等周多边形面积最大问题

<正>设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线,周长是2L.求证:当封闭曲线是n边形时,正n边形面积最大.(简称"等周多边形问题")分析与证明(1)当多边形为凹多边形时,通过轴对称,可以使其在周长不变的情况下面积变大,所以以下只需要证明凸多边形的情况.     

也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

关于椭圆内接n边形面积最大值问题的解答

文[1]数学疑难专栏提出:圆x~2+y~2=r~2的内接n边形中,具最大面积的是圆内接正n边形.那么,设a>b>0,椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的内接三角形的最大面积是多少?内接四边形呢?内接n边形呢?,对于前两问,文[2]通过下面两个定理已给出解答.     

关于棱锥的一个猜想的证明

文[1]、文[2]对2005年湖南省高考数学试题(理10)进行了探究推广,分别给出了多边形面积三角形化定比分点、棱锥体积棱锥化定比分点的概念及有关性质.定义1设P是n边形A_1A_2…A_n(n≥3)内任意一点,S表示该n边形的面积,     

关于复方阵的平方根

本刊文 [1]中提出如何判断一个方阵是否存在平方根的问题 .这里 ,我们就 n阶复方阵情形给出三个判别准则 .设 A是 n阶复方阵 ,JA 表示它的若当标准形 ,则存在相似变换矩阵 P,使得 A=PJAP-1 .有关复方阵 A的若当标准形 JA 以及相似变换矩阵P的求法 ,见本刊文 [2 ]或 [3 ] ,本文不再赘述 .定义 1　设 A是 n阶复方阵 ,若存在 n阶复方阵 B,使得 B2 =A,则称 B为 A的平方根 .为书写简便 ,我们用记号 Jr( x) ( r≥ 1)与diag[B1 ,B2 ,… ,Bs]分别表示 r阶若当矩阵和对角块矩阵 :x 1 x 1x∈ Mr( C) ,B1 B2 Bs.用文 [2 ]中给出的计算复…     

分块K—循环Toeplitz矩阵求逆的快速付氏变换法

1算法描述及推导 Toeplitz矩阵及Toeplitz系统的求解在谱分析、线性预测、误差控制码、自回归滤波器设计等领域内起着重要的作用~[1-3]，而分块Toeplitz矩阵在计算机的时序分析、自回归时序模型滤波中也经常出现~[4]。对一般Toeplitz矩阵求逆，其算术复杂性为O(n~2)~[5]-[6]，其中n为Toepleitz矩阵的阶，而K-循环Toeplitz矩阵的求逆，其算术复杂性可降为O(nlog_2n)，本文提供了mn附分块K-循环Toeplitz矩阵求逆的一种快速付氏变换算法，其算术复杂性为O（mnlog_2mn）.     

轮迴矩阵的逆矩阵

<正> 如何求轮回矩阵的逆矩阵?由于数理统计以及其他学科,如固态物理的需要,所以这 是一个为人们所关注的问题.1955年,D.Greenspan在文[1]中总结求逆矩阵的种种方法时,特意为轮回矩阵提出了一种求逆的方法,但只有结论而无证明.1962年,T.L.Gilbert在文[2]中用Jordan标准形理论,把轮回矩阵A化为对角形,然后再求出A的逆矩阵A~(-1),从而事实上给出了文[1]提出的计算方法的一种证明.文[1]的方法是用特     

关于图Kn-H2n+i(i=1,2)的升分解

Yousef.Alavi等人在文献[1]中定义了一种新分解(Ascending Subgraph Decomposition),即"升分解",并且猜想:任意有正整数条边的图都可以升分解.本文证明了下面两个结论:1. Kn-H2n+1可以升分解,其中H2n+1为含有2n+1条边的Kn的子图;2. Kn-H2n+2可以升分解,其中H2n+2为含有2n+2条边的Kn的子图.     

椭圆内接n边形最大面积的探求

如何求内接于椭圆的n边形的最大面积? 这个求最大值问题中,没有对n边形的边或内角加以任何限制,因此无法确定取最大面积的 n边形的特征,解题难以入手.但我们知道,圆的内接三角形中,正三角形的面积最大.本文就以此结论为基础,光由圆引申到椭圆,再由三角形弓呻到多边形,求出答案. 1.圆内接三角形的最大面积 圆内接三角形中以正三角形的面积最大     

一个等周问题的探究

I问题的提出 文[1]讨论了如下： 问题1 当周长给定时,正多边形的边数越多,面积越大． 并用一种巧妙的几何方法,简捷地证明了这个结论．留给读者思考的是：一般地,如果正咒边形和正扎＋1边形的周长都是l,其面积记为Sn,     

关于加边矩阵的奇异性问题的注记

在文[1]的基础上,这篇注记给出了m×m复矩阵A的一类非奇异加边矩阵的特征,得到了利用这种加边矩阵的逆阵的子块求全体(1,2)-逆与Moors—Penrose逆所关联的两个定理。 本文约定:C~(m×n)表示m×n复矩阵的集合,C_r~(m×n)表示C~(m×n)的秩r的矩阵的子集,设A∈C~(m×n),通常把Penrose方程     

椭圆内接n边形面积最大值的简证

文[1]探求了椭圆内接n边形面积最大值.本文给出一个构造性的简证,供参考.引理圆柱形物体的斜截口为椭圆.简析如图1,OA     

用伸缩变换求椭圆内接n边形面积的最大值

文[1]、文[2]从不同角度解决了椭圆内接咒边形面积的最大值问题,但都比较繁琐．本文用伸缩变换解决这一问题．     

关于矩阵合同变换的注记

1.设A=(α_■)是数域F上一个n阶对称矩阵,总存在F上的一个n阶可逆阵P,使得(?)。2.给定数域F上的一个n阶对称矩阵A,若对A施行一次初等行变换后,也对A施行同样的列初等变换。則称这样一对变换为矩阵的合同变换。[1] 中介绍了利用矩阵的合同变换化对称阵A为对角阵的方法:见[1]中348—349页。     

椭圆内接n边形面积最大值的简证

文[1]探求了椭圆内接n边形面积最大值．本文给出一个构造性的简证，供参考．     

求Toeplitz矩阵各阶主子式和特征值的O(n~2)算法

形如T~(n)=(T_(ij)~(n))_(n×n),T_(ij)~(n)=t_(i-j),i,j=1～n的n阶矩阵称为Toeplitz矩阵。 Toeplitz矩阵(简称T矩阵)是一类很重要的特殊矩阵,地震预报、天气预测、石油勘探等许多应用领域的数学模型中常常遇到T型矩阵,因此研究其快速算法具有很大的实用价值。1964年,W.F.Trench在对称正定的条件下给出了T矩阵求逆的O(n~2)算法。1969年,S.Zohar进一步讨论了Trench的算法,主要工作是对推导的简化以及把对称正定的条件减弱为强非奇(即各阶主子式全不为零),算法的主要思想请参阅文[1]或[2]。     

涉及凸n边形内部一点的一个不等式

设 P是凸 n边形 A1A2 … An 内一点 ,ri 为P至边 Ai Ai+ 1的距离 ,wi是∠ Ai PAi+ 1=2αi的角平分线 ,Ri=PAi,ti =Ri Ri+ 1cosαi,i=1 ,2 ,… ,n,An+ 1=A1.文献 [1 ]中 ,H.C.L enhard证明了不等式 :　　　　∑ni=1Ri ≥ secπn .∑ni=1ti ( 1 )文献 [2 ]中 ,笔者建立了 (其中 s为凸 n边形的半周长 )∑ni=1Ri2 - ∑ni=1ti2 ≥ s2 ( 2 )并且根据不等式 ( 1 ) ,( 2 )证明了 ,当 secπn ≥ k≥ cosπn 时 ,有∑ni=1Ri - k∑ni=1ti ≥1 - kcosπnsin πns ( 3)本文应用不等式 ( 1 ) ,( 2 )建立类似于不等式( 3)的一个结论 .定理　设 P…     

再谈欧拉不等式的加强链

自文[1]给出欧拉不等式的一个三角形式的加强链(见以下引理)之后,笔者在文[2]中将三角形式分别用内切圆半径和半周长表示,用半周长和边表示,用半周长和面积表示以及用半周长、外接圆半径和边表示.通过进一步研究,笔者又得到几个欧拉不等式的加强链.     

对称正交反对称矩阵反问题解存在的条件

矩阵反问题和矩阵特征值反问题在科学和工程技术中具有广泛的应用,有关它们的研究已取得了许多进展[1,2].[3]和[4]分别研究了反对称矩阵反问题和双反对称矩阵特征值反问题等.本文研究一类更广泛的对称正交反对称矩阵反问题.用Rn×m（Cn×m）表示n×m实（复）矩阵的全体,ASRn×n表示n阶反对称矩阵的全体,ABSRn×n表示n阶双反对称矩阵的全体,ORn×n表示n阶正交矩阵的全体.A+表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆.In表示n阶单位矩阵.ei表示n阶单位矩阵的第i列,Sn=[en,en-1,     

水管的截面为什么是圆的

生活中水管的截面都是圆形的,为什么 水管的截面都是圆形而不是正方形或正六边 形等正n边形呢?我们可以从数学的角度来 回答这个问题. 要证明水管的截面为什么是圆形,只要 证明在水流速度相同的情况下,若水管截面 的周长相等,那么截面是圆形的水管比截面 是正n边形的水管流量大,而流量的大小是 与截面面积成正比的.