一个重要函数不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x及其应用

在导数的应用里很容易得到这样一个重要不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x,(x＞-1,当且仅当x=0时取等号),通过利用这个不等式或者它的等价变形可以用来证明一些数列不等式或者函数不等式的问题,下面搜集了在近年来的部分省份高考试题中的一些应用.例1 (2008年山东理21)已知函数f(x)=1/(1-x)n+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.     

新题征展(132)

A题组新编1.设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知cos(A-C) +cosB=t(t是已知的正数),根据下列条件分别求出角B的大小:(1)a,b,c成等比数列;(2)a,b,c成等差数列.2.(1)求数列{2(n-1)/x(2n-1)+1}的前n项和Sn;(3n+1)+(3n+4)+(3(2)求数列(3n-2)+(3n+1)+(3n+4)+(3n+7)/(3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)的前n项和Tn.3.(1)证明:2(2n)-1 (n ∈ N*)至少有n个不同的素因数;(2)求C12n,C32n,C52n,…,C2n-12n的最大公约数.B藏题新掘4.已知曲线C:x｜x｜/a2-y｜y｜/b2=1,下列叙述中错误的是A.垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点B.直线y=kx +m(后,m∈R)与曲线C最多有三个交点C.曲线C关于直线y=-x对称D.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)为曲线C上任意两点,则有(y1-y2)/(x1-x2) ＞05.(二项式定理)在(x+y)n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能等于____.     

数学问题解答

2013年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 2136已知a,b,c是满足abc=1的正数,求证:(λa+1)/(b+c)+(λb+1)/(c+a)+(λc+1)/(a+b)≥3(λ+1)/2(λ≥3) (江西南昌大学附中宋庆330047) 证明 a3+b3+c3+3abc≥a2(b+c) +b2 (c+a)+c2(a+b)(参见本刊1994年10月号问题918的解答)与以下不等式等价.     

运用相等关系证明不等式

许多恒等式在一定条件下 ,可以轻易转化为不等式 ,因而 ,利用相等关系证明不等式是一种重要方法 .例 1　若a>b >c,求证 :a2a-b+b2b-c>a +2b +c.(第 32届乌克兰IMO试题 )证明 :　不难寻找如下等式 :a2a-b+b2b-c=(a2 -b2 ) +b2a -b +(b2 -c2 ) +c2b-c ,于是 a2a-b+b2b-c=a+b+b2a -b +b+c+c2b-c=a+2b+c+b2a-b+c2b-c;考虑 b2a-b+c2b-c>0 ,故 a2a -b+b2b-c>a+2b+c.例 2　设x1 ,x2 ,… ,xn 为正数 ,求证 :x21 x2+x22x3+… +x2 n -1 xn+x2 nx1≥x1 +x2 +… +xn.(1 984年全国高中数学联赛试题 )证明 :　显然 ,x21 x2 +x22x3 +… +x2 n -1 xn +x2 n…     

不等式∑(a/b+c)＜1+(23/3)的初等证明

文[1]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了: 在△ABC中,若a,b,c为其边长,则有 (a)/(b+c)+(b)/(c+a)+(c)/(a+b) <1+(23/3).(1)     

柯西不等式的证明及应用

<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n).     

例说函数构造法解题

一、证明不等式.例1设a、b、c为绝对值小于1的实数,求证ab+bc+1>0.证明:构造函数f(a)=(b+c)a+(bc+1)(|a|>1).若b+c=0,则由|bc|<1,知f(a)>0;若b+c≠0则f(a)为单调函数,f(a)的值在f(1)与f(-1)之间,但f(1)=(1+b)(1+c)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,f(-1)与f(1)均大于0,∴f(a)>0.例2证明:(1+1)(1+31)(1+51)…(1+2n1-1)>2n+1(n=1,2,…)(98年高考)证明:构造函数f(x)=(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)2x+1当x∈N*时,f(x+1)f(x)=(1+1)(1+13)…(1+2x1-1)(1+2x1+1)2(x+1)+1·2x+1(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)=2x+2(2x+3)(2x+1)=(22xx++22)2-1>1·∴f(x)为增函数∴f(x)≥f(1…     

一个不等式的最佳系数

文[1]给出了以下不等式: 　　若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,t≥1,则(ta2+b)/(b+c)+(tb2+c)/(c+a)+(tc2+a)/(a+b)≥(t+3)/(2).(1) 　　文[2]改进了(1)式中的t的取值范围,指出只要t≥(1)/(4),(1)式就成立.……     

综合题新编选登

题61 已知函数f(x)(0,1)上是增函数.1)求实数a的取值范围;2)若数列{an}满足a1=c∈(0,1)且an+1=ln(2-an)+an(n∈N*),证明0相似文献   

一道2011美国数学奥林匹克试题的直接证明

2011年美国数学奥林匹克有下面的一道不等式证明题:设a,b,c>0,且a2+b2+c2+(a+b+c)2≤4,求证:(ab+1)/(a+b)2+(bc+1)/(b+c)2+(ca+1)/(c+a)2≥3.文[1]中安振平老师用换元法给出了证明,并给出两个加强.在享受安先生高超的变形技巧时,思考能否直接证明,从而得到一种简洁的直接证明,现介绍如下:     

用高等数学知识剖析一道高考题

题目 (2010年湖北理21)已知函数fx=ax+(b)/(x)+c(a>0)的图象在点(1,f1)处的切线方程为y=x-1. (Ⅰ)用a表示出b,c; (Ⅱ)若fx≥.ln.x在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;     

对一道高考题的几点思考

题目 (2010年安徽理20)设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N+,都有(1)/(a1a2)+(1)/(a2a3)+…+(1)/(anan+1)=(a1an+1 .     

谈一类不等式的证明思路

有一类不等式,其条件都是三个正数乘积为1.该类不等式的证明技巧强,难度较大,因此本文特介绍它的三种证明思路,以供参考.思路1直接运用条件例1已知a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,求证2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.证明设t=a+b+cf(t)=2t+3/t,∵a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,∴t=a+b+c≥3√abc=3,∵f'(t)=2-3/t2=(2t2-3)/t2,∴.当t＞3时,f＇(t)＞0,∴函数f(t)在[3,+∞)上为增函数,∴f(t)≥f(3)=7,故有2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.点评三元均值不等式在例1中起到了沟通已知与未知的桥梁作用,也使得直接运用条件“a＞0,b＞0,c＞0,abc=1”的目的得以达成.     

丢番图方程|(εn-ε-n)/(ε-ε-)|=1的解数

设a、b、c、k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,c∈{1,2,4},k＞1且k在c=1或2时为奇数的正整数;又设ε=(()a+()-b)/()c,ε=(()n-()-b)/()c.本文证明了当(a,b,c,k)≠(1,7,4,2)或(3,5,4,2)时,至多有1个大于1的正奇数n适合|(εn-εn)/(ε-ε)|=1,而且如此的n必为满足n＜1+(2logn)/logk+2563.43(1+(21.96π)/logk)的奇素数.     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有:(1/(b c)-a)(1/(c a)-b)(1/(a b)-c)≥(7/6)3(1)当且仅当a=b=c=13时,不等式(1)取等号.文[1]的证明方法虽然精妙,但过程繁琐且不宜推广,现给出不等式(1)的一种简单证法.证明由a b c=1可得a=1-(b c),b=1-(a c),c=1-(a b),故不等式(1)等价于(1b c b c-1)(1c a c a-1)(1a b a b-1)≥(76)3(2)令f(x)=ln(1x x-1),00,故f(x)为(0,1)上的下凸函数,从而由Jensen不等式,有f(b c)…     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba 1b-c≥673(1)当且仅当a=b=c=31时取等号.1b c ac 1a ba1 b c≥1613(2)当且仅当a=b=c=31时取等号.不等式(1)可改写为:11-a-a1-1b-b1-1c-c≥673(3)当且仅当a=b=c=31时取等号.本文将把不等式(3)推广为:命题设xi>0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,则∏ni=1(1-1xi-xi)≥(n-n1-1n)n(4)当且仅当x1=x2=…=xn=1n时等号成立.引理设f″(x)>0,则1n∑ni=1f(xi)≥f(1ni∑=n1xi)(5)此即著名的Jesen不等式.下面给出(4)式的证明.证设y=f(x)=ln(1-1x-x)(0相似文献   

04,05两年高考压轴题与一个函数模型

04年的全国卷(Ⅱ)与05年全国卷(Ⅰ)的最后一题均是有关不等式证明的问题.遗憾的是命题组提供的答案均较复杂.其实这两道试题均与函数f(x)=xlogax的凸性有着密切的关系.引理:设f(x)是定义在D上的凸函数,则对任意的x1,x2,…,xn∈D有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≥fx1+x2+…+xnn当且仅当x1=x2=…xn时取等号下面我们就利用上述这个引理来解决04、05两年的压轴题.04年的压轴题:(22)已知函数f(x)=ln(1+x)-x g(x)=xlnx(Ⅰ过原O作一条)求函数f(x)点的最大值(Ⅱ)设0相似文献   

一道不等式证明题的多种解法

<正>一、问题求证:若实数a,b,c满足ax+x,则有(f(b)-f(a))/(b-a)<(f(c)-f(b))/(c-b).二、问题求解思路1利用中间量过渡证明不等式.方法1要证(f(b)-f(a))/(b-a)<(f(c)-f(b))/(c-b),只需证(f(b)-f(a))/(b-a)b+1<(f(c)-f(b))/(c-b).思路:根据f(x)=eb+1<(f(c)-f(b))/(c-b).思路:根据f(x)=e^x+x的图像特征(如     

一对姐妹不等式的简证和再推广

文[1]提出并证明了下面一对姐妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba1 b-c≥763,①1b c ac1 a ba1 b c≥1613.②以上两式当且仅当a=b=c=31时取等号.但文[1]证明过程较繁杂,本文给出一种简单证法,并将结论进行一定推广.1一对不等式的简证先证上述不等式①.记x=b c,y=c a,z=a b,则有00,即f(t)为下凸函…     

运用函数思想证不等式

1.利用一次函数证明不等式 由一次函数y=kx+b的图像可知,如果 f(m)>0,f(n)>0,则对一切x∈(m,n)均有 f(x)>0,反之,如果f(m)<0,f(n)<0,则对 一切x∈(m,n)均有f(x)<0,把这一性质称 为保号性,利用一次函数的保号性可以证明一 些不等式. 例1 设a,b,c都是绝对值小于1的实 数,求证:ab+bc+ca>-1 (*) 证明 ∵ab+bc+ca+1