《三角形与多边形分割》一文中的错漏

《数学通报》2006年第8期上刊载了一篇题为《三角形与多边形分割》的专题论文,其前半部分"1.三角形分割"(下称文[1])提出了这样一个平面分割问题: 将一个三角形的每边n等分,连结各顶点与诸分点的线段把三角形分割,问将三角形分割成多少块?     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

圆内接多边形的一个性质

笔者研究发现,圆内接多边形有如下一个美妙性质. 设A_1 A_2 """A_n为圆内接n边形(n≥4),画n-3条对角线将这个n边形分割成n-2个三角形(这些对角线在多边形内部没有交点),则无论如何分割,所得到的n-2个三角形的内切圆半径之和是一个定值.     

2003年第五期初中数学问题解答

一、若a是自然数 ,且a4-4a3 +1 5a2 -3 0a +2 7的值是一个质数 ,这个质数是多少 ?解 :令f(a) =a4-4a3 +1 5a2 -3 0a +2 7.易得f( 0 )=2 7非质数 ,f( 1 ) =9非质数 ,f( 2 ) =1 1为质数 ,所以这个质数是 1 1 .答 :略 .二、若a=( 12 ) 14 ,b =( 13 ) 12 ,c =( 14) 13 ,试比较a ,b,c的大小 .解 :∵a =412 =12 12 3 =12 18,b=13 =12 13 6=12 172 9,c=3 14=12 144=12 12 5 6.又∵ 172 9<12 5 6<18,∴b相似文献   

构造图形证几何题一例

题目已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,且使AE=BD,连结CE、DE.求证:CE=DE. 一、从构造全等三角形证明三角形全等来实现,有证法1～4: 1.延长BD到F,使CF=AE,则BC=DF,BA AE=BC CF,即BE=BF,     

先猜后证的数学思想在高中教学中的应用

1函数表达式中的先猜后证在研究性学习中,运用先猜后证的数学思想指导求函数的表达式等问题,常常可以通过归纳发现和类比联想的手段来实现.例1平面内的n个圆,最多可将平面分割成多少个互不重叠部分区域?这个实际问题可转化为数学问题:f(1)=2;f(2)=2 2;f(3)=2 2 4;f(n)=2 2 4 6     

问题与解答

一、本期问题 1、已知△ABC的面积为S,D、E、F分别为BC、CA AB边上的点,且BD/DC=CE/EA=AF/FB=1/n,求以AD、BE、CF为边长的三角形的     

Morgan定理的推广

1　前言美国的《数学教师》期刊上多篇文章涉及三角形内某一几何图形面积与原三角形面积之比为定值 ,如文 [1]的 Marion定理 :如图1,对于任一三角形 ,将每边三等分 ,则等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为 110 .文[2 ]利用几何软件将该结论推广得到 Morgan定理 :如图 2 ,对于任一三角形 ,将每边 n等分 ( n为大于或等于3的奇数 ) ,则边上第 n-12 、n 12 个等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为89n2 -1.为了便于推广 ,将 Morgan定理叙述为 :如图 2 ,在△ ABC中 ,A1 、B1 、C1 分别为边 BC、CA、AB的…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1(2000年中国台湾数学奥林匹克)设f是正整数集到非负整数集的映射.满足f(1)=0,f(n)=max1≤j≤n-1{f(j) f(n-j) j}(n≥2).求f(2000).解我们用数学归纳法证明f(n)=n(n-1)2(n≥1).当n=1时,结论成立.当n=2时,f(2)=f(1) f(1)-1=1.易知f(3)=max{f(1) f(2) 1,f(2) f(1) 2}=3,f(4)=6.假定n≥5,并且f(k)=k(k-1)2对于1≤k相似文献   

一道试题解法的精彩演绎

一、原题呈现例1(1)如图1,若BC=6,AC=4,∠C=60°,求△ABC的面积;(2)如图2,若BC=a,AC=b,∠C=α,求△ABC的面积;(3)如图3,在四边形ABCD中,若AC=m,BD=n,对角线AC、BD交于O点,它们所成的锐角为β,求四边形ABCD的面积.说明:这是《中学数学》(下)2014年第8期文1给出的一道关于三角函数方面的复习题.评析:本题源自高中课本,主要目的是引导学生经历从特殊到一般的过程去探索并发现三角形的面积公     

2009年湖南理科卷第15题解法探究

2009年湖南理科卷第15题为： 将正△ABC分割成n^2（n≥2，n∈N^＊）个全等的小正三角形（图1、图2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，     

初二几何第二学期期末自测题

A组一、填空题(每小题4分,共40分) 1、直角三角形斜边上的中线与斜边的比是. 2、已知a/b=c/d=e/f=2/3,则b+d+f/a+c+e的值是. 3、已知:如图,l1∥l2∥l3,AB/BC=4/5,则DE/DF=.(第3题) 4、等边三角形的角平分线与边长的比是. 5、如图,ED∥BC,DF∥AB,AE=1.8cm,BF=1.6cm,FC=1.2cm,则BE=. 6、如图,∠1=∠2,AD/DB=DE/DC,则图中能判定相似     

矩阵特征理论在递归关系上的应用

众所周知 ,求解常系数线性齐次递归关系的方法比较多 .例如 ,差分方法 ,生成母函数法等 .本文说明怎样利用矩阵的理论求解线性递归关系的矩阵法 ,而对线性递归关系非齐次也作了简短讨论 .令f (n) =pf (n -1 ) qf (n -2 )　 (n =2 ,3 ,… ,n) (1 )其中 p,q都是复数域上的数 ,初值 f (0 ) ,f (1 ) ,求 f (n)的通项公式 .下面利用矩阵的工具说明怎样求 f (n) .我们把 (1 )改写成f (n 2 ) =pf (n 1 ) qf (n)　 (n =0 ,1 ,2 ,… ) (2 )根据 f (n 2 ) =pf (n 1 ) qf (n) ,f (n 1 ) =f (n 1 ) ,　即f (n 2 )f (n 1 ) =p　 q1…     

新题征展(62)

A　题组新编1 .已知函数 y =f ( x) ,对于任意实数 x1和 x2 ( x1≠ x2 ) ,均有 f ( x1+ x2 ) =f ( x1) .f ( x2 ) ,且 f( 0 )≠ 0 .( 1 )若 f ( 1 ) =1 ,则 f ( 1 ) + [f( 2 ) ]2 +[f ( 3) ]3 +… + [f( 2 0 0 5) ]2 0 0 5=;( 2 )若 f( 1 ) =3,且 f( 2 )f( 1 ) + f ( 4 )f ( 3) + f ( 6 )f ( 5)+… + f( 2 n)f ( 2 n - 1 ) =2 0 0 7,则 n =;( 3) f ( - 2 0 0 6 ) .f ( - 2 0 0 5) .… .f( - 1 ). f ( 0 ) . f ( 1 ) .… . f ( 2 0 0 6 ) =.2 .在△ ABC中 ,三个顶点的坐标是A( 1 ,1 )、B( 4 ,1 )、C( 3,2 ) ,且动点 P( x,y)在△ ABC内部…     

上期课外练习解答

高一年级1.∵　f(2 ) =f(1)·f(1) =1,f(3 ) =f(1)·f(2 ) =1,f(4 ) =f(3 )·f(1) =1……由归纳得f(1) =f(2 ) =f(3 ) =… =f(2 0 0 3 ) =1.∴　原式 =1.2 .当x为非零实数 ,故　f(x + 1) =f(x)·f(1) 　f(x + 1)f(x) =f(1) =3 ,故　f(2 )f(1) + f(4 )f(3 ) +… + f(2n)f(2n -1) =3n .∴　n =667.3 .f(x) =a + 1-2ax + 2 欲使f(x)在 (-2 ,+∞ )上是增函数 ,只须使 1-2a <0 ,故a的取值范围是 (12 ,+∞ ) .高二年级1.记f(x) =x2 -2x +a ,g(x) =x2 -2bx + 5由函数图象易知A B f(1) =a -1≤ 0 ,f(3 ) =3 +a≤ 0 ,且 g(1) =6-2b≤ 0 ,g(3 ) =1…     

2004年高中数学联赛平面几何题(加试)另解

题目在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

数学问题解答

2011年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2011 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+ 2BD=√3CB,连结CD、BE.证明:CD=1/2BE.     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

外莫莱三角形的几组对偶性质

将任意三角形的外角三等分 ,以分别接近于三条边的外角的三等分线的交点为顶点的三角形称为外莫莱三角形 .本文将给出外莫莱三角形的三组对偶性质 .图 1性质 1　如图 1 ,设△ PQR为△ ABC的外莫莱三角形 ,AD⊥ QR于点D,BE⊥ RP于点 E,CF⊥ PQ于点 F.则 PD、QE、RF相交于一点 .证明　由文 [1 ]知AQ =8Rsin B3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,AR =8Rsin C3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,∠ AQR =C3,　∠ ARQ =B3.而　 QD =AQcos∠ AQR,DR =ARcos∠ ARQ,∴　 QDDR=tan B3cot C31同理 REEP=tan C3cot A32PF…     

等腰三角形的综合研究(下)

<正>例6(俄罗斯区域数学竞赛题)如图17,△ABC中,O是角B的平分线BE上一点,AO、CO分别交BC、AB于点D和F.证明:如果△BOF与△BOD的面积相等,那么AB=BC.证明由于O是角B的平分线BE上一点,所以O到BF的和BD的距离相等,设都等于h.由已知△BOF与△BOD的面积相等,即1/2BF×h=1/2BD×h.所以,得BF=BD.