用整体代换处理求值类问题

在解决某些数学问题时，可将待求式（或待证式）用一个未知数来表示，然后根据题设条件求出此未知数，从而使问题获得解决，这种方法称为整体代换法．应用此法可将一些问题化繁为简，化难为易．现举例说明如下：1求值故所求原式的值为0或2．2求取值范围例2已知sinx＋siny=1，求cosx cosy的取值范围．故cosx＋cosy的取值范围是例3已知X、y为实数，且x2 xy＋y2=1，求x2-xy y2的取值范围．解设x2-xy＋y2=k，则有的两个实数根．故x2-xy＋y2的取值范围是3证明等式k—1，故等式成立．倒5求证：4任用不苦大N6已知实数a、b满足a十b＝1，求解得故N7…     

妙解一则

已知:3sinx+2cosy=4,求:2sinx+cosy 的取值范围．解设2sinx+cosy=a,与3sinx+2cosy =4联立解得     

1998年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a＞1，b＞l，且ig（a＋b）一lga＋lgb，则ig（a—1）十ig（b—l）的值（）．（A）等于lgZ（B）等于1（C）等于0（D）不是与a，b无关的常数解’．“ig（a＋b）一lga＋lgb，a＋b—ah即（a—1）（b—1）＝1．因此ig（a—1）十ig（b—1）一0．答：（C）．2．若非空集合A一｛Xlb十互＜X＜u一引，B一《X口＜X＜22），则能使A二AnB成立的所有a的集合是（）．（A）（aDI＜a＜9｝（B）（】6＜a＜9）（C川ala＜9｝（D）o解由题意得AMB，答：（B）．3．各项均为实数的等比数列K）前n项之和记为S…     

一个最值问题的几何解法

题已知a、b是不相等的正数，试求函数的最值．此题若用通常解法，不仅繁而且难，但如果能根据题目结构，引进适当的参数，给参数赋予几何含义，则将会显得明快和直观．解设，，则a2＋v2=a＋b．因为a、b为不相等的正数，可设a>b．易得因此问题就转化为（如图）：在AMB上求点，使直线l：在两轴上截距最大或最小易见：当l与AMB相切时，在两轴上的截距最大．此时，．当直线l过点，截距最小．此时，．一个最值问题的几何解法@周建国$浙江省奉化市职校!315500     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

用线性规划知识解一道三角题

已知3sinx 2cosy=4,求:2sinx cosy的取值范围．《中学生数学》2006年2月上《妙解一则》提供了一个解法,下面拟给出一个用线性规划知识来解的解法．     

转化思想在多元不等式最值问题中的应用

<正>多元最值问题的解题方式多样灵活,下面将常见的解决多元最值问题的方法整理归纳如下:一、消元法例1已知正实数a,b满足2/(a+2)+1/(a+2b)=1,求a+b的取值范围.解由题意可得,b=(((a+2)/a)-a)/2>0,a>0,2解得0相似文献   

再解二次曲线的相交的问题

文[1]中两位老师利用二次方程的实根分布来解决这类问题．然而我们发现，运用三角代换，转化为求函数值域是一种良策，本文后一例更能说明这一点．为便于大家比较，前两例进原文例．例1已知集合M求m的取值范围．可令中,得则上面关于θ的方程有实解时，求m的取值范围．从方程（1）中“分离”出参数m得m，这样求m的范围转化为农函数2cosθ的值域．时，m取最大值m取小值例2当R在什么范围取值时，动圆A：（x－1）2＋y2＝R2与椭圆x2＋4y2＝4总有公共点？照由x2＋4y2＝4可得例3当实数a在什么范围内取值时，曲有公共点？x＝2tg2θ，将此又代入a＝…     

一类函数问题的解法探讨

在高三模拟考试中,经常出现下面这类函数题目． 题目 已知函数f（x）=4x-1/x^2＋λ/x．若对任意两个不等的正数a,b,有｜f（a）-f（b）｜〉｜a—b｜恒成立．求λ的取值范围．     

正三角形的面积与费尔马问题解

1问题的提出1．1对于给定的等边△PQR，已知其内一点O到三顶点的距离OP=α、OQ=b、OR=c，求等边△PQR的面积S．1．2以a、b、c为边构造一个三角形△ABC在平面上求一点S，使SA＋SB＋SC的值最小．（即费尔马最短距离（l）问题）2问题的解决2．1如图1所示，设正△PQR的边长为x，由余弦定理可知：2．2以a、b、c为边构造三角形△ABC如图2所示，费尔马提出如下问题：在平面上求一点S，使l=SA＋SB＋SC达到最小，即费尔马最短距离l．下面应用力学模拟方法解决此问题，如图3，在A、B、C处各打一小孔，取三条线绳扎结于S，然后穿孔各…     

课外练习

初一年级1.已知关于x,y的方程组 3x 2y=p 1 4x 3y=p-1 的解满足x>y,求p的取值范围. (山东高青县田镇一中(256300) 张明)2.已知x2 2ax 5b与5bx 3a的差能被x -1整除,也能被x-7整除,求:a,b的值. (山东郯城实验中学(276100) 黄桂湘)     

对一个由等式转向不等式问题的剖析

曾见这样一题:已知a、b、c∈R,a+b+c= 1.a2+b2+c2=1,求a的取值范围. 分析 这是一道由已知是"等式关系"推 导出"不等式范围"的问题,解题思路的寻找就 是构架起由已知通向未知的桥梁.由等式转向 不等式主要有三种方式:(1)△法(一元二次方 程有实根) (2)基本不等式法 (3)几何位 置关系法. 剖析1 用△法来解题:即△式子是一个关 于a的不等式,因此要构造一个系数有a的一元 二次方程,怎样去构造呢?由已知等式构造一个 b,c是方程两根的一元二次方程,由已知可得b +c=1-a,bc=a2-a,所以可得一元二次方程 x2-(1-a)x+a2-a=0,因此由△≥0得(1-     

例说求圆锥曲线离心率范围的思考方法

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量，它在有关的圆锥曲线问题中以参变量的形式出现，确定它的取值范围，就是根据问题给出的条件，建立起几个有关字母的不等式，通过解不等式达到解决问题的目的，下面介绍确定曲线离心率的几种思考方法．1利用圆锥曲线的定义例1设P是椭圆头十头一1（a＞b＞0）上一点，且LFIPFZ—90“，其中FI，FZ是椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的范围解由椭圆的定义得IPF；l＋IPF。l—Za，MF．PF、＝QO”IPFI，IPFZI是方程uC勺一0的两个根，因此有故所求离心率范围是。gIJ2已知双曲线焦点为…     

由一道解析几何例题的解答所想到的

现行高中课本《平面解析几何》（必修）P38页中有这样一道例题：已知两条直线：l_1：x＋my＋b＝0，l_2：（m－2）x＋3y＋2m＝0．当m为何值时，l_1与l_2（i）相交；（ii）平行；（iii）重合．课本给出的解题过程是：解将两直线的方程组成方程组：解得m＝3．（i）当m≠3时，方程组有唯一解，l_1与l_2相交．（ii）当m＝－1时，方程组无解，l_1与l_2平行．（iii）当m＝3时，方程组有无穷多解，l_1与l_2重合．其实，当m＝2或m＝0时，这两条直线也相交，这正是及的分母为0的倩况．因此这类问题还应注意对分母为零的情况的讨论．下面，我们不妨再…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅹ)

例题讲解73．已知rtABC的三边a、b、c成等差数列，又rtAIBICI的三边也成等差数列且／A一／AI，求证：rtABCOOAAIBICI．证明记。一／A，。1一／AI，／一LC，yi。＜CI，HAAIBICI的三边为11、hi、CI．由＿。。，；＿。a＋cal＋c；已知条件知。—。1；L十上一一一一一一一一一一一（1）利用正弦定理容易求得由（3）易得化简（4）得但。－1，故由（5）有’gY一但o、r；均为三角形的内角，故o这说明y74．求方程组的全体实数解．解首先，易知工I，工2，…，一同号，并且若｛x，，i＝1，2，…，n｝是方程的解，则｛一工，，i—1，…     

利用导数值域求割线斜率值域的探讨

问题 已知函数f（x）=-＋x3＋ax2＋b（a,b∈R）,若函数y=f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率小于2,求a的取值范围．     

一道错解例题引发的探究性教学

南方出版社出版的高中学业水平考试达标测评丛书《系统集成》（2014年湖南省专用）第64页有这么一道例题： 题目设函数f（x）=a·b,其中向量a=（cos2x＋1,1）,b=（1,3（1/2）sin 2x＋m）.（1）求f（x）的最小正周期;（2）当x∈[0,π6]时,-4〈f（x）〈4恒成立,求实数m的取值范围．     

拉格朗日恒等式与几个常用不等式

ax＋by≤√a^2＋b^2·√x^2＋y^2，2ab≤a^2＋b^2，a＋b≤2√a^2＋b^2（a，b，x，y∈R）是几个常用的不等式．文[1]利用三角代换，将这些不等式统一为研究sin（α＋β）的取值范围；文[2]通过构造向量，将这些不等式统一为研究向量夹角的范围．这两种方法均是将不等式问题转化为等式进行研究，这让笔者联想到拉格朗日恒等式可以用来处理此类问题．     

一个不等式的应用

高中代数下册（必修）习题十五第6为：已知ad≠be，求证：（a2＋b2）（c2＋d2）＞（ac＋bd）2．若去掉已知条件，则有（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（*）当且仅当ad＝be时取“＝”号．若灵活巧妙地顺用或逆用（*）式，可一些问题获得简洁的解证．例1若实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2十y2＝e（a≠b），则mx十ny的最大是昙（）解依题没，据（*）式，有ab＝（m2＋n2）（x2＋y2）≥（mx＋ny）2故应选（B）．例2若a、b、c、d∈R ，则一（1＋1）’一4．故应填4．例3若X’十／一1，则3X＋4y的取值范围是解依题设，据（。）式，有（3X十4y…     

求三角函数值的简化分类策略

数学教学中，经常遇到求三角函数值的问题，一般情况下要进行分类讨论．但是，由于数学问题的千变万化，对于某些问题若采用一定的策略，往往能简化分类，收到出人意料的结果,今举一例阐述如下解2（利用等差数列，简化分类）“。—。—。。－：＿＿一由已知条件得sina一上千一上．cosa，sina，l成等差数列．故可设cosa—slna一d，slna＝l—d．由stda＋cos’a＝l解3（利用方程思想，简化分类）求三角函数值的简化分类策略@陈广田$河北抚宁职教中心!066300