错号排列的又一个公式

问题：有编号为1，2，...，n的n个小球，将其装人编号为1，2，...，n的n个盘中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．邓廷元老师在文[1]中给出了这类"一对一错号排列"问题的公式解法该公式是用排除法得到的，并且文[1]中指出，n的值增大后，仍用常规法解，难度将随之增大，事实上，不论n的值多大，都可用常规法解，且难度并不大。设SR为一对一错号排列时K个小球装入K个盒子的不同装法种数．按题设要求把n个小球装入n个盒子可分两步完成：（Ⅰ）给编号为1的盒子装球，有种装法（Ⅱ）给其它n－1个盒子装球，若1号…     

探索全错位排列问题的通解

有编号为 1,2 ,… ,n的 n个小球 ,将其装入编号为 1,2 ,… ,n的 n个盒中 ,每盒装 1个球 ,且球与盒的编号不同 ,问不同的装球方法有多少种 ?以上是全错位排列问题 ,它的通解存在 ,下面我们来探求这个通解 .为方便起见 ,设 n个球的不同的装球方法有 an 种 ,易知 ,n =1时 ,a1=0 ;n     

错号排列的两个公式

对如下“一对一错号排列”问题：有编号为１,２,…,ｎ的ｎ个小球,将其装入编号为１,２,…,ｎ的ｎ个盒中,每盒装１个球,且球与盒的编号不同,问不同的装球方法有多少种？本刊文［１］、［２］分别给出了公式解法,但均用到递推公式,当元素较多时,运算量较大．本...     

组合问题的两个模型

有些组合问题 ,如果研究的元素数目较小 ,用加法原理和乘法原理是可以求得结果的 ;如果元素较多 ,则较为困难 ,因此必须构建模型 ,才能较快地解决 .例 1　现有 10个相同的小球和编号分别为 1、2、3的三只盒子 ,要求每只盒子所放的球数不少于它的编号数 ,共有多少种不同的放法 ?解　首先在各盒子中分别放入与其编号数相同个数的球 ,共用去 6个 ,还有 4个小球可以分为以下四组 (0 ,0 ,4)、(0 ,1,3)、(0 ,2 ,2 )、(1,1,2 ) ,由加法原理得不同的放法有C1 3 +P33 +C1 3 +C1 3 =15种 .变题　例 1中若将 10个小球改为 10 0个小球 ,其它条件不变 ,…     

一对一错号排列的简明公式

对于一对一错号排列问题：有编号为1，2，…，n的n个球，将其装入编号为1，2，…，n的n个金中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，求不同的装球方法种数S。文［1］给出了如下一个递推公式：利用该公式计算S。时，需首先依次逐一求出SI，JZ，S3，…，S。－l的值，笔者认为，当n较大时，其计算相当复杂．下面利用集合思想方法和容斥原理来推导该问题的一个较为简明的计算公式．设n个球任意放入n个盘中，且每盒装1个球的所有不同放法组成全集I，其中第i个球恰放入第i盘中的放法组成集合A。（i—1，2，…，n），显然A。MI．又用符号IAI…     

排列组合中的分组问题

排列组合一章的习题中,常常涉及到对元素进行分组的问题.题目有对相同元素分组和对不同元素分组,有组的位置确定和不确定多种情况,学生弄不清这些题目的区别和联系,解答时很容易重复或者遗漏.本文编拟口诀并举例介绍巧妙解决分组问题的方法.1相同元素的分组问题(口诀:同元分组用挡板)例1将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的放法有多少种?解本题是将12个球分成四组,每组必须有球的问题.将12个球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中任意选出3个插入挡板,把球分成4组,例如○○○|○○○○|○○|○○○…     

浅谈用树形图解题

树形图是一种应用性很强的图解法.本文略述树形图在排列、组合方面的一些应用,帮助同学们解决一些较复杂的问题.一、放球问题例1把9个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个箱子中,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法有多少种?     

例谈分球入箱问题的解法

将n个球放入k个箱子中,有多少种不同的放法?此类问题我们称之为分球入箱问题。它含有多种情形：n个球是否相同?k个箱子有无差异?箱子允许空否?解决此类问题的关键是分辨在什么情况下与顺序有关,在什么情况下与顺序无关。现举例说明如下。例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中。 (1)每个箱子中至少有一个小球(箱子不空)有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空又有多少种不同的放法? 分析箱子相同时不需考虑箱子的顺序,球相同也无需考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的多少。可用穷举法求解。解 (1)箱子不空有3种放法：     

观察·推演·简化

不对号入座问题的一般形式是: 将编号为1,2,…,n的n个小球放入编号为1,2,…,n的n个小盒中,每盒一球且不对号,有多少种不同的放法? 用an表示n个球时的放法数,《中学生数学》文[1]获得了如下的递推公式 an=(n-1)(an-1 an-2) ①其中a1=0,a2=1．并在文末列出了如下的特值表:     

三元组合计数问题模型

三元组合计数问题模型４３１６００湖北麻城市一中甘超一高中教材里简单排列组合计数问题，通常可用“ｎ个小球放入ｍ个纸盒”的二元（球、纸盒）模型来描述．又按小球可否区分、纸盒容球数是否限制分为下述四个基本问题：１．ｎ个不同小球（可区分）任意放入ｍ个纸盒（每...     

全错位排列的一种新解

回自同空四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，地四张贺年卡不同的分配方式有（A）6秆（B）9科（C）11种（D）23种（1993年全国高考题）以上题目属全价位排列问题，其解法甚多，本文利用“分类”的方法给出一种新颖的解法．解四个元素全排列可分成以下四类：4个元素全措位排列；恰有3个元素全错位排fo；恰有2个元素全错位排列；没有元素错位排列．于是有：引一at十q·a3十q·3：＋1（。）其中a；（2＜i＜4）表示i个元素全错位排列数，易有a：一1，as—2，故由（。）式有：a．＝41－q·a。－－q·a。－1…     

球入盒问题

球入盒问题就是考虑把m个球放入n个盒中有多少种不同的方法（以下放法、分法均指不同的放法、分法）．对于球而言分为都相同（下简称相同）和互不相同（下简称不同）；对于盒而言，也分为相同和不同．     

值得一走的"弯路"——"装球问题"课堂讨论一例

在一节习题课上,学生对一个问题(本文“问题Ⅲ”)提出了老师备课时未考虑到的一种解法.对此,老师随机应变,利用学生的解法因势利导地做了一点“文章”.这样,便使问题Ⅲ的解答走了一段“弯路”.然而,这段弯路却引发了学生浓厚的学习兴趣.本节课原来的安排是,先由师生一起探讨三个“装球问题”的解法.然后由学生完成几道相关的习题.三个“装球问题”是:设m,n∈N ,且m相似文献   

不定方程x1+x2+…+xn=m的解的个数及在计数问题中的作用

不少计数问题归结为不定方程 x1+ x2+… + xn =m在特定条件下的解的个数问题便迎刃而解 .本文研究不定方程 x1+ x2 +… + xn =m在有关条件下的解的个数问题 ,并举例说明其在计数问题中的应用 .(注 :文中约定 :当 m 相似文献   

用递推方法求解排列组合问题

1994年高考题 :同室 4人 ,各写一张贺卡 ,先集中起来 ,然后每人从中拿一张别人送的贺卡 ,求四张贺卡不同的分发方法 .将问题推广 ,讨论下面的问题 .问题 1　标有 1 ,2 ,3,… ,n的 n个小球 ,投入标号为 1 ,2 ,3,… ,n的 n个盒子 ,每盒一球 ,要求球号与盒号不同 ,有几种投法 ?记 an为投法总数 .1号球有 n- 1种投法 .若 1号球投入 k号盒子 ,k号球可投入 1号盒子 ,共有 an-2 种投法 .k号球不投入 1号盒子 ,其它 n - 2个球不投入对应盒子 ,共有 an-1种投法 .因此an =( n - 1 ) ( an-1 an-2 ) ,( 1 )a1=0 ,　 a2 =1 ,( 2 )由 ( 1 )、( 2 )两式可…     

新题征展(2)

Ａ．题组新编１．（１）把６个不同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数等于编号数,则不同的放法种数是　　;（２）把６个相同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数等于编号数,则不同的放法种数是　　;（３）把１１个相同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数是　　．２．（１）先将函数ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ－π３）的图象左移π６个单位,再将各点横坐标变为原来的３倍,便得到函数　　的图象;（２）先将函数ｙ＝２ｓｉｎ（…     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球．若j（j=1,2,3）号球放入j号盒子,则称该球放对了,否则称放错了．搴表示放对了的球的个数,求ξ的数学期望．     

误法改进成通法,巧解一类间隔问题

文[1]在阐述用“分球入盒”模型解决不相邻排列问题时,提出用插空法求解一类不相邻问题时会出现错误,进而引出新的通法———用“分球入盒”模型解决不相邻排列问题,事实上,若能对这个错误的方法略加改进,仍然能很快捷地求解此类间隔问题,本文对此阐述如何将误法改进成通法,希望能给同学们一些思考.文[1]有如下两个问题:问题1晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目,要求每两个舞蹈节目之间至少有一个演唱节目,可以有多少种不同的节目顺序表?问题2晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目,要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目,可以有多少种不…     

相同元素有序分组的“隔板式”方法

在平时的教学中 ,我们都碰到过这样的题 :将 7个相同小球放入 4个不同盒子中 ,1)不出现空盒时的放入方式共多少种 ?2 )任意放入时的方式共有多少种 ?该题有多种解法 ,现介绍其中的“隔板法” .解　 1)将 7个相同小球一字排开 ,在其中间的 6个空格中加入无区别的 3个“隔板”将球分成四份 ,故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法 ,则不同的放法共有N =C3 6=2 0种 .2 )每种放法对应于将 7个相同小球与 3个相同“隔板”进行的一次排列 ,即从 10个位置中选 3个位置安排隔板 ,故共有N =C3 10 =12 0种放入方式 .凡“相同小球放入不同盒中”的…     

“装错信封问题”的数学模型与求解

1　问题的提出1)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡.则四张贺年卡的不同分配方式有(　　)(A)6种　　　(B)9种(C)11种(D)23种(1993年全国高考题理科17题)2)有5个客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家.回家后,他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子.问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?上述两个问题,实质上是完全一样的.是被著名数学家欧拉(LeonhardEuler,1707-1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例.“装错信封问题”是由当时最有名的…