问题与解答

一本期问题 1.△A_1A_2A_3内接于圆,过A_1、A_2作三角形的中线分别交圆于M_1,M_2,过A_1,A_2作三角形的内角平分线分别交圆于T_1、T_2,证明或否定|A_1M_1-A_2M_2|≤|A_1T_1-A_2T_2|。 2.已知在△ABC中,A=(a+1)β,B=αβ,C=(α一1)β,且sin~2A=sin~2β+sin~2C,求α和β的值。 3.求证:从数列1,1/2,1/2,1/3,…中一定能挑出一个无穷等比数列,使它的和等于1/2。 4.设x>0,x+y<1,x一y<3,求证6x-8x~2-4xy+2x~3-2xy~2+9x~2/27x~3+4≤73/27。     

问题与解答

一、本期问题 1.设曲线y=ax~2+bx+c(a,b,c为实数)与直线y=x及y=-x均不相交。试证对一切x∈(-∞,∞)都有 |ax~2+bx+c|>1/(4|a|)。 2.在五个连续的自然数中恰有三个数成公比为自然数的等比数列。求出这五个连续的自然数。 3.一直线通过线段AB的中点O,直线与线段AB的一个夹角为θ且0<θ<π/2,动点P在直线上变动,证明tgθ/2 ≤PA/PB≤ctgθ/2。