”.然而,这段弯路却引发了学生浓厚的学习兴趣.本节课原来的安排是,先由师生一起探讨三个“装球问题”的解法.然后由学生完成几道相关的习题.三个“装球问题”是:设m,n∈N ,且m相似文献