椭圆小辅助圆的若干性质

把以椭圆短轴为直径的圆x²+y²=b²称为椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)的小辅助圆,本文介绍椭圆C的小辅助圆x²+y²=b²的几条性质.     

关于同心椭圆与圆的切线的一个结论

<正>题目对于任给的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x2=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x²+y2+y²=a2=a²b2b²/a2/a²+b2+b²和外包圆O_外:x2和外包圆O_外:x²+y2+y²=a2=a²+b2+b².(1)圆O内任何一条切线交椭圆C于点A、B,则OA⊥OB;(2)从圆O外上任意一点P引椭圆C的两     

2012年高考安徽卷理科第20题的探究与推广

题目:如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=（a²）/c于点Q;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.分析:此题第（Ⅱ）问结构简洁,内涵深刻,由     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

同轴椭圆与双曲线的两个性质

<正>如果椭圆的长轴、短轴分别与双曲线的实轴、虚轴(或虚轴、实轴)重合,则称这样椭圆与双曲线是同轴曲线.同轴椭圆与双曲线方程的形式类似,应该有内在的联系,本文进行初步探讨.题目如图1,已知椭圆D:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,双曲线C:x2=1,双曲线C:x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(或y2=1(或y²/b2/b²-x2-x²/a2/a²=1),其中a>b>0.     

由四个解析几何命题引发的猜想及其证明

笔者在文[1]和文[2]中得到了4个命题:命题1如图1,点F₁,F₂分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,线段AB是过F₁的椭圆的一条弦.     

一个圆锥曲线统一性质的变式探究

文[1]给出如下结论:结论过椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个焦点F作不垂直于坐标轴的直线l,交椭圆于M、N两点,MN的中垂线交x轴于点D,则|DF|/|MN|=e/2.(e为椭圆的离心率.)接着,文[1]将结论推广到双曲线和抛物线中,从而得出一个圆锥曲线的统一性质.     

利用梯形性质证明不等式

<正>（2ab）/（a+b）≤（ab）^1/2≤（a+b）/2≤（（a²+b²）/2）^1/2（a>0,b>0）是不等式中最著名的不等式,也是最基本最重要的不等式,其中（2ab）/（a+b）=2（（1/a）+（1/b））^-1称为调和平均值,（ab）^1/2称为几何平均值,（a+b）/2称为算术平均数,（（a²+b²）/2）^1/2称为平方平均数,当且仅当a=b时式中等号成立,它的代数证法并不难,笔者发现,通过构造梯形,利用几何的方法亦可通俗易懂地证明这个不等式。     

一道解析几何试题的错解辨析

<正>近期在和同学们一起探究2023年北京海淀高三第二学期期中练习解析几何试题时,一位同学在求错椭圆方程的前提下竟然得到了题目第二问的正确答案,为了解开疑惑,本文就该问题的成因及相关几何背景展开分析.1问题呈现已知椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

一道竞赛题“新解”的错误及其另解

<正>题目（2004年西部数学奥林匹克竞赛题）求证:对任意正实数a,b,c,都有1< (a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2≤(32^1/2/2) （*）文[1]利用三角代换,在证以上右边含上界的不等式时最后一步有误!现将文[1]证明过程的最后几步摘录如下:     

椭圆最值与范围问题的探讨

<正>椭圆是我们高中解析几何的重要组成部分,椭圆中的最值与范围的求解有异曲同工之处,方法也往往众多.如何掌握并迅速锁定方法是我们要解决的一个重要问题.现在我们结合例题梳理一下方法吧.例1求椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x2=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1结合基本不等式可知     

2023年海淀区高三二模解析几何问题的探索与推广

<正>解析几何定值问题是高考的热点问题之一,解决这类问题的基本思路是首先由特殊情形猜想定值,然后对一般情形进行证明.本文对一类角度定值问题进行探索与研究.问题(2023年海淀区高三二模题)已知椭圆E:x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)的左顶点为A,上,下顶点分别为B₁,B₂,     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

数学中的“神似”

<正>例1已知a、b、c、d都是实数,求证:（a²+b²）^1/2+（c²+d²）^1/2≥（（a-c）²+（b-d）²）^1/2.解析从题目的表象来看,要证的结论的右端与平面上两点间的距离很"神似",而左端可看作点到原点距离公式.据此特征不妨证明如下:     

2014年一道高考解析几何压轴题透视

<正>高考题往往具有丰富的内涵,数学教师要善于思考、发掘、研究,在备考复习中恰当选用,这对提高学生的数学思维水平和解题能力十分有益.笔者对2014年安徽高考数学文科卷第21题压轴题进行透视.1题目如图1,设F₁,F₂分别是椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF₁|=3|F₁B|.（Ⅰ）若|AB|=4,△ABF₂     

一道2020年北京市高考适应性测试数学试题的再探究

文[1]对2020年北京市高考适应性测试数学试题第20题进行了探究,得出一些有趣的结论.受其启发,笔者对该试题及相关结论做了更进一步的探究,得出了更多精彩的结论,介绍如下,与大家一起分享之.定理1已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为e,长轴的两个端点分别为A、B。     

椭圆准线的六种作图方法

<正>对于椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a> b> 0),右焦点F(c,0),直线l过F交椭圆于A、B两点,下面的定理给出了其准线的六种作法,并能类比应用于双曲线和抛物线的情形.方式1若l与坐标轴不平行,做B关于x轴的对称点B',作直线AB'交x轴于M,过M作x轴垂线m即为椭圆右准线.     

余弦定理的一种变式及应用

<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a²=(b+c)2=(b+c)²-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b²=(c+a)2=(c+a)²-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c²=(a+b)2=(a+b)²-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系;     

一道高考定点类试题的解法探究与思考

<正>1试题呈现(2023年全国数学高考乙卷理科第20题)已知椭圆C:y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)的离心率为5(1/2)/3,点A (-2,0)在上C.(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.