“在”与“过”的差别

<正>《数学课程标准》及《高考考试说明》中要求学生能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,会用导数函数的最值和极值.作为基础知识的导数的几何意义中,求曲线"在"某点处的切线和"过"某点的切线一类问题,让学生陷入了迷糊状态.下面举例来说明.例1曲线y=x³+x+1在点P(1,3)处的切线方程为___.解因为P(1,3)在曲线上,在该点处的切     

导数问题中证明函数不等式的常用策略

<正>导数问题中证明函数不等式,关键是构造好相应的辅助函数,利用导数研究其单调性、最值.基于此,如何构造出合理可行的辅助函数是解决这类问题的突破口,本文将通过实例谈谈构造的常用策略.策略一:移项构造例1已知函数f(x)=e^x-axx-ax²+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.     

巧用函数单调性解题

函数的单调性是函数的重要性质,是研究函数的重要内容和手段,也是解决其他一些数学问题的有力工具,若能根据题目的特点灵活应用,有时甚至能收到独特神奇之效. 一、解决函数的值域或最值问题[例1] 求函数f(x)=arcsinx~1/2 arctanx的值域. 分析本题除用函数单调性外,其他方法不易凑效.易知函数f(x)在其定义域[0,1]上     

例析导数综合题

在新教材中,由于导数内容的加入,使得高中数学解题增添了新的活力,使很多题型有了新的解题思路,导数的应用更显活跃.导数除了解决切线的斜率,判断函数的单调性,求函数单调区间及求函数的极值与最值等问题外,也常用在求参数或参数范围,求不等式问题、解析几何问题以及数列、向量、三角等方面,下面举导数与其他知识综合应用的例题,以展示导数的工具作用.一、用导数求参数或参数范围例1已知函数f(x)=ex-ax+1是R上的单调增函数,求a的取值范围.分析:由于f′(x)=ex-a,又f(x)在R上是单调增函数,同f′(x)=ex-A>0恒成立,即a0,故a≤0…     

解读2007年高考试题中的导数问题

导数进入中学数学教材,成为一个很好的工具,在解决高中数学问题时应用极为方便,尤其是利用导数来解决函数的单调性问题,求函数的极值、最值问题,也可以利用导数来解决几何、物理及实际生活问题.……     

谈导数在研究函数问题中的应用

<正>导数是研究函数性质的重要工具,它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、以极值最值为载体求参数的取值范围,这些都是高考的重点,也与不等式、方程等知识进行综合考察.类型一:运用导数解决函数的最值问题例1 (2017年北京卷)已知函数f(x)=e^xcosx-x.     

求函数单调区间的几种基本方法

函数单调性是函数的一个重要性质,利用它可以比较函数值大小,也可以求函数的值域或最值.因此,有必要掌握求函数单调区间的基本方法,本文就给同学们介绍求函数单调区间的几种基本方法. 一、紧扣函数单调性的定义求单调区间例1 设函数f(x)=x a/x b(a>b>0),     

数列问题导数化的三个误区

高中数学新教材中,导数的增加,为高中数学解题教学和教研注入了新的活力,导数成为解决函数单调性问题、最(极)值问题、取值范围等问题的主要工具.数列也是一种特殊的函数,可以借助导数方法解决数列的某些问题.2006年高考湖南卷第19题,就是把数列和导数有机地结合在一起的典范.学生在解题过程中,有的提出了疑问,有的直接用导数来解决有关数列单调性问题、最值问题和取值范围等问题,但由于未能深入理解导数知识产生的背景、含义,未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和     

曲线中的切线问题

导数是解决函数的单调性、最值、不等式证明等问题的有力工具,其应用相当广泛,因而是每年高考考查的重点与热点,但考生在这里失分较多,利用导数求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,本文对此问题进行探索研究,归纳总结出了几种常见问题,供广大教师和同学们参考.1.给定切点的曲线切线问题例1求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程.解因为点(0,1)在曲线y=xex+2x+1     

聚焦指数函数单调性的应用

单调性是函数的重要性质之一,而指数函数的单调性更是尤为重要.对于指数函数y=a^x(a>0,a≠1),当a>1时,它在实数集R上单调递增;当a∈(0,1)时,它在实数集R上单调递减.由此可见,指数函数的单调性并不复杂,但它的应用却不简单,它可以用来比较大小、求函数的定义域、求函数的最值或值域、求参数的值或范围、解方程或证明不等式,还可以解决综合性问题.     

浅谈新课程下中学导数的学习

近几年的高考中,对导数的考查主要包括三个层次:1．考查导数的概念、求导的公式和求导的法则;2．导数的简单应用包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等; 3．综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和     

函数y=ax+b/x的性质应用教学设计

在文[1]、[2]中,两位老师已经对函数y=ax+b/x(ab≠0)的图像、性质进行了系统的研究,读后我很受启发.函数y=ax+b/x(a、b∈R+)的图像与二次函数的图像有许多相似之处,在教学实践中,我将此函数的性质与二次函数的性质进行类比研究,通过四个思维环节:(一)特征问题图像化(二)单调问题特征化(三)最值问题单调化(四)不等式、方程问题函数化.在学生经历判断函数的单调区间、求函数最值的思维过程中感受函数图像的直观性(函数性质)的应用.同时在研究参数范围的过程中,渗透函数的思想、分类讨论的思想,体会函数变化过程中的不变性,深化学生对函数的理解.     

解谈2005年高考导数试题

导数是新教材新增加的内容,是解决数学问题的重要工具,是高考数学的重点内容之一.笔者就05年出现的导数试题作以下点评:一、试题贴近基础,注重理解和推理以导数为背景或依托的试题,虽然有易有难,但通常总是紧贴着导数基础知识(如导数的概念、求导的公式和求导的法则)和导数的简单应用(包括求函数的极值和最值、单调区间),把考查理解能力和推理运算能力作为基本的要求.例1(广东卷)函数f(x)=x3-3x2 1是减函数的区间为()(A)(2, ∞)(B)(-∞,2)(C)(-∞,0)(D)(0,2)本题考查了导数的简单应用,只要根据连续函数在某区间上单调递减,则导数小于零,便…     

巧用放缩法解答高考导数题

<正>导数综合题一般作为压轴题,题目往往以导数为工具讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、解决函数主线下的数列、方程与不等式问题,由于其解法灵活,没有固定套路,因此突破难度较大.这类题中常常涉及到两个重要函数y=e^x和y=lnx,利用它们与x,xx和y=lnx,利用它们与x,x²,     

高考中导数应用的新变化——用导数探讨函数图象的交点问题

观察近几年高考试题,其中导数命题的方向基本没变,主要从五个方面(①与切线有关的问题;②函数的单调性和单调区间问题;③函数的极值和最值问题;④不等式证明问题;⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平,但在方向基本没变的情况下,又有所创新,导数命题创新有两个方面:一是研究对象的多元化,由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数;二是研究内容的多元化,由用导数研究函数的性质(单调性、最值、极值)转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等综合研究,实际上就是导数考查函数图象的交…     

无理函数y=(√a1x+b1)+(√a2x+b2)的最值求法

无理函数y=(√a1x+b1)+(√a2x+b2)(a1,a2,b1,b2均不为0)(1)的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数(1)为单调函数,求出定义域后利用单词性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2＜0时,函数(1)最值的求解具有一定的难度.     

如何用导数判断函数单调性

函数的单调性是函数的重要性质,也是高考的热点问题,若利用函数定义求解,一般较为复杂.但是利用导数求函数的单调就有效地解决了这一难题.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.下面对利用导数判断函数的单调性的几个注意点加以说明.一、f′(x)>0(<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件例1用导数来判断函数f(x)=x3(x∈     

浅谈复合函数单调性的判定

<正>题目已知函数y=-3/2cos(π/6-1/2x),x∈R.(1)求函数的最大值及取得最大值时的x构成的集合;(2)求函数的单调递减区间.这是我校2013-2014学年高一下学期期中考数学试题,其中第(2)小题主要考查复合函数的单调性,即利用复合函数单调性的相关知识,对复合函数单调性进行判断.题目源于     

渗透主元思想展现导数活力

运用导数解决一元函数y=f(x)(尤其是多项式函数)的极值、最值、单调性等成为新教材一个独特的亮点.在教学实践中经过研究发现,巧妙运用主元思想,还可以用导数方便地解决多元函数的类似问题,尤其是证明多元不等式,从中展现出导数的无穷活力.     

解决“导数大题中恒成立问题”的几种常用方法

<正>我们在导数这一章节中经常会碰到含参数的不等式恒成立,求参数范围的问题.具体的方法有很多:比如分离变量求函数的最值,或者直接求导并讨论函数的单调性,得到f(x)_(min)>0或是f(x)_(max)<0,或者局部分参之后利用切线,数形结合得到参数范围.这些方法都是解决不等式恒成立问题常用的.