对一和角范围问题的置疑、猜想和证明

问题的提出某市的复习试题给出了一道三个角和的取值范围问题: 已知一长方体的一条对角线与交于同一顶点的三条面对角线的夹角分别是α、β、γ、求α+β+γ的取值范围。给出的答案是;π/2<α+β+γ<3π/4。这个问题在其它书上也有出现。如: 上海教育出版社出版的《中学数学竞赛习题》的492题与该试题的条件是一致的:“设A、B、C都是锐角,并且满足sin~2A+sin~2B+sin~2C=1,求证:π/2相似文献   

一个三角恒等式的简证

文 [1]中证明了一个恒等式 :若α + β +γ =nπ(n∈Z) ,则tanαtan(β -γ) +tanβtan(γ -α) +tanγtan(α - β) =-tanαtanβtanγtan(α - β)tan(β -γ)tan(γ -α) ( ) .其证明太繁 ,下面笔者给出一个自然简单证明以供参考 .同时将看到上式中条件α+ β +γ =nπ是多余的 .证明　由正切和差公式易知 :tanα -tanβ =tan(α - β) (1+tanαtanβ) ,tanα +tanβ =tan(α + β)(1-tanαtanβ) .当α + β +γ =0时 ,tan(α + β) =-tanγ ,则tanα +tanβ +tanγ =tanαtanβtanγ .∵ (α - β) + (β -γ) + (γ -α) =0 ,∴tan(…     

一个例题的注记

题目已知α、β、γ、θ均为锐角,tanα=1/2,tanβ=1/7,tanγ=1/8,tanθ=1/18.求α+β+γ+θ本例在本刊2002年11月上期19页有一个复数解法.是构造复数     

一道2020年马其顿数学赛题的证法探究

<正>1题目再现(2020年马其顿数学奥林匹克竞赛试题2题)正实数x,y,z满足xy+yz+zx=27,求证:■,并求取等条件.2基础知识三角函数恒等变换有如下一题:已知锐角α,β,γ满足α+β+γ=■,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1;反之亦然.     

三角恒等式的应用

<正>题目(高中《数学》（必修）第一册（下）P₄₂第15题)已知α+β+γ=nπ（n∈z）,求证:tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ.这个三角恒等式,大多数同学都会证明,然而对于它的应用却不太清楚.为开阔同学们的视野,启迪思维,本文现将其应用及推广分别介绍如下:     

一道三角函数最值题的五种解法

<正>已知tanα,tanβ是关于x的方程mx²+7m-3x2+7m-3x^(1/2)+2m=0的两个实根,求tan(α+β)的最大值.这道题以三角函数为载体,涉及求函数最值的几种典型的方法和策略,非常值得探究,主要有以下五种解法:由韦达定理,得到     

一类三角求值题的错解及根治方法

先看下例 例 1 已知 tana=2,tanβ=3,且α,β都是锐角,求a+β。 解tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ     

一道三角题解法的探究

<正>问题已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα,则tan(α+β)-________.这是一道典型的已知三角等式求三角函数值问题,对于这类问题学生往往无从人手,无法突破.以此题探讨一下这类问题的解法,供参考.解法一(代人消元求解)tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα=cosα/(cosα+sinα/cosα)=1-tanα/1+tanα,     

复数法简解一道三角题

题目已知α、β、γ、θ均为锐角,tanα=1/2,tanβ=1/7,tanγ=1/8,tanθ=1/18,求α β γ θ的值. 这是《中学生数学》2001年7月上第11页一文《几何法巧解一道三角题》中的题目.几何法虽巧,但还是比较繁.现用复数法给出简洁的解.     

错在哪里？

题目 :已知α,β∈ - π2 ,π2 ,tanα =2m ,tanβ=m - 1 ,且α +β<π4 ,求m的取值范围 .这是某参考书上的一个习题 ,解答如下 :由α,β∈ - π2 ,π2 ,且α +β<π4 知-π <α+β<π4 .(1 )当 - π2 <α +β <π4 时 ,tan(α +β)= 3m - 1- 2m2 +2m +1 ,由于 y=tanx在 - π2 ,π4 上是增函数 ,得 3m - 1- 2m2 +2m +1 <1 ,解得 - 1 - 1 74相似文献   

两角和正切公式与韦达定理

在两角和正切公式中有tanα+tanβ与tanαtanβ,而韦达定理中有两根和x1+x2与两根积x1x2.由此可知两角和正切公式与韦达定理有内在联系,二者的结合点是tanα、tanβ是某一元二次方程的两根,在解题中,若能够注意到这点,能迅速找到切入点,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1已知方程x2+6x+7=0的两根为tanα、tanβ.,求证:sin(α+β)=cos(α+β).分析要证sin(α+β)=cos(α+β),可     

问题与解答

一本期问题 1.△A_1A_2A_3内接于圆,过A_1、A_2作三角形的中线分别交圆于M_1,M_2,过A_1,A_2作三角形的内角平分线分别交圆于T_1、T_2,证明或否定|A_1M_1-A_2M_2|≤|A_1T_1-A_2T_2|。 2.已知在△ABC中,A=(a+1)β,B=αβ,C=(α一1)β,且sin~2A=sin~2β+sin~2C,求α和β的值。 3.求证:从数列1,1/2,1/2,1/3,…中一定能挑出一个无穷等比数列,使它的和等于1/2。 4.设x>0,x+y<1,x一y<3,求证6x-8x~2-4xy+2x~3-2xy~2+9x~2/27x~3+4≤73/27。     

《一题——一类——一法》

“已知cos~4α/cos~2β sin~4α/sin~2β=1,求证cos~4β/cos~2α sin~4β/sin~2α=1”这一题,近年来已被不少参考资料或习题集的编者选编入册。亦有将其选入数学竞赛卷的。所见各书或标准答案均较繁冗,似均因未考虑“换元降幂”。若能“跳出”三角函数式恒等变形的圈     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

1~∞型不定式中等价无穷小代换

<正> 设α、α′、β、β′γ、γ′为同一极限过程中的远佃小,且有α～α′,β～β′,γ～γ′),试问是否一定有α+β～α′+β′(A)lim (α+β)/γ=lim (α′+β′)/γ′(B)成立?答案是不一定,为此我们可以举出下面的反例,若令α=α′=x,β=-sinx,β′=-x,γ=γ′=x~3,则α+β=x-sinx,α′+β′=0,故(A)不成立,lim (α+β)/γ=1/6,lim (α′+β′)=0,故(B)不成立,但若附加条件lim α/β存在,且     

谁是准非

题:求函数y=(sinx+1/sin~2x)+(cos~2x+1/cos~2x)的极值。下面给出两个解答: 解一■解二∵sin~2x+cos~2x=1 ∴1/sin~2x+1/cos~2x=1/sin~2xcos~2x =4/sin~22x≥4 ∴y_(min)=5. 显然,两个答案不可能都正确。那么,究竟谁是谁非呢? 注意:式子sin~2x+1/sin~2x≥2,当且仅当x=kπ+n/2时等号才成立,而此时1/cos~2x不存在;式子cos~2x+1/cos~2≥2当且仅当x=kπ时     

巧解不巧

《中学生数学)2001年7月(上)有一文《用几何法巧解一道三角题》,笔者认为其实不巧.题目是这样的: 已知α、β、γ、θ均为锐角,tanα=1/2,tanβ=1/7,tanγ=1/8,tanθ=1/18,求α β γ θ的值.该文运用几何中三角形的一些知识导出了α β γ θ=π/4,这无疑是一个正确答案.但数学解题讲究简捷、迅速、准确。本来很简单的一个题目,为何要让它蒙上一层“面纱”.(我们认为韩少华同学的这个观点很正确故标以黑体——编者)下面解答此题.     

一类循环序列的稳定性

讨论了循环序列x_(n+1)=(α-βx_n)/(γ+x_(n-1)),n=0,1,2,….解的整体渐近稳定性,用系数α,β,γ给出了其正的平衡点是全局吸引的充分条件及全局吸引域.其中α,β,γ为正实数.     

振荡超奇性Hilbert变换的Sobolev有界性

主要研究R~n上沿曲线Γ(t)=(t~(p_1),t~(p_2),…,t~(p_n))的振荡超奇性Hilbert变换H_(n,α,β)=∫_0~1 f(x-Γ(t))e~(it-β)t~(-1-α),在Sobolev空间上的有界性,其中0p_1P_2…P_n,αβ0.证明了对于0γ(nα)/((n+1))(p_1+α),当|1/p-1/2|(β-(n+1)[α-(β+p_1)γ])/(2β)时,H_(n,α,β)是从L_γ~2(R~n))到L~2(R~n)的有界算子.特别地,当β≥(α-γp_1)/(γ+1/(n+1))等时,H_(n,α,β)是从L_γ~2(R~n)到L~2(R~n)的有界算子·